- たむかい学習教室
- 13 時間前
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図形 高校入試対策
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
夏休みの受験生は、来春の受験に向けて、今までの学習内容の復習を行っています。高校入試の数学では、図形に関する出題があり、角度や表面積・体積の計算など、さまざまな公式を使います。
問題
次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。
1）
∠Ｂ＝180°－35°－90°＝55°
ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形だから
底角∠Ｂ＝∠Ｃ＝55°
よって、
ｘ＝180°－55°×２＝70°
2）
△ＡＢＤはＡＤ＝ＢＤの二等辺三角形だから
∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＤ＝30°
△ＡＢＣはＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形だから
∠ＢＡＣ＝（180°－30°）÷２＝75°
よって、
ｘ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ
＝75°－30°
＝45°
3）
△ＡＢＣはＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡの正三角形だから
∠ＡＣＢ＝60°
△ＢＣＤはＢＣ＝ＣＤの二等辺三角形
頂角∠ＢＣＤ＝60°＋50°＝110°だから
∠ＣＢＤ＝（180°－110°）÷２＝35°
∠ＡＢＣ＝60°だから
ｘ＝60°－∠ＣＢＤ
＝60°－35°
＝25°
問題
下の図で、△ＡＢＣと△ＤＥＦは正三角形であるとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
辺ＡＢとＤＥの交点をＧ、
辺ＢＣとＤＥの交点をＨとする
△ＧＢＨで内角と外角の関係より
∠ＤＨＣ＝∠ＢＧＨ＋∠ＧＢＨ
＝74°＋60°＝134°
辺ＢＣとＥＦの交点をＩ、
辺ＥＦとＡＣの交点をＪとする
△ＥＨＩで内角と外角の関係より
∠ＥＩＨ＝∠ＤＨＣ－∠ＨＥＩ
＝134°－60°＝74°
対頂角は等しいから
∠ＪＩＣ＝∠ＥＩＨ＝74°
△ＪＣＩで内角と外角の関係より
∠ｘ＝∠ＪＣＩ＋∠ＪＩＣ
＝60°＋74°＝134°
よって、134°
※別解（チョウチョ型の三角形）
∠ＤＨＣ＝134°より
∠ＥＨＩ＝180°－134°＝46°
△ＥＨＩと△ＪＣＩの外角は互いに等しいから
∠ＥＨＩ＋∠ＨＥＩ＝∠ＣＪＩ＋∠ＪＣＩ
46°＋60°＝∠ＣＪＩ＋60°
∠ＣＪＩ＝46°
∠ｘ＝180°－∠ＣＪＩ
＝180°－46°＝134°
問題
下の図は、ＡＢ＝５cm、ＢＣ＝６cm、ＣＤ＝10cm、∠Ｂ＝∠Ｃ＝90°の台形である。この台形を、直線ＡＢを回転の軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
半径６cmの円と高さ10cmの円柱の体積から、頂点をＡとする円錐の体積をひいて求める。
円柱の体積
π×６²×10＝360π cm³
円錐の体積
高さは10－５＝５cm
（1/3）×π×６²×５＝60π cm³
よって、求める体積は
360π－60π＝300π cm³
問題
1）円周の長さが14π cmの円の面積を求めなさい。
2）半径８cm、面積24π cm²のおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。
1）
半径をｒcmとする
２πｒ＝14π
ｒ＝７
よって、
π×７²＝49π cm²
2）
求める中心角をａ°とする
π×８²×（ａ/360）＝24π
（8/45）ａ＝24
ａ＝24×（45/8）＝135
よって、135°
問題
下の図は、半径10cm、中心角144°のおうぎ形から、半径５cmのおうぎ形を取り除いてできた図形である。あとの問いに答えなさい。
1）この図形の面積を求めなさい。
2）この図形の周の長さを求めなさい。
1）
（半径10cmのおうぎ形）－（半径５cmのおうぎ形）
半径10cmのおうぎ形
π×10²×（144/360）
＝100π×（2/5）
＝40π cm²
半径５cmのおうぎ形
π×５²×（2/5）
＝10π cm²
よって、
40π－10π＝30π cm²
2）
Ａ⌒Ｂ＋Ｃ⌒Ｄ＋ＡＣ＋ＢＤ
Ａ⌒Ｂの長さ
２π×10×（2/5）＝８π cm
Ｃ⌒Ｄの長さ
２π×５×（2/5）＝４π cm
ＡＣ＋ＢＤ
＝５＋５＝10cm
よって、
12π＋10 cm
問題
下の図のように、おうぎ形ＯＡＢとおうぎ形ＯＣＤがある。点Ａは線分ＯＤ上にあり、３点、Ｂ、Ｏ、Ｃは一直線上にある。Ａ⌒Ｂの長さが２π cm、ＯＢ＝８cm、ＣＯ＝12cmのとき、Ｃ⌒Ｄの長さを求めなさい。ただし、円周率はπとする。
弧ＡＢをふくむ円の円周
半径ＯＢ＝８cmだから
２π×８＝16π cm
1周16π cmのうち、弧ＡＢは２πcmだから
おうぎ形ＯＡＢは、円の2π/16π＝1/8の部分
中心角は、360°×（1/8）＝45°
よって、
∠ＣＯＤ＝180°－45°＝135°
おうぎ形ＯＣＤの半径は12cmだから
弧ＣＤ＝２π×12×（135/360）
＝24π×（3/8）
＝９π cm
問題
下の図のように、半径６cm、中心角60°のおうぎ形ＯＡＢと、線分ＯＡ、ＯＢを直径とする半円をかく。このとき、図のかげをつけた部分の面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。
図全体の面積－直径ＯＡの半円
＝おうぎ形＋直径ＯＢの半円－直径ＯＡの半円
直径ＯＢの半円と直径ＯＡの半円は、面積が同じだから
かげの部分は、おうぎ形ＯＡＢの面積
π×６²×（60/360）
＝６π cm²
問題
図１の円柱形の容器（底面の半径が３cm、高さが15cm）を満水にしたあと、容器を45°傾けたとき、図２のようになった。図２の容器に残っている水の体積を求めなさい。
図２の空白
円柱の高さの線と円の直径の線が90°で交わるから、
正面から見たときにできる三角形は、直角二等辺三角形
円の直径が６cmだから、空白の側面の高さの線も６cm
空白の体積は、
底面の半径３cm、高さ６cmの円柱の半分だから
（1/2）×π×３²×６
＝27π cm³
円柱の容器全体の体積は、
π×３²×15＝135π cm³
よって、求める体積は
135π－27π＝108π cm³
2026年・青森県立高校入試
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八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第一高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
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八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 小中野中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 八戸工大二高附属中 階上町立階上中 南部町立福地中 岩手県洋野町立大野中 久慈市立久慈中 軽米町立軽米中
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
この塾で本当に良かった！
通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
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