数の規則性 高校入試対策①
高校入試では、数の規則性に関する出題があります。長い文章題から必要な情報を整理して文字式を立てていきます。そのため、数々の演習を通して問題に慣れることも必要になります。
問題
図１のような，Ａ，Ｂの２種類のタイルがたくさんある。タイルＡは１辺の長さが１cmの正方形の形をしていて，その重さは１ｇである。タイルＢは縦が１cm，横が２cmの長方形の形をしていて，その重さは1.5ｇである。これらのタイルをすき間なく並べ，正方形をつくる。例えば，１辺の長さが２cmの正方形をつくるとき，図２のように，タイルＡだけを４枚使うと４ｇ，図３のように，タイルＡを２枚，タイルＢを１枚使うと3.5ｇ，図４のように，タイルＢだけを２枚使うと３ｇの正方形ができる。あとの問いに答えなさい。
1）１辺の長さが３cmの正方形をつくるとき、できる正方形の重さは何通りあるか、求めなさい。
2）１辺の長さが４cmの正方形を、重さが最も小さくなるようにつくったとき、並べたタイルＢの枚数を求めなさい。
3）１辺の長さがｎcmの正方形をつくるとき、次のア、イに答えなさい。ただし、ｎは自然数とする。
ア
ｎが奇数のときについて、重さが最も小さくなるように正方形をつくったとき、並べたタイルＢの枚数を、ｎを使った式で表しなさい。
イ
ｎ＝11のとき、重さが最も大きくなるようにつくった正方形は、重さが最も小さくなるようにつくった正方形より何ｇ大きいか、求めなさい。
1）
Ａ１枚＋Ｂ４枚
１ｇ×１＋1.5ｇ×４＝７ｇ
Ａ３枚＋Ｂ３枚
１ｇ×３＋1.5×３＝7.5ｇ
Ａ５枚＋Ｂ２枚
１ｇ×５＋1.5×２＝８ｇ
Ａ７枚＋Ｂ１枚
１ｇ×７＋1.5×１＝8.5ｇ
Ａ９枚＋Ｂ０枚
１ｇ×９＝９ｇ
よって、５通り
2）
Ｂ１枚分の面積＝Ａ２枚分の面積
Ｂ１枚分＝1.5ｇ、
Ａ２枚分＝２ｇだから
Ａの枚数をできるだけ少なくする
１辺４cmのとき、面積４²＝16cm²
Ｂの面積はＡの２枚分（２cm²）だから
Ｂだけで16cm²の正方形をつくれる
👉１辺が偶数cmのときは割り切れる
よって、求める枚数は
16÷２＝８枚
3）ア
Ａの枚数をできるだけ少なくするから
１辺が奇数cmのときは、Ａは１枚だけ
１辺３cmのとき、９cm²
Ｂ２cm²×４枚＋Ａ１枚
１辺５cmのとき、25cm²
Ｂ２cm²×12枚＋Ａ１枚
１辺７cmのとき、49cm²
Ｂ２cm²×24枚＋Ａ１枚
Ｂの枚数は、全体の面積の値からＡの１枚をひいた値の半分になるから
１辺ｎcmのとき、ｎ² cm²より
（ｎ²－１）/２ 枚
3）イ
重さが最も大きくなるときは、すべてＡでつくったとき
ｎ＝11より
このときの面積は、11²＝121 cm²
このときの重さは、１ｇ×121＝121ｇ
重さが最も小さくなるときＢの枚数は
（ｎ²－１）/２より
（11²－１）/２＝60枚
Ｂ全体の重さは、1.5ｇ×60＝90ｇ
Ａを１枚加えるから
90ｇ＋１ｇ＝91ｇ
よって、
121－91＝30ｇ
問題
１から100までの自然数の和は、次のように求めることができる。
この考え方を用いて、下のように、１cm²の正方形を１段目に１個、２段目に２個、３段目に３個、・・・、ｎ段目にｎ個並べた図形の面積を考える。あとの問いに答えなさい。
1）ｎ段目まで並べた図形の面積を、ｎを使った式で表しなさい。
2）この図形の面積が300cm²になるとき、ｎの値を求めなさい。
3）５段目から75段目までの面積の和を求めなさい。
1）
Ｓ＝１＋２＋・・＋ｎ
Ｓ＝ｎ＋（ｎ－１）＋・・＋１
２Ｓ＝（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋・・＋（ｎ＋１）
（ｎ＋１）がｎ個あるから
２Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）
Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）/２
よって、
ｎ（ｎ＋１）/２ cm²
2）
Ｓ＝300のときだから
ｎ（ｎ＋１）/２＝300
ｎ²＋ｎ＝600
ｎ²＋ｎ－600＝０
（ｎ－24）（ｎ＋25）＝０
ｎは自然数だから
ｎ＝24
3）
１段目～75段目の和から、１段目～４段目の和をひいて求める。
１段目～75段目の和
ｎ＝75のときだから
ｎ（ｎ＋１）/２
＝75（75＋１）/２
＝2850cm²
１段目～４段目の和
ｎ＝４のときだから
ｎ（ｎ＋１）/２
＝４（４＋１）/２
＝10cm²
よって、求める面積は
2850－10＝2840cm²
問題
右上
ｎ日の翌日は、ｎ＋１
左下
ｎ日の２週間後は、ｎ＋14
右下
（ｎ＋14）日の翌日は、ｎ＋15
Ｐ－Ｑ
＝（ｎ＋１）（ｎ＋14）－ｎ（ｎ＋15）
＝（ｎ²＋15ｎ＋14）－（ｎ²＋15ｎ）
あ：ｎ＋１
い：ｎ＋14
う：ｎ＋15
え：ｎ²＋15ｎ
問題
黒の面積
偶数番目のとき、全体の半分
奇数番目のとき、（全体＋１）の半分
よって、５番目の黒の面積は
（25＋１）÷２＝13m²
白の面積
偶数番目のとき、全体の半分
奇数番目のとき、（全体－１）の半分
よって、５番目の白の面積は
（25－１）÷２＝12m²
全体の面積はｘ² m²
偶数番目のとき、黒白とも全体の半分だから
ｘ²/２ m²
奇数番目の黒の面積は
（全体＋１）の半分だから
（ｘ²＋１）/２
あ：13
い：12
う：ｘ²/２
え：（ｘ²＋１）/２
2025年・青森県立高校入試
2026年・青森県立高校入試
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