円周角の定理高校入試対策②

たむかい学習教室
2月9日
読了時間: 7分

円周角の定理高校入試対策②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

円周角に関する問題では、対応する弧に注目します。複雑に直線が交差する図形では、弧の両端から出ている直線をなぞりながら、弧に対応する円周角を探していきます。

問題

下の図のように、線分ＡＣを直径とする円Ｏの円周上に、点Ｂ、Ｄ、Ｅをとり、線分ＡＤとＢＥの交点をＦとする。弧ＡＢが弧ＢＣの２倍の長さ、弧ＤＥが弧ＥＡの２倍の長さ、∠ＣＡＤ＝33°のとき、あとの問いに答えなさい。

1）∠ＢＯＣの大きさを求めなさい。

2）∠ＡＦＢの大きさを求めなさい。

1）

弧ＡＢ：弧ＢＣ＝２：１より

∠ＢＯＣは半円の1/3にあたる角だから

180°×（1/3）＝60°

2）

線分ＯＤをひく

△ＯＡＤは、

ＯＡ＝ＯＤの二等辺三角形だから

∠ＯＤＡ＝∠ＯＡＤ＝33°

よって、

∠ＡＯＤ＝180°－33°×２＝114°

弧ＡＥ：弧ＥＤ＝１：２より

∠ＡＯＥは∠ＡＯＤの1/3にあたる角だから

∠ＡＯＥ＝114°×（1/3）＝38°

∠ＡＢＥは弧ＡＥの円周角だから

∠ＡＢＥ＝38°×（1/2）＝19°

また、

∠ＢＡＣは弧ＢＣの円周角だから

∠ＢＯＣ＝60°より

∠ＢＡＣ＝60°×（1/2）＝30°

△ＡＢＦにおいて

∠ＡＦＢ

＝180°－∠ＡＢＥ－∠ＢＡＦ

∠ＢＡＦ

＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ

＝30°＋33°＝63°だから

∠ＡＦＢ

＝180°－19°－63°

＝98°

問題

下の図のように、線分ＡＢを直径とする半円がある。この半円の弧ＡＢ上に２点Ａ、Ｂと異なる点Ｃをとり、点Ａと点Ｃ、点Ｂと点Ｃをそれぞれ結ぶ。ただし、ＡＣ＜ＢＣとする。線分ＢＣ上に点ＤをＣＡ＝ＣＤとなるようにとり、直線ＡＤをひき、弧ＡＢとの交点のうち、点Ａと異なる点をＥとし、点Ｅと点Ｂ、点Ｅと点Ｃをそれぞれ結ぶ。点Ｃを通り線分ＥＢと平行な直線をひき、線分ＡＥと交わる点をＦ、線分ＡＢと交わる点をＧとする。

ＡＢ＝４cm、ＡＣ＝２cmであるとき、次の値を求めなさい。

1）∠ＣＡＤの大きさ

2）∠ＡＣＥの大きさ

3）ＣＦの長さ

4）ＢＤの長さ

5）△ＣＤＥの面積

1）

直径ＡＢに対する円周角だから

∠ＡＣＢ＝90°

△ＣＡＤはＣＡ＝ＣＤの二等辺三角形だから

∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ

よって、

∠ＣＡＤ＝（180°－90°）÷２＝45°

2）

△ＡＢＣにおいて∠ＡＣＢ＝90°だから

三平方の定理より

ＢＣ²＝ＡＢ²－ＡＣ²

ＢＣ²＝４²－２²＝12

ＢＣ＝２√３cm（ＢＣ＞０）

よって、

ＡＣ：ＡＢ：ＢＣ

＝２：４：２√３

＝１：２：√３

直角三角形の辺の比より

∠ＢＡＣ＝60°

∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ－∠ＣＡＤだから

∠ＢＡＥ＝60°－45°＝15°

弧ＢＥに対する円周角だから

∠ＢＣＥ＝∠ＢＡＥ＝15°

∠ＡＣＢ＝90°だから

∠ＡＣＥ＝90°＋15°＝105°

3）

ＣＧ//ＥＢより、錯角が等しいから

∠ＢＥＦ＝∠ＣＦＥ

直径ＡＢに対する円周角だから

∠ＢＥＦ＝90°

よって、∠ＣＦＥ＝90°

△ＣＡＤは二等辺三角形だから

ＣＤ＝ＣＡ＝２cm

また、直角二等辺三角形の辺の比より

ＡＤ：ＣＤ＝√２：１

ＣＤ＝２cmだから

ＡＤ：２＝√２：１

ＡＤ＝２√２cm

ＣＦ⊥ＡＤだから

ＤＦ＝（1/2）ＡＤ＝√２cm

△ＣＤＦにおいて

∠ＣＦＤ＝90°、∠ＣＤＦ＝45°だから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＣＦ：ＣＤ＝１：√２

