平方根の応用問題2

たむかい学習教室
9月17日
読了時間: 7分

平方根の応用問題2

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

ただいま「秋期講習」を実施しています。中３数学では１学期に「平方根」の単元に入り、塾生たちは、この秋期講習を利用して応用問題に取り組んでいます。√のついた数（無理数）の「小数部分」は、整数部分を引くことで求めることができます。

因数分解と代入

問題

ｘ＝√５＋１のとき、ｘ²－２ｘ＋１の値を求めなさい。

ｘ²－２ｘ＋１

＝（ｘ－１）²

＝（√５＋１－１）²

＝５

問題

ａ＝√30－６のとき、ａ²＋12ａ＋35の値を求めなさい。

ａ²＋12ａ＋35

＝（ａ＋７）（ａ＋５）

＝（√30－６＋７）（√30－６＋５）

＝（√30＋１）（√30－１）

＝（√30）²－１²

＝29

問題

ｎを50以下の正の整数とするとき、√5nの値が整数となるようなｎの値をすべて求めなさい。

５ｎが２乗の形になるｎを求める

👉√の中が、５×５×□²

よって、

５×５×１²

５×５×２²

５×５×３²　のとき

ｎ＝５×１²，５×２²，５×３²

　＝５，20，45

整数部分・小数部分

問題

√５の小数部分をａとするとき、ａ（ａ＋２）の値を求めなさい。

√５の整数部分を求める

√４＜√５＜√９より

２＜√５＜３

√５は、２より大きく３より小さい数だから

整数部分は２

よって、小数部分のａは、

√５－２

ａ（ａ＋２）

＝（√５－２）（√５－２＋２）

＝√５（√５－２）

＝５－２√５

問題

２√７－３の整数の部分はいくつになるか、求めなさい。

２√７＝√28

√25＜√28＜√36より

５＜√28＜６

よって、整数部分は５

２√７－３より

２√７の整数部分の５から３を引けばよいので

求める値は、２

問題

２√７－３の小数の部分をａとするとき、ａ²＋５ａの値を求めなさい。

２√７－３の整数部分は２だから

小数部分は、

２√７－３－２

＝２√７－５

ａ²＋５ａ

＝ａ（ａ＋５）

＝（２√７－５）（２√７－５＋５）

＝２√７（２√７－５）

＝28－10√７

図形の応用

問題

下の図で、方眼の１目もりを１cmとして、正方形ＡＢＣＤの１辺の長さを求めなさい。

正方形ＡＢＣＤの面積は、

底辺１cm、高さ２cmの直角三角形４つと

１辺が１cmの正方形１つを合わせた面積になる。

１×２×1/2×４＋１×１

＝５cm²

正方形ＡＢＣＤの１辺をｘcmとすると

ｘ×ｘ＝５

ｘ²＝５

ｘ＝√５（ｘ＞０）

よって、√５cm

問題

体積が900πcm³、高さが15cmの円柱がある。この円柱の底面の半径をｘcmとする。２ｎ＜ｘとするとき、ｎにあてはまるもっとも大きい整数を求めなさい。

円柱の体積の公式より

π×ｘ²×15＝900π

15πｘ²＝900π

ｘ²＝60

ｘ＝２√15（ｘ＞０）

２ｎ＜ｘより

２ｎ＜２√15

ｎ＜√15

√９＜√15＜√16より

３＜√15＜４だから

もっとも大きい整数ｎは、３

数の規則性

問題

150枚のカードがある。これらのカードは下の図のように、表には、１から150までの自然数が１つずつ書いてあり、裏には、表の数の、正の平方根の整数部分が書いてある。150枚のカードの裏の数をすべてかけ合わせた数をＰとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）次の文の㋐・㋑にあてはまる数、㋒～㋔にあてはまる式をそれぞれ求めなさい。

表の数が150であるカードの裏の数は（㋐）なので、裏の数ｎは（㋐）以下の自然数になる。

・ｎが（㋐）のとき

　裏の数が（㋐）であるカードは、全部で（㋑）枚ある。

・ｎが（㋐）未満の自然数のとき

　裏の数がｎであるカードの表の数のうち、もっとも小さい数は（㋒）であり、もっとも大きい数は（㋓）である。

　よって、裏の数がｎであるカードは、全部で（㋔）枚ある。

表の数が150のとき、

裏の数は√150の整数部分だから

√144＜√150＜√169より

12＜√150＜13

よって、裏の数は12

ｎ＝12のとき

裏の数が12であるのは、

表の数が144から150まで

よって、７枚

ｎ＜12のとき

ｎ＝１では、表の最小は１

ｎ＝２では、表の最小は４

ｎ＝３では、表の最小は９

よって、

表の最も小さい数は、ｎ²

また、

ｎ＝１では、表の最大は３

👉２²－１＝３　（１＋１）²－１

ｎ＝２では、表の最大は８

👉３²－１＝８　（２＋１）²－１

ｎ＝３では、表の最大は15

👉４²－１＝15　（３＋１）²－１

よって、

表の最も大きい数は、

（ｎ＋１）²－１

裏の数が12であるとき、

表の数は144から150の７枚

150－144＋１＝７

つまり、裏の数が同じ枚数は、

（表の最大）－（表の最小）＋１

で求められるから

（ｎ＋１）²－１－ｎ²＋１

＝２ｎ＋１

よって、

裏の数がｎであるカードは、

全部で（２ｎ＋１）枚

㋐ 12　㋑７　㋒ｎ²　㋓ （ｎ＋１）²－１　㋔ ２ｎ＋１

2）Ｐの一の位から並ぶ０の個数を求めなさい。

裏の数には、「10」が含まれるから、

一の位から「・・０００」のように、

かけ合わせると０が並ぶことになる。

裏の数が「10」の枚数は、

２ｎ＋１

＝２×10＋１

＝21枚

また、

裏の数「５」に偶数をかけても、10または10の倍数になる

「５」の枚数

２×５＋１＝11枚

よって、

21＋11＝32枚で、

10を32個かけることになるから

０が並ぶ個数は、32個

※２，４，６，・・・の偶数は11枚以上ある

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今年度塾生35名（2025年9月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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