数の規則性高校入試対策③

たむかい学習教室
3月11日
読了時間: 7分

数の規則性高校入試対策③

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では数の規則性に関する出題があります。長文形式が多く、短時間のうちに必要な情報を抜き出して整理する力が求められます。「筋立て」が重要なため、解き方を人に説明する学習も効果的です。

問題

次の図１のような縦１cm、横２cmの長方形を、図２のようにすき間なく規則的に並べて、１番目の図形、２番目の図形、３番目の図形、・・とする。

次に、図３のように、それぞれの図形の周の長さや面積について調べる。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）５番目の図形について、周の長さと面積をそれぞれ求めなさい。

2）周の長さが166cmとなるのは何番目の図形か求めなさい。また、その図形の面積を求めなさい。

1）

ｎ番目の周の長さをｙcmとする

ｎとｙの関係

ｎ　　０　１　２　３・・

ｙ　－２　６　14　22・・

変化の割合は８、切片は－２

よって、周の長さを表す式は

８ｎ－２

ｎ＝５のときだから

８×５－２＝38cm

ｎ番目の長方形の個数をｚ個とする

ｎとｚの関係

ｎ　１　２　３・・

ｚ　１　４　９・・

よって、個数を表す式は、ｎ²

ｎ＝５のときだから、５²＝25個

１個の面積は１×２＝２cm²だから

２×25＝50cm²

2）

８ｎ－２＝166より

８ｎ＝168　ｎ＝21

よって、21番目

個数は、21²＝441個だから

面積は、２×441＝882cm²

問題

1）下の図のように、自然数の書かれたたくさんの正三角形を、すき間なく１から順に並べていく。ｎ段目のいちばん左の正三角形に書かれた数を求めなさい。ただし、式はかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。

ｎ段目の右端は、ｎ²

ｎ段目の左端は、前段の右端より１大きい数だから

（ｎ－１）²＋１

＝ｎ²－２ｎ＋１＋１

＝ｎ²－２ｎ＋２

2）1）の正三角形の並べ方を、下の図のように変える。このとき、「14」と書かれた正三角形は全部で何個あるか、求めなさい。

3）ｎ段目のいちばん右の正三角形に書かれた数を、ｎを用いた式で表しなさい。ただし、式はかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。

2）

５段目は「５～13」、

６段目は「６～16」が並ぶ。

14段目の左端は「14」で、

15段目以降は14が並ぶことはないから

６段目から14段目の各段に並ぶ。

よって、

14－６＋１＝９個

3）

ｎ段目の左端は、ｎ

ｎ段目の右端は３ずつ増える

ｎ段目　　０　１　２　３

右端ｙ　－２　１　４　７

変化の割合３　切片－２

よって、３ｎ－２

問題

1）下の図のように、自然数を１から順に規則正しく並べていく。例えば、２行目の３列目の数は６、４行目の１列目の数は16である。１行目のｎ列目の数が170であるとき、ｎの値を求めなさい。

2）ｎ行目のｎ列目の数が381であるとき、ｎの値を求めなさい。

1）

１行目に並ぶのは、

（ｎ－１）行目の左端に１を加えた数

左端の数は、

１行目が１、２行目が４、３行目が９、４行目が16だから

ｎ行目のｎを２乗した数になる

よって、１行目ｎ列目の数は、

（ｎ－１）²＋１と表せる

（ｎ－１）²＋１＝170 だから

ｎ²－２ｎ＋１＋１＝170

ｎ²－２ｎ－168＝０

（ｎ＋12）（ｎ－14）＝０

ｎは自然数だから、ｎ＝14

2）

２行目以降の関係を見ると

２行の左端：４　２行２列：３　

👉２列－１＝１　左端より１小さい

３行の左端：９　３行３列：７

👉３列－１＝２　左端より２小さい

４行の左端：16　３行３列：13

👉４列－１＝３　左端より３小さい

よって、

ｎ行目ｎ列目は、ｎ行の左端より（ｎ－１）小さい数になるから

ｎ²－（ｎ－１）と表せる。

ｎ²－（ｎ－１）＝381 だから

ｎ²－ｎ－380＝０

（ｎ＋19）（ｎ－20）＝０

ｎは自然数だから、ｎ＝20

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塾生の声

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