動点と座標【一次関数】

たむかい学習教室
2025年11月26日
読了時間: 8分

動点と座標【一次関数】

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

図形上の動点の問題では、動点の速さが一定であるとき、時間ｘと面積ｙのグラフは直線で表されます。そのため、動点が図形の頂点にあるときの座標を利用して式を求めることができます。

問題

下の図の直角三角形ＡＢＣで、点ＰはＡを出発して、辺上をＢを通ってＣまで動く。点ＰがＡからｘcm動いたときの△ＡＰＣの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｐが辺ＡＢ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。また、ｘの変域を求めなさい。

2）点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。また、ｘの変域を求めなさい。

1）

点Ａにいるとき

ｘ＝０、ｙ＝０

点Ｂにいるとき

ｘ＝４、ｙ＝６

👉４cm動くと、面積は（1/2）×４×３＝６

グラフにすると直線の式で、

（０，０）（４，６）を通る。

ｙ＝ａｘに、

ｘ＝４、ｙ＝６を代入

６＝ａ×４

ａ＝3/2

よって、ｙ＝（3/2）ｘ

ｘの最小値は０、最大値は４だから

０≦ｘ≦４

式　ｙ＝（3/2）ｘ

変域　０≦ｘ≦４

2）

点Ｂにいるとき

ｘ＝４、ｙ＝６

点Ｃにいるとき

ｘ＝７、ｙ＝０

👉７cm動くとＣに重なるから、面積は０

（４，６）（７，０）を通る直線だから

ｘの増加量　７－４＝３

ｙの増加量　０－６＝－６

傾きａ　－６／３＝－２

切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂ

（７，０）を通るから

０＝－２×７＋ｂ

ｂ＝14

よって、ｙ＝－２ｘ＋14

ｘの最小値は４、最大値は７だから

４≦ｘ≦７

式　ｙ＝－２ｘ＋14

変域　４≦ｘ≦７

問題

下の図は長方形ＡＢＣＤで、点ＰはＡを出発して、辺上をＢ、Ｃを通ってＤまで動く。点ＰがＡからｘcm動いたときの△ＡＰＤの面積をｙcn²として、あとの問いに答えなさい。

1）点ＰがＡＢ間にあるとき、ｙをｘの式で表しなさい。

2）点ＰがＢＣ間にあるとき、ｙをｘの式で表しなさい。

3）点ＰがＣＤ間にあるとき、ｙをｘの式で表しなさい。

1）

点ＰがＡにあるとき

ｘ＝０、ｙ＝０

👉（０，０）

点ＰがＢにあるとき

ｘ＝ＡＢ＝３

ｙ＝（1/2）×ＡＤ×ＡＢ

　＝（1/2）×４×３＝６

👉（３，６）

求める式を、ｙ＝ａｘとする。

ｘ＝３、ｙ＝６を代入

６＝ａ×３

ａ＝２

よって、ｙ＝２ｘ

2）

点ＰがＢにあるとき

👉（３，６）

点ＰがＣにあるとき

ｘ＝ＡＢ＋ＢＣ

　＝３＋４＝７

ｙ＝（1/2）×ＡＤ×ＡＢ

　＝（1/2）×４×３＝６

👉（７，６）

ｙの値が常に同じだから

ｙ＝６

3）

点ＰがＣにあるとき

👉（７，６）

点ＰがＤにあるとき

ｘ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ

　＝３＋４＋３＝10

ｙ＝０

👉（10，０）

求める式を、ｙ＝ａｘ＋ｂとする。

ｘの増加量　10－７＝３

ｙの増加量　０－６＝－６

傾きａ　－６／３＝－２

ｙ＝－２ｘ＋ｂに、（10，０）を代入

０＝－２×10＋ｂ

ｂ＝20

よって、ｙ＝－２ｘ＋20

動点の速さ

問題

下の図のような長方形ＡＢＣＤの辺上を、点Ｐは、毎秒１cmの速さで、ＣからＤ、Ａを通ってＢまで動く。点ＰがＣを出発してからｘ秒後の△ＢＣＰの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。

