- たむかい学習教室
- 5月25日
- 読了時間: 8分
式による説明
中学数学では、実際の数を文字式に置きかえて説明する学習があります。連続する３つの数ならｎ、ｎ＋１、ｎ＋２と置きかえます。また、位の数を入れかえた数に関する説明では、小学校の初めに使った「算数セット（お道具箱）」の中身にヒントがあります。
説明の手順
問題
５つの続いた整数の和は５の倍数になることを、文字を使って説明しなさい。
〔説明〕
５つの続いた整数のうち、もっとも小さい整数をｎとする。
５つの続いた整数は、
ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２、ｎ＋３、ｎ＋４ と表される。
したがって、それらの和は
ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）＋（ｎ＋４）
＝５ｎ＋10
＝５（ｎ＋２）
ｎ＋２は整数だから、５（ｎ＋２）は５の倍数である。
したがって、５つの続いた整数の和は、５の倍数になる。
説明のポイント
問題文
５つの続いた整数の和は５の倍数になる
★ 連続する５つを文字で表す
★ 「和」だから５つを足す式をつくる
もっとも小さい整数をｎとする
👉基準となる文字を決める
５つの続いた整数は、
ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２、ｎ＋３、ｎ＋４
👉５つの続く数をｎをもとに表す
＝５（ｎ＋２）
👉「５×」の形にして、５の倍数だと分かるようにする。
ｎ＋２は整数だから
結論づけるための「理由」が重要
👉ｎは整数だから、（ｎ＋２）も整数。
👉５×（整数）だから、５×（ｎ＋２）は５の倍数になる。
※（ｎ＋２）が小数や分数なら、５の倍数にはならない。
５つの続いた整数の和は、５の倍数になる
👉最後に結論を書いて説明終了
位の数を入れかえる
問題
十の位がｘ、一の位がｙの２けたの自然数がある。これについて、次の問いに答えなさい。
1）この２けたの自然数を、ｘ、ｙを使った式で表しなさい。
2）この２けたの自然数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数を、ｘ、ｙを使った式で表しなさい。
3）1）と2）の式を使って、２けたの自然数から、その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数をひいた差は、９の倍数になることを説明しなさい。
小学1年生の「算数セット（お道具箱）」をヒントに、文字式を作ります。
中学生のみなさんは、算数セットの箱の中に、「10」のたばや「1」の棒が入っていたのを覚えていませんか？ それらは、「位の数」を理解するための道具でした。
例えば「32」という数は、
「10」の束（十の位）が3個で30
「 1 」の棒（一の位）が2個で２
30と２を合わせて、32
これを、文字（ｘやｙ）で表します。
1）２けたの自然数を、ｘ、ｙを使った式で表しなさい。
「32」という２けたの数
十の位が３（十が３個）
一の位が２（一が２個）
👉10×３＋1×２
十の位がｘ（十がｘ個）
一の位がｙ（一がｙ個）
👉10×ｘ＋1×ｙ
よって、
10ｘ＋ｙ
2）２けたの自然数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数を、ｘ、ｙを使った式で表しなさい。
一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数
十の位がｙ（十がｙ個）
一の位がｘ（一がｘ個）
👉10×ｙ＋1×ｘ
よって、
10ｙ＋ｘ
3）２けたの自然数から、その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数をひいた差は、９の倍数になることを説明しなさい。
２けたの自然数
👉位の数を入れかえる前 10ｘ＋ｙ
一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数
👉10ｙ＋ｘ
〔説明〕
10ｘ＋ｙから10ｙ＋ｘをひいた差だから
（10ｘ＋ｙ）－（10ｙ＋ｘ）
＝10ｘ＋ｙ－10ｙ－ｘ
＝９ｘ－９ｙ
＝９（ｘ－ｙ）
ｘとｙは位の数で、どちらも整数。
ｘ－ｙは整数だから、９（ｘ－ｙ）は９の倍数である。
したがって、
２けたの自然数から、その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数をひいた差は、９の倍数になる。
32－23＝９ ９の倍数
42－24＝18 〃
52－25＝27 〃
問題
1221や8338、4444のように、千の位と一の位の数が等しく、百の位と十の位の数が等しい４けたの整数は、11の倍数であることを、ことばや数、式などを使って説明しなさい。
〔説明〕
４けたの整数の千の位と一の位の数をａ、百の位と十の位の数をｂとすると、この整数は、
1000ａ＋100ｂ＋10ｂ＋ａ
＝1001ａ＋110ｂ
＝11（91ａ＋10ｂ）
91ａ＋10ｂは整数だから、11（91ａ＋10ｂ）は11の倍数である。
したがって、
千の位と一の位の数が等しく、百の位と十の位の数が等しい４けたの整数は、11の倍数になる。
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