平面図形空間図形考査解説

たむかい学習教室
3月8日
読了時間: 9分

平面図形空間図形考査解説

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

３学期も残り１か月、中学生・高校生には期末考査の解説、受験生には入試対策を行っています。中学・高校ともに、年度の後半は図形の学習で、出題範囲も図形問題が中心になります。

中学数学（おうぎ形・円錐・球）

問題

次のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

1）半径６cm、中心角150°

弧の長さ

２π×６×（150°/360°）

＝12π×（150/360）

＝π×（150/30）

＝５π cm

面積

π×６²×（150°/360°）

＝36π×（150/360）

＝π×（150/10）

＝15π cm²

2）半径４cm、中心角225°

弧の長さ

２π×４×（225°/360°）

＝π×（225/45）

＝５π cm

面積

π×４²×（225°/360°）

＝16π×（225/360）

＝２π×（225/45）

＝２π×５

＝10π cm²

問題

次の問いに答えなさい。

1）半径が９cm、中心角が80°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。

2）半径が10cm、中心角が108°のおうぎ形の面積を求めなさい。

1）

２π×９×（80°/360°）

＝π×（80/20）

＝４π cm

2）

π×10²×（108°/360°）

＝10π×（108/36）

＝10π×３

＝30π cm²

問題

下の図は、線分ＡＢを、点Ｏを中心として時計回りに240°だけ回転移動させたものである。ＯＡ＝２cm、ＯＢ＝５cmとするとき、線分ＡＢが動いたあとにできる図形の面積を求めなさい。

２つのおうぎ形の中心角は240°

ＯＢを半径とするおうぎ形

π×５²×（240°/360°）

＝25π×（2/3）

＝（50/3）π cm²　①

ＯＡを半径とするおうぎ形

π×２²×（2/3）

＝（8/3）π cm²　②

①－②より

（50/3）π－（8/3）π

＝（42/3）π

＝14π cm²

問題

下の図において、ＡＢ＝２cm、ＢＣ＝６cmのとき、かげをつけた部分の周りの長さを求めなさい。

Ａ⌒Ｃの長さ

半径４cmの半円だから

（1/2）×２π×４＝４π cm　①

Ｂ⌒Ｃの長さ

半径３cmの半円だから

（1/2）×２π×３＝３π cm　②

Ａ⌒Ｂの長さ

半径１cmの半円だから

（1/2）×２π×１＝π cm　③

①＋②＋③より

４π＋３π＋π＝８π cm

問題

母線の長さが10cmの円錐を、頂点Ｏを中心として平面上で転がしたところ、ちょうど５回転してもとの位置にもどった。この円錐の底面の円の半径を、円周率をπとして求めなさい。

円Ｏの円周は

２π×10＝20π cm

１回転分の長さは

20π÷５＝４π cm

これが底面の円周だから

求める半径は

４π÷２π＝２cm

問題

次の立体は球体を４等分したものである。この立体の体積と表面積をそれぞれ求めなさい。

体積

（1/4）×（4/3）π×９³

＝（1/3）π×９³

＝243π cm³

表面積

切り口は半円２つ分だから

半径９cmの円の面積を求める

π×９²＝81π cm²　①

球の表面

（1/4）×４π×９²　②

＝81π cm²

①＋②より

81π＋81π＝162π cm²

問題

半径３cm、長さ30cmの円柱型の鉛筆を下の図のようにけずり、先を円錐にした。鉛筆の先端からけずった円錐部分をＡ、円柱部分をＢとするとき、Ａの円錐の高さは４cm、母線の長さは５cmになった。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、円周率をπとする。

1）この鉛筆の体積を求めなさい。

2）この鉛筆の表面積を求めなさい。

1）

円錐Ａの体積

底面の半径３cm、高さ４cm

（1/3）×π×３²×４

＝12π cm³　①

円柱Ｂの体積

底面の半径３cm、高さ30－４＝26cm

π×３²×26

＝234π cm³　②

①＋②より

12π＋234π＝246π cm³

2）

円錐Ａは側面のおうぎ形の部分

弧の長さは、２π×３＝６π cm

母線の長さが５cmだから

（1/2）×５×６π＝15π cm²　③

円柱Ｂは側面と底面１つ分

側面は長方形

縦は円柱の高さ　26cm

横は底面の円周　６π cm

よって、26×６π＝156π cm²　④

底面は、π×３²＝９π cm²　⑤

③＋④＋⑤より

15π＋156π＋９π＝180π cm²

問題

下の図のように、点Ｃを回転の中心として長方形ＡＢＣＤを矢印の向きに120°回転移動させたところ、四角形ＥＦＣＧの位置に移った。このとき、∠ＤＣＦの大きさを求めなさい。

辺ＤＣはＧＣに移るから

∠ＤＣＧ＝120°

∠ＦＣＧ＝90°だから

∠ＤＣＦ＝120°－90°＝30°

数の規則性

問題

１辺５cmの正方形の紙がたくさんある。これを、のりしろが１辺２cmの正方形になるようにつなぎ合わせていく。下の図は、正方形の紙を５枚つなぎ合わせた図形であり、この図形の面積は109cm²、のりしろ部分の面積の合計は16cm²である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）正方形の紙を８枚つなぎ合わせたとき、できた図形の面積を求めなさい。

