合同と相似高校入試対策2

たむかい学習教室
3月16日
読了時間: 7分

合同と相似高校入試対策2

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

今月初めには県立高入試があり、中３受験生は連日、入試対策に取り組みました。本県では、図形の証明問題が毎年出題されます。ここでは、三角形の合同と相似に関する解説を行っています。

問題

下の図のように、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣがある。辺ＢＣ上に２点Ｂ、Ｃと異なる点Ｄをとり、点Ｃを通り辺ＡＢに平行な直線とＡＤを延長した直線との交点をＥとする。また、ＣＡを延長した直線上にＣＥ＝ＡＦとなる点Ｆをとり、点Ｂと点Ｆを結ぶ。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、ＣＥ＜ＡＣで、点Ｆは辺ＡＣ上にないものとする。

1）△ＡＣＥと△ＢＡＦが合同になることを証明しなさい。

2）△ＣＤＥの面積が８cm²、ＡＤ：ＤＥ＝ＢＤ：ＤＣ＝２：１のとき、△ＦＢＣの面積を求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＣＥと△ＢＡＦにおいて

仮定より

ＡＣ＝ＢＡ　①

ＣＥ＝ＡＦ　②

ＡＢ//ＣＥより、平行線の同位角だから

∠ＡＣＥ＝∠ＢＡＦ　③

①、②、③より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＣＥ≡△ＢＡＦ

2）

△ＡＢＤと△ＥＣＤにおいて

ＡＢ//ＣＥより、錯角が等しいから

∠ＡＢＤ＝∠ＥＣＤ

∠ＢＡＤ＝∠ＣＥＤ

２組の角が等しいから

△ＡＢＤ∽△ＥＣＤ

相似比は、２：１だから

面積比は、２²：１²＝４：１

よって、

△ＡＢＤ：８cm²＝４：１

△ＡＢＤ＝32cm²

ＢＤ：ＤＣ＝２：１より

△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝２：１

※高さが等しいから底辺比が面積比

よって、

32cm²：△ＡＣＤ＝２：１

△ＡＣＤ＝16cm²

△ＢＡＦ＝△ＡＣＤ＋△ＣＤＥ

　　　　＝16＋８＝24cm²

△ＦＢＣ＝△ＢＡＦ＋△ＡＣＤ＋△ＡＢＤ

　　　　＝24＋16＋32

　　　　＝72cm²

問題

下の図のように、長方形ＡＢＣＤがあり、辺ＢＣ上に点Ｅをとる。また、線分ＡＥの中点をＦとすると、ＤＡ＝ＤＦである。さらに、∠ＡＤＦの二等分線と線分ＡＦとの交点をＧ、点Ｆを通り辺ＡＤに平行な直線と辺ＣＤとの交点をＨとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＥと△ＤＧＡが相似になることを証明しなさい。

2）ＡＤ＝15cm、ＦＨ＝12cmのとき、線分ＡＥの長さを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＥと△ＤＧＡにおいて

ＡＤ//ＢＣより、平行線の錯角だから

∠ＢＥＡ＝∠ＧＡＤ　①

四角形ＡＢＣＤは正方形だから

∠ＡＢＥ＝90°　②

ＤＡ＝ＤＦより、△ＤＡＦは二等辺三角形で、

線分ＤＧは∠ＡＤＦの二等分線だから

ＤＧ⊥ＡＦより、∠ＤＧＡ＝90°　③

②、③より

∠ＡＢＥ＝∠ＤＧＡ　④

①、④より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ∽△ＤＧＡ

2）

直線ＨＦとＡＢとの交点をＩとする

ＩＨ＝ＡＤ＝15cm、ＦＨ＝12cmだから

ＩＦ＝15－12＝３cm

ＦはＡＥの中点で、ＩＦ//ＢＥより

ＢＥ＝２ＩＦ＝６cm

△ＤＦＨにおいて、∠ＤＨＦ＝90°だから

三平方の定理より

ＤＨ²＝ＤＦ²－ＦＨ²

ＤＦ＝ＡＤ＝15cmだから

ＤＨ²＝15²－12²＝81

ＤＨ＝９cm（ＤＨ＞０）

ＨはＤＣの中点だから

ＡＢ＝２ＤＨ＝18cm

△ＡＥＢにおいて、三平方の定理より

ＡＥ²＝ＡＢ²＋ＢＥ²

＝18²＋６²＝360

ＡＥ＞０より

ＡＥ＝６√10cm

2020年青森県立高校入試

問題

下の図は、ＡＢ＝√３cm、ＢＣ＝３cmの平行四辺形ＡＢＣＤである。辺ＡＤ上にＡＥ＝１cmとなる点Ｅをとり、線分ＢＤと線分ＣＥの交点をＦとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＥと△ＣＢＤが相似になることを証明しなさい。

