図形問題高校受験対策2

たむかい学習教室
8月27日
読了時間: 7分

図形問題高校受験対策2

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

夏休みも終盤、塾生は２学期の準備学習や受験対策に取り組んでいます。高校入試では、図形に関する問題が必ず出題されます。そのため、面積や体積の求め方、図形の性質、合同条件や相似条件などの基本は、確実に押さえておく必要があります。また、さまざまな問題の演習を通して、図形の見方や考え方を広げていくことができます。

三角錐

問題

下の図は、底面が∠ＡＢＣ＝90°の直角三角形ＡＢＣで、高さがＯＡの三角錐ＯＡＢＣである。ＡＢ＝８cm、ＢＣ＝６cm、△ＯＡＢ≡△ＣＢＡのとき、あとの問いに答えなさい。

1）三角錐ＯＡＢＣの体積を求めなさい。

2）ＡＣ＝10cmであるとき、△ＯＡＣを底面としたときの三角錐ＯＡＢＣの高さを求めなさい。

1）

錐の体積

👉1/3×底面積×高さ

底面積

△ＡＢＣ

＝1/2×ＢＣ×ＡＢ

＝1/2×６×８

＝24cm²

高さ　ＯＡ

△ＯＡＢ≡△ＣＢＡより

ＯＡ＝ＣＢ＝６cm

三角錐の体積は、

1/3×24×６

＝48cm³

2）

求める高さをｘcmとする

底面積

△ＯＡＣ

＝1/2×ＡＣ×ＯＡ

＝1/2×10×６

＝30cm²

三角錐の体積は48cm³だから

1/3×30×ｘ＝48

10ｘ＝48

ｘ＝24/5

よって、求める高さは、

24/5cm

問題

下の図は、ＡＤ＝８cm、ＤＣ＝６cm、ＡＥ＝５cmの直方体であり、ＢＤ＝10cmである。あとの問いに答えなさい。

1）この直方体の表面積を求めなさい。

2）三角錐ＤＡＢＦの体積を求めなさい。

3）三角錐ＤＡＢＦの底面を△ＤＢＦとしたときの高さを求めなさい。

1）

表面積

👉側面積＋底面積

側面積

ＡＥＨＤとＢＦＧＣ

５×８×２＝80cm²

ＡＥＦＢとＤＨＧＣ

５×６×２＝60cm²

底面積

ＡＢＣＤとＥＦＧＨ

８×６×２＝96cm²

よって、求める表面積は、

80＋60＋96

＝236cm²

2）

底面を△ＡＦＢ、高さをＤＡとする。

底面積

△ＡＦＢ

＝1/2×ＡＢ×ＦＢ

＝1/2×６×５

＝15cm²

高さＤＡ＝８

三角錐の体積は、

1/3×15×８

＝40cm³

3）

求める高さをｘcmとする

底面積

△ＤＢＦ

＝1/2×ＢＤ×ＦＢ

＝1/2×10×５

＝25cm²

三角錐の体積は40cm³だから

1/3×25×ｘ＝40

25ｘ＝120

ｘ＝24/5

よって、求める高さは、

24/5cm

三角形の合同

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形で、点Ｅは辺ＣＤの中点、点Ｆは辺ＡＤ上の点で、直線ＦＥと直線ＢＣとの交点をＧとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＤＥＦと△ＣＥＧが合同になることを証明しなさい。

2）ＡＦ＝５cm、ＢＧ＝12cmのとき、線分ＦＤの長さを求めなさい。

1）

△ＤＥＦと△ＣＥＧで

仮定より

ＥＤ＝ＥＣ　①

ＡＤ//ＢＧより

平行線の錯角は等しいから

∠ＦＤＥ＝∠ＧＣＥ　②

また、対頂角は等しいから

∠ＤＥＦ＝ＣＥＧ　③

①、②、③より

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

△ＤＥＦ≡△ＣＥＧ

2）

ＦＤ＝ｘcmとする

△ＤＥＦ≡△ＣＥＧより

ＦＤ＝ＧＣ＝ｘ

ＡＦ＝５cmより

ＡＤ＝ＢＣ＝ｘ＋５

ＢＣ＋ＧＣ＝ＢＧより

（ｘ＋５）＋ｘ＝12

２ｘ＝７

ｘ＝7/2

よって、ＦＤの長さは、

7/2cm

角柱の体積

問題

下の図のような、各面が長方形と合同な台形でできている容器Ａに、深さ12cmまで水が入っている。あとの問いに答えなさい。

1）水の体積は何cm³か、求めなさい。

2）この水を、図の三角柱の容器Ｂに全部移すと、水の深さは何cmになるか、求めなさい。

1）

下図の通り

△ＣＤＥは

ＣＤ＝ＣＥ、∠Ｄ＝∠Ｅ＝45°

の二等辺三角形になる

また、

∠Ｆ＝90°、∠Ｄ＝45°より

∠Ｄ＝∠Ｇ＝45°だから

△ＦＤＧは

ＦＤ＝ＦＧの二等辺三角形になる

よって、

△ＦＤＧを底面とする三角柱と、

残りの直方体の体積を求める。

三角柱の体積

1/2×12×12×25

＝1800cm³

直方体の体積

25×20×12

＝6000cm³

よって、水の体積は、

1800＋6000

＝7800cm³

2）

Ｂの底面積×高さ＝7800

Ｂの底面積は、

1/2×20×26

＝260cm²

求める高さをｘcmとすると

260×ｘ＝7800

ｘ＝30

よって、30cm

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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