十分条件と必要条件高校数学

たむかい学習教室
6月28日
読了時間: 8分

十分条件と必要条件高校数学

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　６月も終盤を迎え、高校数学では、「命題」の単元に入っています。命題の真偽をもとに、十分条件や必要条件について判断する学習から始まります。条件に対して、「～であれば十分」か、「必ず～である」かについて考えていきます。

十分条件・必要条件

ＰならばＱが真👉ＰはＱの十分条件

ＱならばＰが真👉ＱはＰの必要条件

両方とも真👉ＰはＱの必要十分条件

「偶数であるならば整数」

偶数であるならば整数　真

偶数であれば十分

整数であるならば偶数　偽

必ずしも整数ではない（反例　－1, ０, 1）

👉偶数は整数であるための十分条件

問題

ｘ、ｙは実数とする。次の（　）に「必要」、「十分」のうち、適する語を入れよ。

1）ｘ＝－２は、ｘ²＝４であるための（　）条件である。

2）ｘ＞０は、ｘ＞１であるための（　）条件である。

3）ｘ＝ｙは（ｘ－ｙ）ｘ＝０であるための（　）条件である。

1）

ｘ＝－２ → ｘ²＝４　真

ｘ²＝４ → ｘ＝－２　偽

反例　ｘ²＝４ → ｘ＝±２　

Ａ．十分

2）

ｘ＞０ → ｘ＞１　偽

反例　ｘ＝1/2

ｘ＞１ → ｘ＞０　真

Ａ．必要

3）

ｘ＝ｙ→（ｘ－ｙ）ｘ＝０　真

（ｘ－ｙ）ｘ＝０→ｘ＝ｙ　偽

反例　ｘ＝０、ｙ＝１

Ａ．十分

問題

ｘ、ｙは実数とする。次の（　）に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち、適する語を入れよ。

1）ｘ＝ｙ＝２は、２ｘ－ｙ＝２ｙ－ｘ＝２であるための（　）条件である。

2）ｘ＝２は、ｘ²－ｘ－２＝０であるための（　）条件である。

3）△ＡＢＣ∽△ＰＱＲは、△ＡＢＣ≡△ＰＱＲであるための（　）条件である。

1）

ｘ＝ｙ＝２→２ｘ－ｙ＝２ｙ－ｘ＝２　真

２ｘ－ｙ＝２ｙ－ｘ＝２→ｘ＝ｙ＝２　真

Ａ．必要十分

2）

ｘ＝２→ｘ²－ｘ－２＝０　真

ｘ²－ｘ－２＝０→ｘ＝２　偽

反例

ｘ²－ｘ－２＝０

（ｘ＋１）（ｘ－２）＝０

ｘ＝－１，２

Ａ．十分

3）

△ＡＢＣ∽△ＰＱＲ→△ＡＢＣ≡△ＰＱＲ　偽

反例

辺の長さが等しいとは限らない

△ＡＢＣ≡△ＰＱＲ→△ＡＢＣ∽△ＰＱＲ　真

Ａ．必要

4）|ｘ|＝０は、ｘ＝０であるための（　）条件である。

5）ｘ＜３は、－１＜ｘ＜１であるための（　）条件である。

6）|ｘ|＝|ｙ| は、ｘ²＝ｙ²であるための（　）条件である。

4）

|ｘ|＝０→ｘ＝０　真

ｘ＝０→ |ｘ|＝０　真

Ａ．必要十分

5）

ｘ＜３ → －１＜ｘ＜１　偽

反例　ｘ＝２，－２

－１＜ｘ＜１ → ｘ＜３　真

Ａ．必要

6）

|ｘ|＝|ｙ| → ｘ²＝ｙ²　真

ｘ²＝ｙ² → |ｘ|＝|ｙ|　真

Ａ．必要十分

※

|ｘ|＝±ｘ　|ｙ|＝±ｙ

問題

ａ、ｂ、ｃは実数とする。次の中で、ａ＞ｂと同値な条件をすべて選べ。

①　ａ² ＞ｂ²

②　ａ－ｃ＞ｂ－ｃ

③　ａｃ＞ｂｃ

①

ａ² ＞ｂ²→ａ＞ｂ　偽

反例　ａ＝－２、ｂ＝－１

ａ＞ｂ→ａ² ＞ｂ²　偽

反例　ａ＝１、ｂ＝－１

②

ａ－ｃ＞ｂ－ｃ→ａ＞ｂ　真

ａ＞ｂ→ａ－ｃ＞ｂ－ｃ　真

ｃにどんな実数を入れても成り立つ

③

ａｃ＞ｂｃ→ａ＞ｂ　偽

反例　ａ＝－２、ｂ＝－１、ｃ＝－１、

ａ＞ｂ→ａｃ＞ｂｃ　偽

反例　ａ＝１、ｂ＝－１、ｃ＝－１

Ａ．②

問題

ａ、ｂは実数とする。次の条件の否定を述べよ。

1）ａは無理数である。

2）ａ²＋ｂ²＜４

3）ａ≠－２

1）