2）正方形の紙をｎ枚つなぎ合わせたとき、できた図形の面積を、ｎを使った式で表しなさい。ただし、式はもっとも簡単な形で表すこと。

3）正方形の紙を何枚かつなぎ合わせたとき、できた図形の面積が550cm²になった。このとき、のりしろ部分の面積の合計を求めなさい。

1）

１辺５cmの正方形の面積　５²＝25cm²

１辺２cmの正方形の面積　２²＝４cm²

１枚のとき（のりしろ０枚）

25×１－４×０＝25cm²

２枚のとき（のりしろ１枚）

25×２－４×１＝46cm²

３枚のとき（のりしろ２枚）

25×３－４×２＝67cm²

よって、１枚ごとに面積は21cm²増える

あと５枚で、21×５＝105cm²増えるから

67＋105＝172cm²

2）

ｎ＝１のとき　25×１－４×０

ｎ＝２のとき　25×２－４×１

ｎ＝３のとき　25×３－４×２

よって、

25×ｎ－４×（ｎ－１）

＝21ｎ＋４

3）

2）より

21ｎ＋４＝550

ｎ＝26

26枚のときののりしろだから

４×（26－１）＝100cm²

高校入試対策（県立入試過去問）

問題

下の図は、底面の半径が１cm、高さが２√２cmの円錐である。母線ＡＢの中点をＭとし、点Ｂから点Ｍまで、円錐の側面にそって母線ＡＣを通り、最も短くなるように糸をかける。あとの問いに答えなさい。

1）母線ＡＢの長さを求めなさい。

2）この円錐の展開図をかいたとき、側面になるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

3）糸の長さを求めなさい。

1）

点Ａから底面への垂線をＡＯとする

△ＡＢＯで三平方の定理より

ＡＢ²＝ＡＯ²＋ＢＯ²

　　＝（２√２）²＋１²＝９

ＡＢ＞０より　ＡＢ＝３

2）

中心角の求め方

360°×（底面の半径÷母線の長さ）

360°×（ＢＯ/ＡＯ）

＝360°×（1/3）＝120°

3）

展開図のおうぎ形上では、ＢＭは直線

Ｍから半直線ＢＡへの垂線をＭＨとする

△ＭＡＨで直角三角形の辺の比より

ＭＨ：ＭＡ＝√３：２

ＭＡ＝（1/2）ＢＡ＝3/2cmだから

ＭＨ：3/2＝√３：２

ＭＨ＝３√３/４cm

ＡＨ：ＭＡ＝１：２

ＡＨ：3/2＝１：２

ＡＨ＝3/4cm

よって、

ＢＨ＝ＢＡ＋ＡＨ

　　＝３＋（3/4）＝15/4cm

△ＢＭＨで三平方の定理より

ＢＭ²＝ＭＨ²＋ＢＨ²

　　＝（３√３/４）²＋（15/4）²

　　＝252/16

ＢＭ＞０より

ＢＭ＝３√７/２cm

高校数学Ⅰ　正弦・余弦定理

問題

△ＡＢＣにおいて次の等式が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさを求めなさい。

sinＡ：sinＢ：sinＣ＝７：５：３

最大の角はＡ

ＢＣ＝７ｋ、ＣＡ＝５ｋ、ＡＢ＝３ｋとおく

余弦定理より

cosＡ

＝（AB²＋CA²－BC²）/2・AB・CA

＝（9ｋ²＋25ｋ²－49ｋ²）/2・3ｋ・5ｋ

＝－15ｋ/30ｋ　　

＝－1/2

０°＜Ａ＜180°より

Ａ＝120°

問題

円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝２、ＢＣ＝４、ＣＤ＝３、ＤＡ＝２のとき、次のものを求めなさい。

1）cosＢ

2）ＡＣの長さ

3）四角形ＡＢＣＤの面積Ｓ

1）

△ＢＡＣで余弦定理より

AC²

＝BA²＋BC²－2・BA・BCcosＢ

＝４＋16－16cosＢ

＝20－16cosＢ

円に内接する四角形の性質より

∠Ｄ＝180°－∠Ｂ

△ＤＡＣで余弦定理より

AC²

＝DA²＋DC²－2・DA・DCcos(180°－B)

cos（180°－Ｂ）＝－cosＢだから

AC²

＝４＋９＋12cosＢ

＝13＋12cosＢ

ＡＣ²＝ＡＣ²より

20－16cosＢ＝13＋12cosＢ

28cosＢ＝7

cosＢ＝1/4

2）

ＡＣ²＝13＋12cosＢより

ＡＣ²＝13＋12×（1/4）＝16

ＡＣ＞０より　ＡＣ＝４

3）

sin²θ＋cos²θ＝１より

sin²θ＝１－cos²Ｂ

　　＝１－（1/4）²＝15/16

０°＜θ＜180°より

sinθ＝√15/4

△ＡＢＣ

＝（1/2）・BA・BC・sinＢ

＝（1/2）・２・４・（√15/4）

＝√15

△ＡＣＤ

＝（1/2）・DA・DC・sin(180°－B)

sin(180°－B)＝sinＢだから

（1/2）・２・３・（√15/4）

＝3√15/4

よって、

△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ

＝√15＋（3√15/4）

＝7√15/4

※別解

円に内接する四角形の面積

辺の長さをａ、ｂ、ｃ、ｄとする

ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）/２

Ｓ＝√｛（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）（ｓ－ｄ）｝

ｓ＝（２＋４＋３＋２）/２＝11/2

Ｓ＝√｛（7/2）・（3/2）・（5/2）・（7/2）｝

　＝7√15/4

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（小学６年）

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