2）△ＢＣＦの面積は△ＡＢＥの面積の何倍か、求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＥと△ＣＢＤにおいて

仮定より

∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＤ　①

ＡＥ：ＣＤ＝１：√３　②

ＡＢ：ＣＢ＝√３：３＝１：√３　③

②、③より

ＡＥ：ＣＤ＝ＡＢ：ＣＢ　④

①、④より

２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ∽△ＣＢＤ　

2）

△ＡＢＥと△ＢＤＥにおいて

ＡＥ：ＤＥ＝１：２だから

△ＡＢＥ：△ＢＤＥ＝１：２

※高さが等しいから底辺比が面積比

よって、

△ＡＢＥ＝（1/3）△ＡＢＤ　①

また、△ＢＦＣと△ＤＦＥにおいて

ＢＣ//ＥＤより

２組の錯角が等しいから

△ＢＦＣ∽△ＤＦＥ

よって、

ＢＦ：ＤＦ＝ＢＣ：ＤＥ＝３：２

よって、

△ＢＣＦ＝（3/5）△ＢＣＤ　②

①、②、△ＡＢＤ＝△ＢＣＤより

（3/5）÷（1/3）＝9/5

よって、9/5倍

問題

下の図のように、線分ＡＢを直径とする半円があり、点Ｏは線分ＡＢの中点である。Ａ⌒Ｂ上に３点Ｃ、Ｄ、Ｅがあり、Ｃ⌒Ｄ＝Ｄ⌒Ｅ＝Ｅ⌒Ｂである。線分ＡＥと線分ＢＣとの交点をＦとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＣＡＤ∽△ＦＡＢを証明しなさい。

2）ＡＢ＝12cm、∠ＣＡＢ＝45°とするとき、次の問いに答えなさい。

①　線分ＣＦの長さを求めなさい。

②　△ＣＡＤの面積を求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＣＡＤと△ＦＡＢにおいて

Ｃ⌒Ｄ＝Ｅ⌒Ｂより

長さの等しい弧に対する円周角だから

∠ＣＡＤ＝∠ＦＡＢ　①

Ａ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＦ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＣＡＤ∽△ＦＡＢ

2）①

直径ＡＢに対する円周角だから

∠ＡＣＢ＝90°

∠ＣＡＢ＝45°だから

△ＣＡＢで直角二等辺三角形の辺の比より

ＣＡ：ＡＢ＝１：√２

ＡＢ＝12cmより

ＣＡ：12＝１：√２

ＣＡ＝６√２cm

Ｃ⌒Ｄ＝Ｄ⌒Ｅ＝Ｅ⌒Ｂより

線分ＡＤ、ＡＥは、∠ＣＡＢを三等分する

よって、

∠ＣＡＦ＝45°×（2/3）＝30°

△ＡＦＣで直角三角形の辺の比より

ＣＦ：ＡＣ＝１：√３

ＣＦ：６√２＝１：√３

ＣＦ＝２√６cm

2）②

△ＣＡＤ∽△ＦＡＢを利用して求める

△ＡＦＣの面積は、

（1/2）×ＡＣ×ＣＦ

＝（1/2）×６√２×２√６

＝12√３cm²

△ＡＣＢの面積は、

（1/2）×ＡＣ×ＢＣ

＝（1/2）×６√２×６√２

＝36cm²

△ＦＡＢ＝△ＡＣＢ－△ＡＦＣだから

△ＦＡＢ＝36－12√３cm²

△ＡＦＣで三平方の定理より

ＦＡ²＝ＡＣ²＋ＣＦ²

　　＝（６√２）²＋（２√６）²

　　＝96

ＦＡ＝４√６cm（ＦＡ＞０）

△ＣＡＤ∽△ＦＡＢより

相似比は、

ＣＡ：ＦＡ＝６√２：４√６

÷２√２

ＣＡ：ＦＡ＝３：２√３

面積比は相似比の２乗だから

△ＣＡＤ：△ＦＡＢ＝９：12＝３：４

△ＦＡＢ＝36－12√３cm²より

△ＣＡＤ：（36－12√３）＝３：４

△ＣＡＤ＝（3/4）×（36－12√３）

　　　　＝27－９√３cm²

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