座標と三角形の面積
中学数学の関数では、グラフ上にできる三角形や四角形の面積を利用する問題があります。グラフ上にある点の座標を求めて、三角形であればｘ軸やｙ軸との関係から底辺と高さを決めます。共通な底辺をもつ三角形があれば、等積変形を利用することもあります。
問題
関数ｙ＝（1/8）ｘ²のグラフ上に、ｘ座標がそれぞれ－４、８となる点Ａ、Ｂをとり、Ａ、Ｂを通る直線とｙ軸との交点をＣとする。ｙ＝（1/8）ｘ²のグラフ上を動く点をＰとするとき、あとの問いに答えなさい。
1）直線ＡＢの式を求めなさい。
2）△ＯＡＢの面積を求めなさい。
3）△ＯＣＰの面積が△ＯＡＢの面積の1/2倍になるときの点Ｐのｘ座標をすべて求めなさい。
1）
ｘの増加量 ８－（－４）＝12
ｘ＝８のとき、ｙ＝８
ｘ＝－４のとき、ｙ＝２
ｙの増加量 ８－２＝６
傾き 6/12＝1/2
ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂとする
（－４，２）を通るから
２＝－２＋ｂ ｂ＝４
よって、
ｙ＝（1/2）ｘ＋４
2）
△ＯＡＣ＋△ＯＢＣとして求める
共通の底辺はＯＣ
点Ｃはｙ＝４、点Ｏはｙ＝０だから
ＯＣ＝４－０＝４
△ＯＡＣの高さは、点Ａとｙ軸との距離
点Ａはｘ＝－４、ｙ軸はｘ＝０だから
０－（－４）＝４
△ＯＢＣの高さは、点Ｂとｙ軸との距離
点Ｂはｘ＝８だから
８－０＝８
２つの三角形の高さの和（４＋８＝12）より求められるから
△ＯＡＢ＝（1/2）×４×12＝24
3）
△ＯＣＰ＝（1/2）△ＯＡＢ＝12
△ＯＣＰの底辺をＯＣ、高さを点Ｐとｙ軸との距離とする
点Ｐのｘ座標をｔとすると
高さは、ｔ－０＝ｔ
△ＯＣＰ＝12だから
（1/2）×４×ｔ＝12
ｔ＝６
ｙ軸についてｘ＝６と対称なｘ＝－６も満たすから
±６
問題
下の図のように、放物線ｙ＝（1/3）ｘ²上を動く点Ｐがある。点Ｐを通りｘ軸に平行な直線とこの放物線の交点のうち、Ｐ以外の点をＱとする。また、Ｐ、Ｑからｘ軸にひいた垂線とｘ軸の交点を、それぞれＲ、Ｓとする。点Ｐのｘ座標は正の数であるものとして、あとの問いに答えなさい。
1）点Ｐのｘ座標をａとするとき、ＰＱとＰＲの長さを、ａを使って表しなさい。
2）四角形ＰＱＲＳが正方形となるときの点Ｐの座標を求めなさい。
1）
点Ｑは点Ｐとｙ軸について対称だから、ｘ＝－ａ
ＰＱ＝ａ－（－ａ）
＝２ａ
点Ｐはｙ＝（1/3）ｘ²上にありｘ＝ａだから
ｙ＝（1/3）ａ²
点Ｒはｙ＝０だから
ＰＲ＝（1/3）ａ²－０
＝（1/3）ａ²
よって、
ＰＱ＝２ａ、ＰＲ＝（1/3）ａ²
2）
ＰＲ＝ＰＱになるときだから
（1/3）ａ²＝２ａ
ａ²＝６ａ
ａ²－６ａ＝０
ａ（ａ－６）＝０
ａ＝０，６
ａ＞０だから、ａ＝６
Ｐ（ａ，（1/3）ａ²）としたから
（６，12）
問題
下の図のように、ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフと、ｘ軸、ｙ軸に平行な辺をもつ正方形ＡＢＣＤがある。点Ａ、Ｂは放物線上にあり、点Ａのｘ座標は－２である。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）点Ｃの座標を求めなさい。
2）関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフ上に、ｘ座標が－３となる点Ｅをとる。このとき、点Ｅを通り、正方形ＡＢＣＤの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
3）2）で求めた直線と、線分ＡＤ、ｙ軸、線分ＢＣとの交点をそれぞれ点Ｆ、Ｇ、Ｈとし、線分ＡＢの中点をＭとする。このとき、四角形ＡＭＧＦと四角形ＭＢＨＧの面積比を求め、最も簡単な整数の比で表しなさい。
