- たむかい学習教室
- 3 日前
- 読了時間: 10分
分母に文字を含む方程式
当塾では、６月から「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
分母に文字を含む方程式の解き方は、最初に「分母をすべてはらう」ことが基本になります。また、両辺をななめにかけることで、はらうこともできます（比例式と同じしくみ）。分母≠０という分数の基本も押さえておく必要があります。
問題
次の問いに答えなさい。
1）３倍しても３を加えても等しくなるような数を求めなさい。
2）４倍しても４を加えても等しくなる数と、５倍しても５を加えても等しくなるような数を求めなさい。
3）ｎを２以上の自然数とするとき、ｎ倍してもｎを加えても等しくなるような数をｎの式で表しなさい。
1）
求める数をｘとする
３ｘ＝ｘ＋３
２ｘ＝３
ｘ＝3/2
よって、3/2
2）
４ｘ＝ｘ＋４
３ｘ＝４
ｘ＝4/3
よって、4/3
５ｘ＝ｘ＋５
４ｘ＝５
ｘ＝5/4
よって、5/4
3）
求める数をｘとする
ｎｘ＝ｘ＋ｎ
ｎｘ－ｘ＝ｎ
（ｎ－１）ｘ＝ｎ
ｎ
ｘ＝━━━
ｎ－１
よって、
ｎ
━━━
ｎ－１
👉ｎが大きくなるにつれて、求める数は１に近づいていく。
問題
次の連立方程式を解きなさい。
１ １
━＋━＝３ ①
ｘ ｙ
２ １
━－━＝１ ②
ｘ ｙ
解き方１
①＋②
３
━＝４
ｘ
４ｘ＝３
ｘ＝3/4
①に代入
１÷（3/4）＋（1/ｙ）＝３
（4/3）＋（1/ｙ）＝３
両辺×３ｙ
４ｙ＋３＝９ｙ
５ｙ＝３
ｙ＝3/5
よって、
ｘ＝3/4、ｙ＝3/5
解き方２
１ １
━＝Ａ、━＝Ｂとする
ｘ ｙ
Ａ＋Ｂ＝３ ①’
２Ａ－Ｂ＝１ ②’
①’＋②’
３Ａ＝４
Ａ＝4/3
（1/ｘ）＝（4/3）
ｘ＝3/4
②に代入して、ｙ＝3/5
よって、
ｘ＝3/4、ｙ＝3/5
解き方３
①×ｘｙ
ｙ＋ｘ＝３ｘｙ ①’
②×ｘｙ
２ｙ－ｘ＝ｘｙ ②’
①’＋②’
３ｙ＝４ｘｙ
３ｙ－４ｘｙ＝０
ｙ（３－４ｘ）＝０
ｙ≠０より
ｘ＝3/4
①に代入
１÷（3/4）＋（1/ｙ）＝３
（4/3）＋（1/ｙ）＝３
両辺×３ｙ
４ｙ＋３＝９ｙ
５ｙ＝３
ｙ＝3/5
よって、
ｘ＝3/4、ｙ＝3/5
問題
次の式をｂについて解きなさい。
１ １ １
━－━＝━
ａ ｂ ｃ
解き方１
両辺×ａｂｃ
ｂｃ－ａｃ＝ａｂ
ｂｃ－ａｂ＝ａｃ
（ｃ－ａ）ｂ＝ａｃ
ａｃ
ｂ＝━━━
ｃ－ａ
（ｃ≠ａ）
解き方２
１ １ １
━＝━－━
ｂ ａ ｃ
１ ｃ－ａ
━＝━━━
ｂ ａｃ
両辺は逆数をとればよいから
ａｃ
ｂ＝━━━
ｃ－ａ
（ｃ≠ａ）
問題
２ １
━ｘ＋２ｙ＝４ｘ－━ｙ
３ ２
のとき、ｘ：ｙを最も簡単な整数の比で表しなさい。
両辺×６
４ｘ＋12ｙ＝24ｘ－３ｙ
20ｘ＝15ｙ
４ｘ＝３ｙ
解き方１
４ｘ＝３ｙだから
比例式の「内×内＝外×外」より
３：４＝ｘ：ｙ
よって、
ｘ：ｙ＝３：４
解き方２
４ｘ＝３ｙより
ｘ＝1/4、ｙ＝1/3で１＝１となるから
ｘ：ｙ＝1/4：1/3
よって、
ｘ：ｙ＝３：４
解き方３
４ｘ＝３ｙより
ｘ＝（3/4）ｙ
ｘ：ｙ
＝（3/4）ｙ：ｙ
＝３：４
よって、
ｘ：ｙ＝３：４
問題
次の式をａについて解きなさい。ただし、ｈ≠０とする。
１
Ｓ＝━ｈ（ａ＋ｂ）
２
両辺×２
２Ｓ＝ｈ（ａ＋ｂ）
ａｈ＋ｂｈ＝２Ｓ
ａｈ＝２Ｓ－ｂｈ
ｈ≠０だから
２Ｓ－ｂｈ
ａ＝━━━━━
ｈ
👉ｈ≠０である理由は？
「分母が０」だと割ることができない
分子÷０では商が立たない
また、
０÷０ではどんな数でもあてはまるため、値が１つに決まらない。
問題
次の式を計算しなさい。
２ ４
（－━ｘ²ｙ）³÷（━ｘｙ²）²×６ｘ³ｙ
３ ３
８ｘ⁶ｙ³ ９
＝－━━━━×━━━━×６ｘ³ｙ
27 16ｘ²ｙ⁴
＝－ｘ⁷
問題
次の式を計算しなさい。