点Ｐが次の辺上を動くとき、ｘとｙの関係を式で表しなさい。

①　辺ＣＤ上

②　辺ＤＡ上

③　辺ＡＢ上

①

点Ｃにいるとき

ｘ＝０、ｙ＝０

点Ｄにいるとき

ｘ＝３、ｙ＝６

👉毎秒１cmで３cm動くから、時間ｘは３÷１＝３秒

※ｘの値は「秒」である

速さが一定だから直線のグラフで、

（０，０）（３，６）を通る。

ｙ＝ａｘに、（３，６）を代入

６＝ａ×３

ａ＝２

よって、ｙ＝２ｘ

2）

点Ｄにいるとき

ｘ＝３、ｙ＝６

点Ａにいるとき

ｘ＝７、ｙ＝６

👉時間ｘは、７cm÷毎秒１cm＝７秒

（３，６）（７，６）を通る直線で、

２点のｙの値が同じだから

ｙ＝６

👉グラフにするとｘ軸に平行な直線

👉ｙの値は、ｘがどの値をとっても同じ

※ＤＡ上では、底辺と高さが常に同じ。

3）

点Ａにいるとき

ｘ＝７、ｙ＝６

点Ｂにいるとき

ｘ＝10、ｙ＝０

👉時間ｘは、10cm÷毎秒１cm＝10秒

👉Ｂに重なるとき、面積は０

（７，６）（10，０）を通る直線だから

ｘの増加量　10－７＝３

ｙの増加量　０－６＝－６

傾きａ　－６／３＝－２

👉速さは一定だから、ＣＤ上の傾きの絶対値と同じ

切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂ

（10，０）を通るから

０＝－２×10＋ｂ

ｂ＝20

よって、ｙ＝－２ｘ＋20

速さに関する問題

問題

水の入った水そうから、一定の割合で水をぬいていく。水をぬき始めてから５分後には水そうの中の水の量は16Ｌに、９分後には８Ｌになった。このとき、次の問いに答えなさい。

1）水をぬき始めてからｘ分後の水そうの中の水の量をｙＬとして、ｙをｘの式で表しなさい。ただし、変域は求めなくてよい。

2）水そうの中の水が空になるのは、水をぬき始めてから何分後か、求めなさい。

1）

ｘ＝５のとき、ｙ＝16

ｘ＝９のとき、ｙ＝８

水が出ていく速さは一定だから

ｘの増加量　９－５＝４

ｙの増加量　８－16＝－８

変化の割合　－８／４＝－２

切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂ

ｘ＝９、ｙ＝８を代入

８＝－２×９＋ｂ

ｂ＝26

よって、ｙ＝－２ｘ＋26

2）

空になるのは、ｙ＝０のときだから

０＝－２ｘ＋26

ｘ＝13

よって、13分後

問題

駅からスタジアムまでの８kmの路線を、一定の速さで往復運行しているバスがある。このバスは、駅を出発して16分後にスタジアムに到着し、スタジアムで４分間停車して、再びスタジアムから駅へと走る。

下の図は、バスが駅を出発してからの時間と、駅からの道のりとの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。

1）バスは、駅からスタジアムまで時速何kmで走るか、求めなさい。

2）ある日、大輔さんは、自転車に乗って駅を出発し、バスと同じ路線をスタジアムに向かって時速15kmで走った。大輔さんがバスと同時に駅を出発したところ、スタジアムに向かう途中でこのバスとすれちがった。大輔さんは、駅を出発してから何分後にこのバスとすれちがったのか、求めなさい。

1）

８kmの道のりを16分で到着

時速で求めるから、16分を「時間」にかえる。

16分＝16/60時間

道のり÷時間＝速さ　だから

８÷（16/60）

＝８×（60/16）

＝30

よって、時速30km

2）

バスとすれ違ったとあるから

グラフでは、20≦ｘ≦36の範囲になる。

大輔さんが、時速15kmでｘ分間進むときの式は

道のり＝速さ×時間だから

ｙ＝15×（1/60）ｘ

ｙ＝（1/4）ｘ　①

👉時速だから、時間の単位を分から時間にかえる。

　ｘ分＝（1/60）時間

バスがスタジアムを出発するときは、

ｘ＝20、ｙ＝８

到着するときは、

ｘ＝36、ｙ＝０

ｘの増加量　36－20＝16

ｙの増加量　０－８＝－８

傾きａ　－８／16＝－1/2

切片の値をｂとする

ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｂ

ｘ＝36、ｙ＝０を代入

０＝（－1/2）×36＋ｂ

ｂ＝18

よって、

20≦ｘ≦36のときのバスの式は、

ｙ＝（－1/2）ｘ＋18　②

①と②の交点のｘの値になるから

（1/4）ｘ＝（－1/2）ｘ＋18

ｘ＝－２ｘ＋72

ｘ＝24

よって、24分後

👉動点

👉一次関数練習問題

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