合同の証明練習問題

たむかい学習教室
3 日前
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合同の証明練習問題

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三角形の合同を証明する問題では、対応する辺や角が等しい理由を加えながら、２組の三角形が合同であることを結論づけます。問題文にある情報をていねいに読み取って、図に正しく書き込むことが基本になります。

問題

下の図で、△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。線分ＡＤが∠ＢＡＣの二等分線であるとき、合同な三角形の組と、このときに使う合同条件を答えなさい。

ＡＢ＝ＡＣ

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ

ＡＤ＝ＡＤ（共通）

よって、

△ＡＢＤと△ＡＣＤ

２組の辺とその間の角が等しい

※別解

ＡＢ＝ＡＣ

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ

二等辺三角形の底角は等しいから

∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ

よって、

△ＡＢＤと△ＡＣＤ

１組の辺とその両端の角が等しい

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。このとき、△ＡＢＤ≡△ＣＤＢであることを証明しなさい。

△ＡＢＤと△ＣＤＢにおいて

平行四辺形の対角は等しいから

∠ＢＡＤ＝∠ＤＣＢ　①

平行四辺形の対辺は等しいから

ＡＢ＝ＣＤ　②

ＡＤ＝ＣＢ　③

①、②、③より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＤ≡△ＣＤＢ

※別解

平行四辺形の対辺は等しいから

ＡＢ＝ＣＤ

ＡＤ＝ＣＢ

共通な辺だから

ＢＤ＝ＤＢ

👉３組の辺がそれぞれ等しい

※別解

共通な辺だから

ＢＤ＝ＤＢ

ＡＤ//ＢＣより

錯角は等しいから

∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ

∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ

👉１組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤと四角形ＡＥＦＧはともに正方形であり、点Ｅは辺ＢＣの延長上にある。△ＡＢＥ≡△ＡＤＧであることを証明しなさい。

△ＡＢＥと△ＡＤＧにおいて

四角形ＡＢＣＤとＡＥＦＧは正方形だから

ＡＢ＝ＡＤ　①

ＡＥ＝ＡＧ　②

∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＤ－∠ＤＡＥ

　　　　＝90°－∠ＤＡＥ　③

∠ＤＡＧ＝∠ＥＡＧ－∠ＤＡＥ

　　　　＝90°－∠ＤＡＥ　④

③、④より

∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＧ　⑤

①、②、⑤より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ≡△ＡＤＧ

問題

下の図で、△ＡＢＣ≡△ＤＥＦで、４点Ｂ、Ｆ、Ｃ、Ｅ１つの直線上にある。点Ａと点Ｆ、点Ｄと点Ｃをそれぞれ結ぶとき、△ＡＢＦ≡△ＤＥＣであることを証明しなさい。

△ＡＢＦと△ＤＥＣにおいて

△ＡＢＣ≡△ＤＥＦより

対応する辺は等しいから

ＡＢ＝ＤＥ　①

ＢＣ＝ＥＦ　②

ＢＦ＝ＢＣ－ＣＦ　③

ＥＣ＝ＥＦ－ＣＦ　④

②、③、④より

ＢＦ＝ＥＣ　⑤

対応する角は等しいから

∠ＡＢＦ＝∠ＤＥＣ　➅

①、⑤、➅より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＦ≡△ＤＥＣ

対応する等しい辺の証明

問題

下の図で、△ＡＢＣは辺ＢＣを底辺とする二等辺三角形である。ＢＤ＝ＣＥならば、ＡＤ＝ＡＥであることを証明しなさい。

△ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて

仮定より

ＢＤ＝ＣＥ　①

△ＡＢＣは辺ＢＣを底辺とする二等辺三角形だから

ＡＢ＝ＡＣ　②

∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ　③

①、②、③より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＤ≡△ＡＣＥ

合同な図形の対応する辺は等しいから

ＡＤ＝ＡＥ

問題

下の図で、△ＡＢＣは正三角形である。辺ＡＢ、ＢＣ上にそれぞれ点Ｄ、ＥをＡＤ＝ＢＥとなるようにとるとき、ＡＥ＝ＣＤとなることを証明しなさい。

△ＣＡＤと△ＡＢＥにおいて

ＡＤ＝ＢＥ　①

△ＡＢＣは正三角形だから

ＣＡ＝ＡＢ　②

∠ＣＡＤ＝∠ＡＢＥ　③

①、②、③より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＣＡＤと△ＡＢＥ

合同な図形の対応する辺は等しいから

ＡＥ＝ＣＤ

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苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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