ｘ³ ｘ² １
（━ － ━）÷（－ ━ｘ）²
４ ８ ２
ｘ³ ｘ² ４
＝（━ － ━）× ━
４ ８ ｘ²
１
＝ｘ－━
２
食塩水の問題
問題
容器Ａには濃度ａ％の食塩水100ｇが、容器Ｂには濃度５％の食塩水ｂｇがそれぞれ入っている。このとき、次の問いに答えなさい。
1）容器Ａに45ｇの水と５ｇの食塩を入れると、濃度12％の食塩水になった。このときのａの値を求めなさい。
2）1）で作った食塩水に容器Ｂの食塩水を混ぜ合わせると、濃度８％の食塩水になった。このときのｂの値を求めなさい。
1）
容器Ａに入っていた食塩
100×（ａ/100）＝ａ ｇ
ａ＋５
━━━━━━×100＝12
100＋45＋５
100（ａ＋５）
━━━━━━＝12
150
100（ａ＋５）＝1800
ａ＋５＝18
ａ＝13
2）
容器Ｂに入っていた食塩
ｂ×（5/100）＝ｂ/20 ｇ
18＋（ｂ/20）
━━━━━━×100＝８
150＋ｂ
1800＋５ｂ＝1200＋８ｂ
３ｂ＝600
ｂ＝200
問題
２つの容器Ａ、Ｂがある。容器Ａには15％の食塩水200ｇが入っていて、容器Ｂには５％の食塩水300ｇが入っている。２つの容器からそれぞれ等しい重さの食塩水を取り出し、容器Ａから取り出した食塩水を容器Ｂに、容器Ｂから取り出した食塩水を容器Ａに入れて、それぞれよくかき混ぜたところ、２つの容器の食塩水の濃度が等しくなった。２つの容器それぞれから何ｇの食塩水を取り出したか。
求める食塩水をｘｇとする
Ａに入っていた食塩
200×（15/100）＝30ｇ
Ａから取り出した食塩
ｘ×（15/100）＝（15/100）ｘ ｇ
Ａに残った食塩
30－（15/100）ｘ ｇ
Ｂに入っていた食塩
300×（5/100）＝15ｇ
Ｂから取り出した食塩
ｘ×（5/100）＝（5/100）ｘ ｇ
Ｂに残った食塩
15－（5/100）ｘ ｇ
Ａ⇒Ｂ
Ｂに入っている食塩の合計
15－（5/100）ｘ＋（15/100）ｘ
＝15＋（1/10）ｘ ｇ
Ｂ⇒Ａ
Ａに入っている食塩の合計
30－（15/100）ｘ＋（5/100）ｘ ｇ
＝30－（1/10）ｘ ｇ
入れかえ後の食塩水の重さは同じだから
Ａの濃度
30－（1/10）ｘ
━━━━━━━×100
200
Ｂの濃度
15＋（1/10）ｘ
━━━━━━━×100
300
よって、
30－（1/10）ｘ 15＋（1/10）ｘ
━━━━━━━＝━━━━━━━
200 300
90－（3/10）ｘ＝30＋（2/10）ｘ
900－３ｘ＝300＋２ｘ
５ｘ＝600
ｘ＝120
よって、120ｇ
※別解
全体の濃度を出す
食塩の合計
30＋15＝45ｇ
全体の重さ
200＋300＝500ｇ
混ぜた後の濃度
（45/500）×100＝９％
混ぜた後のＡの食塩の合計
濃度は９％だから
200×（9/100）＝18ｇ
Ａに入っている食塩の合計
30－（15/100）ｘ＋（5/100）ｘ ｇ
＝30－（1/10）ｘ ｇ
よって、
30－（1/10）ｘ＝18
300－ｘ＝180
ｘ＝120ｇ
問題
12％の食塩水200ｇが入った容器がある。この容器からｘｇの食塩水をくみ出して、次に９％の食塩水ｘ/２ｇと水ｘ/２ｇを入れてかき混ぜると、10.5％の食塩水ができるという。次の問いに答えなさい。
1）ｘについての方程式をつくりなさい。
2）ｘの値を求めなさい。
1）
200ｇの食塩水に含まれる食塩
濃度12％
200×（12/100）＝24ｇ
ｘｇの食塩水に含まれる食塩
濃度12％
ｘ×（12/100）＝（12/100）ｘ ｇ
ｘ/２ｇの食塩水に含まれる食塩
濃度９％
（ｘ/２）×（9/100）＝（9/200）ｘ ｇ
10.5％の食塩に含まれる食塩
24－（12/100）ｘ＋（9/200）ｘ ｇ
10.5％の食塩水の合計
200－ｘ＋（ｘ/２）＋（ｘ/２） ｇ
24－（12/100）ｘ＋（9/200）ｘ
