図形の見方高校入試対策

たむかい学習教室
10月22日
読了時間: 7分

図形の見方高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の数学では、図形の問題が出題されます。平面図形や立体の「高さ」を利用する出題が多く、視点の変え方がポイントになります。演習では、図に書き表してみることで、身につけていくことができます。

三角形の角度の見方

問題

下の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。

下図

①四角形ＡＢＣＤの内角から∠ＡＤＣを求める

②△ＦＥＤの内角と外角からｘを求める

180°－（35°＋130°＋110°）

＝85°

ｘ＋45°＝85°

ｘ＝40°

高さの見方

問題

下の図は、∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ＝90°、ＡＢ＝６cm、ＢＣ＝８cm、ＣＡ＝ＡＤ＝10cmの三角柱ＡＢＣＤＥＦである。点ＧはＣＡ上の点で、ＣＧ＝４cmである。点Ｈは辺ＤＦ上の点で、ＤＨ＝４cmである。あとの問いに答えなさい。

1）四角形ＣＧＤＨの面積を求めなさい。

2）点Ｂから辺ＡＣに垂線をひき、垂線と辺ＡＣの交点をＩとするとき、線分ＢＩの長さを求めなさい。

3）四角錐ＢＣＧＤＨの体積を求めなさい。

1）

三角柱だから、ＡＣ//ＤＦ

ＡＣ//ＤＦより、ＣＧ//ＤＨ

また、ＣＧ＝ＤＨ＝４cm

対辺が平行で長さが等しいから、

四角形ＣＧＤＨは平行四辺形である。

底辺ＤＨ＝４cm、高さＣＦ＝10cm

求める面積は、

４×10＝40cm²

2）

△ＡＢＣ

①底辺ＢＣ、高さＡＢとして見る

②底辺ＡＣ、高さＢＩとして見る

（1/2）×ＡＣ×ＢＩ＝（1/2）×ＢＣ×ＡＢ

（1/2）×10×ＢＩ＝（1/2）×８×６

５ＢＩ＝24

ＢＩ＝24/5 cm

3）

四角錐の底面をＣＧＤＨとすると、

高さはＢＩになる。※底面に対して垂直

よって、求める体積は、

（1/3）×40×（24/5）

＝64cm²

👉入試問題は、前問の答えを利用する形の出題になります。

底辺比・面積比の見方

問題

下の図のように、ＡＢ＝ＡＣ、∠ＢＡＣ＜90°である二等辺三角形ＡＢＣと、ＡＤ＝ＡＥである二等辺三角形ＡＤＥがある。点Ｄは辺ＡＣ上の点で、∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥである。点Ｂと点Ｄ、点Ｃと点Ｅをそれぞれ結ぶ。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＤと△ＡＣＥが合同になることを証明しなさい。

2）ＡＤ：ＤＣ＝３：２のとき、△ＡＢＣの面積は△ＡＣＥの面積の何倍か、求めなさい。

1）

ポイント

二等辺三角形の底角は等しい

👇

底角以外の角どうしが等しくなる

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ

〔証明〕

△ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて

ＡＢ＝ＡＣ　①

ＡＤ＝ＡＥ　②

∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ　③

△ＡＢＣの内角の和から

∠ＢＡＤ＝180°－２∠ＡＢＣ　④

△ＡＤＥの内角の和から

∠ＣＡＥ＝180°－２∠ＡＤＥ　⑤

③、④、⑤より

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ　➅

①、②、➅から

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＤ≡△ＡＣＥ

2）

△ＡＢＤと△ＣＢＤは、

それぞれ高さが等しい。

ＡＤ：ＤＣ＝３：２だから

△ＡＢＤ：△ＣＢＤ＝３：２

👉高さが等しいから、底辺比が面積比になる。

よって、

△ＡＢＣ：△ＡＢＤ＝５：３

△ＡＢＤ＝△ＡＣＥだから

△ＡＢＣ：△ＡＣＥ＝５：３

よって、

△ＡＢＣの面積は、△ＡＣＥの5/3倍

円柱の切断

問題

図１の円柱形の容器（底面の半径が３cm、高さが15cm）を満水にしたあと、容器を45°傾けたとき、図２のようになった。図２の容器に残っている水の体積を求めなさい。

下図

空の部分のふちは、正三角形になる。

∠Ｂ＝∠Ｃ＝45°、∠Ａ＝90°

直径ＡＣ＝６cmだから、ＡＢ＝６cm

空の部分の体積は、

高さ６cmの円柱の半分だから

π×３²×６×（1/2）

＝27π cm³

高さ15cmの円柱の体積は、

π×３²×15

＝135π cm³

よって、求める体積は、

135π－27π＝108π cm³

グラフと三角形の見方

問題

下の図で、①は関数ｙ＝（1/2）ｘ＋４のグラフであり、点Ａは①とｙ軸の交点である。②は点Ａを通る、傾きが－3/2の直線である。③は関数ｙ＝ｔのグラフである。ただし、ｔ＞０である。点Ｐは①と③の交点、点Ｑは②と③の交点である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）直線②の式を求めなさい。

2）点Ｐのｙ座標を、ｔを使った最も簡単な式で表しなさい。

3）線分ＰＱの長さを、ｔを使った最も簡単な式で表しなさい。

4）△ＡＰＱの面積が16cm²となるとき、ｔの値を求めなさい。

1）

直線②の切片の値は、①と同じ４

傾き－3/2だから、求める式は、

ｙ＝（－3/2）ｘ＋４

2）

点Ｐは直線①上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（1/2）ｔ＋４

よって、求める座標は、

（1/2）ｔ＋４

3）

ＰＱの長さは２点のｙの値の差になる

点Ｑのｙの値は、（－3/2）ｔ＋４

ＰＱの長さは、

（1/2）ｔ＋４－｛（－3/2）ｔ＋４｝

＝（1/2）ｔ＋４＋（3/2）ｔ－４

＝２ｔ

4）

△ＡＰＱの底辺をＰＱとすると、

高さは点ＡとＰＱとの距離になる。

点Ａからの垂線とＰＱとの交点をＨとする。

ＡＨの長さは、２点のｘの値の差だから

ｔ－０＝ｔcm

△ＡＰＱ＝16cm²だから

（1/2）×ＰＱ×ＡＨ＝16

（1/2）×２ｔ×ｔ＝16

ｔ²＝16

ｔ＝±４

ｔ＞０より、ｔ＝４

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