ＣＤ＝２cmだから

ＣＦ：２＝１：√２

よって、ＣＦ＝√２cm

4）

ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ

ＢＣ＝２√３cm、ＣＤ＝２cmだから

ＢＤ＝（２√３－２）cm

5）

△ＣＤＦと△ＢＤＥにおいて

ＣＦ//ＥＢより、錯角が等しいから

∠ＣＦＤ＝∠ＢＥＤ

∠ＤＣＦ＝∠ＤＢＥ

２組の角が等しいから

△ＣＤＦ∽△ＢＤＥ

よって、

ＤＦ：ＤＥ＝ＣＤ：ＢＤ

前問より

√２：ＤＥ＝２：（２√３－２）

２ＤＥ＝２√６－２√２

ＤＥ＝√６－√２

△ＣＤＥの底辺をＤＥとすると、

高さはＣＦの長さになるから

求める面積は、

（1/2）×（√６－√２）×√２

＝（1/2）×（２√３－２）

＝√３－１

よって、（√３－１）cm²

問題

下の図のような円があり、異なる３点Ａ、Ｂ、Ｃは円周上の点で、△ＡＢＣは正三角形である。辺ＢＣ上に、２点Ｂ、Ｃと異なる点Ｄをとり、２点Ａ、Ｄを通る直線と円との交点のうち、点Ａと異なる点をＥとする。また、点Ｂと点Ｅを結ぶ。ＡＢ＝４cm、ＢＤ：ＤＣ＝３：１であるとき、△ＢＤＥの面積を求めなさい。

点ＡからＢＣへの垂線をＨとする

△ＡＢＨは∠ＡＨＢ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ²

ＢＨ＝（1/2）ＢＣ＝２cm

ＡＨ²＝４²－２²＝12

ＡＨ＝２√３cm（ＡＨ＞０）

△ＡＢＣの面積は、

（1/2）×ＢＣ×ＡＨ

＝（1/2）×４×２√３

＝４√３cm²

ＢＤ：ＤＣ＝３：１だから

△ＡＣＤ＝（1/4）△ＡＢＣ

※高さが同じ

よって、

△ＡＣＤ＝（1/4）×４√３＝√３cm²

ＢＨ＝２cm、ＢＤ＝３cmだから

ＤＨ＝ＢＤ－ＢＨ＝１cm

△ＡＤＨで∠ＡＨＤ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＤ²＝ＡＨ²＋ＤＨ²

ＡＤ²＝（２√３）²＋１²＝13

ＡＤ＝√13cm（ＡＤ＞０）

△ＢＤＥと△ＡＤＣにおいて

弧ＣＥに対する円周角だから

∠ＥＢＤ＝∠ＣＡＤ

弧ＡＢに対する円周角だから

∠ＢＥＤ＝∠ＡＣＤ

２組の角が等しいから

△ＢＤＥ∽△ＡＤＣ

ＢＤ：ＡＤ＝３：√13だから

△ＢＤＥ：△ＡＤＣ

＝３²：（√13）²＝９：13

△ＡＣＤ＝√３cm²だから

△ＢＤＥ：√３＝９：13

よって、

△ＢＤＥ＝9√3/13 cm²

問題

下の図のような、線分ＡＢを直径とする半円Ｏがある。Ａ⌒Ｂ上に点Ｃをとり、直線ＡＣ上に点Ｄを、∠ＡＢＤ＝90°となるようにとる。ＡＣ＝３cm、ＣＤ＝１cmであるとき、あとの問いに答えなさい。円周率はπを用いること。

1）線分ＢＣの長さを求めなさい。

2）線分ＢＤと線分ＣＤとＢ⌒Ｃとで囲まれた部分の面積を求めなさい。

1）

△ＡＢＣと△ＡＤＢにおいて

∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＢ（共通）

直径に対する円周角だから

∠ＡＣＢ＝90°

∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ＝90°

２組の角が等しいから

△ＡＢＣ∽△ＡＤＢ　①

△ＢＤＣと△ＡＤＢにおいて

∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＢ（共通）

∠ＢＣＤ＝∠ＡＢＤ＝90°

２組の角が等しいから

△ＢＤＣ∽△ＡＤＢ　②

①、②より

△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ

よって、

ＡＣ：ＢＣ＝ＢＣ：ＤＣ

３：ＢＣ＝ＢＣ：１

ＢＣ²＝３

ＢＣ＝√３cm（ＢＣ＞０）

2）

△ＢＣＤにおいて、∠ＢＣＤ＝90°、

ＢＣ＝√３cm、ＣＤ＝１cmだから

∠ＣＢＤ＝30°

よって、

∠ＯＢＣ＝90°－30°＝60°

ＯＢ＝ＯＣだから

∠ＯＣＢ＝60°

よって、∠ＢＯＣ＝60°

弦ＢＣと弧ＢＣで囲まれた面積は

（おうぎ形ＯＢＣ）－（△ＯＢＣ）

で求められる。

おうぎ形ＯＢＣの半径は

ＯＢ＝ＢＣ＝√３cm

中心角は60°だから

おうぎ形ＯＢＣ

＝π×（√３）²×（60°/360°）

＝π/2 cm²

点ＯからＢＣへの垂線をＯＨとする

直角三角形の辺の比より

ＯＨ：ＯＣ＝√３：２

ＯＣ＝ＢＣ＝√３cmだから

ＯＨ：√３＝√３：２

ＯＨ＝3/2cm

よって、△ＯＢＣの面積は、

（1/2）×ＢＣ×ＯＨ

＝（1/2）×√３×（3/2）

＝3√3/4 cm²

よって、

弦ＢＣと弧ＢＣで囲まれた面積は

（π/2）－（3√3/4）cm²

求める面積は、

△ＢＣＤからこの面積を引いた部分だから

△ＢＣＤ

＝（1/2）×ＢＣ×ＣＤ＝√3/2cm² より

（√3/2）－｛（π/2）－（3√3/4）｝

＝（2√3/4）＋（3√3/4）－（π/2）

＝（5√3/4）－（π/2）cm²

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

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３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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