━━━━━━━━━━━━━━━×100＝10.5
200－ｘ＋（ｘ/２）＋（ｘ/２）
2）
2400－12ｘ＋（9/2）ｘ＝2100
（15/2）ｘ＝300
15ｘ＝600
ｘ＝40
問題
Ａの容器には濃度２％の食塩水が200ｇ、Ｂの容器には濃度３％の食塩水が300ｇ、Ｃの容器には濃度４％の食塩水が400ｇ入っている。いま、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれの容器から、同量の食塩水をｘｇずつ同時に取り出し、Ａから取り出した食塩水をＢに、Ｂから取り出した食塩水をＣに、Ｃから取り出した食塩水をＡに入れた。このとき、次の問いに答えなさい。
1）Ａの容器から取り出した食塩水に含まれていた食塩の量をｘを用いて表せ。
2）Ａの容器内の食塩水の濃度をｘを用いて表せ。
3）Ａの容器内の食塩水の濃度とＣの容器内の食塩水の濃度が等しくなった。このとき、取り出した食塩水の量と、Ａの容器内の食塩水の濃度を求めよ。
1）
ｘ×（2/100）
＝（2/100）ｘ
＝（1/50）ｘ ｇ
2）
取り出す前のＡに含まれる食塩
200×（2/100）＝４ｇ
取り出した後のＡに含まれる食塩
４－（2/100）ｘ ｇ
Ａに移すＣに含まれる食塩
ｘ×（4/100）
＝（4/100）ｘ ｇ
移した後のＡに含まれる食塩
４－（2/100）ｘ＋（4/100）ｘ
取り出す前後の食塩水の重さは同じ200ｇ
４－（2/100）ｘ＋（4/100）ｘ
━━━━━━━━━━━━━━×100
200
400＋２ｘ
＝━━━━━
200
200＋ｘ
＝━━━━％
100
3）
取り出す前のＣに含まれる食塩
400×（4/100）＝16ｇ
取り出した後のＣに含まれる食塩
16－（4/100）ｘ ｇ
Ｃに移すＢに含まれる食塩
ｘ×（3/100）
＝（3/100）ｘ ｇ
移した後のＣに含まれる食塩
16－（4/100）ｘ＋（3/100）ｘ
取り出す前後の食塩水の重さは同じ400ｇ
16－（4/100）ｘ＋（3/100）ｘ
━━━━━━━━━━━━━━×100
400
1600－ｘ
＝━━━━％
400
よって、
200＋ｘ 1600－ｘ
━━━━＝━━━━
100 400
800＋４ｘ＝1600－ｘ
５ｘ＝800
ｘ＝160
したがって、
取り出した食塩の量は、160ｇ
また、Ａの容器内の濃度は
200＋ｘ
━━━━％
100
＝360÷100＝3.6％
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塾生の声
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この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
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入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
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これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
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目標の中学受験
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中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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