1）
点ＣはＢのｘ座標、Ｄのｙ座標と同じ
点Ｂのｘ座標は点Ａとｙ軸について対称だから２
点Ａはｘ＝－２、点Ｂはｘ＝２だから
ＡＢ＝２－（－２）＝４
点Ａはｙ＝（1/4）ｘ²上にありｘ＝－２だから
ｙ＝（1/4）×（－２）²＝１
ＡＤ＝ＡＢ＝４だから
点Ｄのｙ座標は１＋４＝５
よって、（２，５）
2）
正方形の面積を２等分する直線は、対角線の交点を通る。
線分ＡＤとＢＣはｙ軸について対称だから、対角線の交点はｙ軸上にある。
ＡＤ＝ＢＣ＝４より、交点のｙ座標は、点ＡとＢのｙの値に２加えた点だから
１＋２＝３
求める直線は（０，３）を通るから、切片３
点Ｅはｙ＝（1/4）ｘ²上にありｘ＝－３だから
ｙ＝（1/4）×（－３）²＝9/4
直線の式をｙ＝ａｘ＋３とする
（－３，9/4）を通るから
9/4＝－３ａ＋３
３ａ＝3/4 ａ＝1/4
よって、ｙ＝（1/4）ｘ＋３
3）
ＡＦ//ＭＧ、ＡＭ⊥ＭＧ
ＭＧ//ＢＨ、ＢＭ⊥ＭＧより
２つの四角形は台形
四角形ＡＭＧＦについて
点Ｆはｙ＝（1/4）ｘ＋３上にありｘ＝－２だから
ｙ＝（－1/2）＋３＝5/2
点Ａはｙ＝１だから
上底ＡＦ＝（5/2）－１＝3/2
点Ｍはｙ＝１、点Ｇはｙ＝３だから
下底ＭＧ＝３－１＝２
点Ａはｘ＝－２、点Ｍはｘ＝０だから
高さＡＭ＝０－（－２）＝２
よって、四角形ＡＭＧＦの面積は
（1/2）×｛（3/2）＋２｝×２
＝7/2
四角形ＭＢＨＧについて
点Ｈはｙ＝（1/4）ｘ＋３上にありｘ＝２だから
ｙ＝（1/2）＋３＝7/2
点Ｂはｙ＝１だから
上底ＢＨ＝（7/2）－１＝5/2
下底ＭＧ＝２
点Ｂはｘ＝２、点Ｍはｘ＝０だから
高さＢＭ＝２－０＝２
よって、四角形ＭＢＨＧの面積は
（1/2）×｛（5/2）＋２｝×２
＝9/2
したがって、
7/2：9/2＝７：９
※２つの台形は高さが同じだから、（上底＋下底）の比で求められる。
｛（3/2）＋２｝：｛（5/2）＋２｝
＝7/2：9/2
＝７：９
問題
直線①はｙ＝－ｘ＋３、直線②はｙ＝（－3/2）ｘ＋６のグラフで、直線③の傾きは２である。点Ａは①と②の交点、点Ｂは①と③の交点であり、点Ｃは②と③の交点でｙ軸上にある。点Ｑは①上の点で、点Ａと点Ｂの間にある。
1）点Ａの座標を求めなさい。
2）△ＡＣＢ：△ＡＣＱ＝４：１になるとき、点Ｑの座標を求めなさい。
1）
①と②の連立方程式により
－ｘ＋３＝（－3/2）ｘ＋６
－２ｘ＋６＝－３ｘ＋12
ｘ＝６
ｙ＝－ｘ＋３にｘ＝６を代入
ｙ＝－６＋３＝－３
よって、（６，－３）
2）
底辺をそれぞれＡＢ、ＡＱとする
点Ｃからの高さが等しいから
ＡＢ：ＡＱ＝４：１
直線③はｙ＝２ｘ＋６
点Ｂは①と③の交点だから
連立方程式により
２ｘ＋６＝－ｘ＋３
３ｘ＝－３ ｘ＝－１
ｙ＝－ｘ＋３に代入して、ｙ＝４
Ｂ（－１，４）
点Ｂからｙ軸に平行に引いた直線と、点Ａからｘ軸に平行に引いた直線との交点をＤとし、直角三角形ＢＡＤをつくる。
また、点ＱからＡＤへの垂線をＱＨとする。
ＢＤ//ＱＨより、平行線の比の性質から
ＡＤ：ＡＨ＝ＡＢ：ＡＱ＝４：１
点Ａはｘ＝６、点Ｄはｘ＝－１だから
ＡＤ＝６－（－１）＝７
ＡＤ：ＡＨ＝４：１より
７：ＡＨ＝４：１
ＡＨ＝7/4
点Ｑのｘ座標は、点Ａのｘ＝６から7/4をひいた値になるから
６－（7/4）＝17/4
点Ｑはｙ＝－ｘ＋３上にあり、ｘ＝17/4だから
ｙ＝（－17/4）＋３＝－5/4
よって、求める座標は
（17/4，－5/4）
※内分点
ＡＱ：ＢＱ＝１：３
Ａ（６，－３）とＢ（－１，４）を１：３に内分
ｘ座標
（18－1）/（1＋3）＝17/4
ｙ座標
（－9＋4）/（1＋3）＝－5/4
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