ａは有理数である。

2）

ａ²＋ｂ²≧４

※

ａ²＋ｂ²＜４

ａ²＋ｂ²は４を含まない↔４を含む

ａ²＋ｂ²は４より小さい↔４より大きい

3）

ａ＝－２

※

ａは－２ではない↔－２である

問題

ａ、ｂは実数、ｍ、ｎは自然数とする。次の条件の否定を述べよ。

1）ａ＜－１

2）ｎは偶数または３の倍数

3）３≦ａ＜７

4）ｂ≦－１または０＜ｂ

5）ｍ、ｎはともに５の倍数

6）ｍ、ｎの少なくとも一方は偶数

1）

ａ≧－１

2）

ｎは奇数かつ３の倍数でない

3）

ａ＜３またはａ≧７

※

３≦ａ＜７「ａは３以上かつ７未満」

ａ≧３↔ａ＜３

ａ＜７↔ａ≧７

4）

－１＜ｂ≦０

ｂ≦－１↔ｂ＞－１

ｂ＞０↔ｂ≦０

5）

ｍ、ｎの少なくとも一方は５の倍数でない

6）

ｍ、ｎはともに奇数

問題

ａ、ｂは実数とする。次の（　）に、「必要条件であるが十分条件でない」、「十分条件であるが必要条件でない」、「必要十分条件である」のうち、適するものを入れよ。いずれでもない場合には✖印を入れよ。

1）ａ＝√ｂ²であることは、ａ＝ｂであるための（　）。

2）ａｂ＋１＝ａ＋ｂであることは、ａ＝１またはｂ＝１であるための（　）。

3）|ａ|＜１かつ|ｂ|＜１であることは、ａｂ＋１＞ａ＋ｂであるための（　）。

4）Ａ、Ｂを２つの集合とする。ａがＡ∪Ｂの要素であることは、ａがＡの要素であるための（　）。

1）

ａ＝√ｂ² → ａ＝ｂ　偽

反例　ａ＝１、ｂ＝－１

ａ＝ｂ→ａ＝√ｂ² 　偽

反例　ａ＝ｂ＝－１

Ａ．✖

2）

ａｂ＋１＝ａ＋ｂ→ａ＝１またはｂ＝１　真

※

ａｂ＋１＝ａ＋ｂ

ａｂ－ａ－ｂ＋１＝０

ａ（ｂ－１）－（ｂ－１）＝０

（ａ－１）（ｂ－１）＝０

ａ＝１またはｂ＝１→ａｂ＋１＝ａ＋ｂ　真

※

ａｂ＋１＝ａ＋ｂ

１×３＋１＝１＋３

１×（－３）＋１＝１＋（－３）

４×１＋１＝４＋１

（－４）×１＋１＝（－４）＋１

Ａ．必要十分条件である

3）

|ａ|＜１かつ|ｂ|＜１→ａｂ＋１＞ａ＋ｂ　真

※

|ａ|＜１　－１＜ａ＜１

|ｂ|＜１　－１＜ｂ＜１

－１＜ａ＜１かつ－１＜ｂ＜１

ａｂ＋１＞ａ＋ｂ→|ａ|＜１かつ|ｂ|＜１　偽

反例　ａ＝－１、ｂ＝－１

Ａ．十分条件であるが必要条件でない

4）

ａがＡ∪Ｂの要素である→ａがＡの要素である　偽

反例　Ｂの要素のみに含まれる場合がある

ａがＡの要素である→ａがＡ∪Ｂの要素である　真

Ａ．必要条件であるが十分条件でない

問題

次の命題の否定を述べよ。また、もとの命題とその否定の真偽を調べよ。

1）すべての実数ｘについて（ｘ＋１）²＞０

2）ある自然数ｎについてｎ²＝５

1）

命題の否定

ある実数ｘについて（ｘ＋１）²≦０

もとの命題

ｘはすべての実数→（ｘ＋１）²＞０　偽

反例　ｘ＝－１

否定の真偽

ｘ＝－１のとき、成り立つ　真

※（－１＋１）² ≦０

≦：「＝」または「＜」が成り立つの意味

０≦０は成り立つ

2）

命題の否定

すべての自然数ｎについてｎ²≠５

もとの命題

ｎはある自然数→ｎ²＝５　偽

反例　（±√5）²＝５だが、±√5は自然数ではない

否定の真偽　真

２乗して５となる自然数はない

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塾生の声

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（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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