- たむかい学習教室
- 17 時間前
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文字係数の連立方程式
１学期も後半に入り、中高生はテスト対策を進めています。
係数がａやｂなどの文字になっている連立方程式では、ｘとｙの解を代入することで係数の値を求めることができます。方程式のしくみを正しくつかんでおくと、応用問題にもしっかりと対応できます。
問題
次の２組のｘ、ｙについての連立方程式が同じ解をもつとき、ａ、ｂの値を求めなさい。
６＋２（ｘ－ｙ）＝ｘ ①
ａｘ－ｂｙ＝－６ ②
３ｘ－２ｙ＝２ ③
ｂｘ＋２ｙ＝２ ④
①より
６＋２ｘ－２ｙ＝ｘ
ｘ－２ｙ＝－６ ①’
①’－③
ｘ－２ｙ＝－６
－）３ｘ－２ｙ＝ ２
－２ｘ ＝－８
ｘ＝４
①’に代入
４－２ｙ＝－６
－２ｙ＝－10 ｙ＝５
④にｘ＝４、ｙ＝５を代入
４ｂ＋10＝２
４ｂ＝－８ ｂ＝－２
②にｘ＝４、ｙ＝５、ｂ＝－２を代入
４ａ＋10＝－６
４ａ＝－16 ａ＝－４
よって、
ａ＝－４、ｂ＝－２
問題
連立方程式
ａｘ－ｂｙ＝30
２ｂｙ－ａｘ＝－10
の解がｘ＝－５、ｙ＝４のとき、ａ、ｂの値を求めなさい。
ａｘ－ｂｙ＝30 ①
２ｂｙ－ａｘ＝－10 ②
①にｘ＝－５、ｙ＝４を代入
－５ａ－４ｂ＝30 ③
②にｘ＝－５、ｙ＝４を代入
５ａ＋８ｂ＝－10 ④
③＋④
４ｂ＝20 ｂ＝５
④に代入
５ａ＋40＝－10
５ａ＝－50 ａ＝－10
よって、
ａ＝－10、ｂ＝５
問題
連立方程式
３ｘ－ｙ＝１
ａｘ＋ｂｙ＝19
の解がｘ＝２、ｙ＝５であり、ａ、ｂの値が１けたの自然数であるとき、考えられるａ、ｂの値の組をすべて答えなさい。
ａｘ＋ｂｙ＝19
ｘ＝２、ｙ＝５を代入
２ａ＋５ｂ＝19
２ａ＝19－５ｂ
ｂ＝１のとき
２ａ＝19－５
２ａ＝14 ａ＝７
ａ＝７、ｂ＝１だから問題に合う
ｂ＝２のとき
２ａ＝19－10
２ａ＝９ ａ＝9/2
ａは自然数でないから合わない
ｂ＝３のとき
２ａ＝19－15
２ａ＝４ ａ＝２
ａ＝２、ｂ＝３だから合う
ｂ＝４のとき
２ａ＝19－20
２ａ＝－１ ａ＝－1/2
ａは自然数でないから合わない
また、
ｂが４以上９以下では、ａは負の数になり合わない。
よって、
ａ＝７、ｂ＝１
ａ＝２、ｂ＝３
文章問題
問題
りんご２個となし３個を買うと840円、りんご１個となし２個を買うと510円である。りんご１個、なし１個の値段をそれぞれ求めなさい。
りんご１個をｘ円、なし１個をｙ円とする。
りんご２個で２ｘ円
なし３個で３ｙ円
合わせて840円だから
２ｘ＋３ｙ＝840 ①
りんご１個でｘ円
なし２個で２ｙ円
合わせて510円だから
ｘ＋２ｙ＝510 ②
②より
ｘ＝510－２ｙ ②’
①に代入
２（510－２ｙ）＋３ｙ＝840
1020－４ｙ＋３ｙ＝840
ｙ＝180
②’に代入
ｘ＝510－360＝150
よって、
りんご 150円
なし 180円
問題
ある店で、昨日は、お茶とジュースがあわせて180本売れた。今日は、昨日に比べて売れた本数が、お茶は110％、ジュースが95％になったので、あわせて183本になった。昨日売れたお茶とジュースの本数をそれぞれ求めなさい。
昨日売れた本数
お茶：ｘ本 ジュース：ｙ本
合わせて180本だから
ｘ＋ｙ＝180 ①
今日売れた本数
お茶 昨日の110/100
👉ｘ×（110/100）本
ジュース 昨日の95/100
👉ｙ×（95/100）本
合わせて183本だから
（110/100）ｘ＋（95/100）ｙ＝183 ②
②×100
110ｘ＋95ｙ＝18300 ②’
①×110－②’
110ｘ＋110ｙ＝19800
－）110ｘ＋ 95ｙ＝18300
15ｙ＝1500
ｙ＝100
①に代入
ｘ＋100＝180 ｘ＝80
よって、
お茶 80本
ジュース 100本
※別解
昨日と比べて
全体で、183－180＝３本多く売れた
お茶は、昨日の＋10％分だから
昨日と比べて
ｘ×（＋10/100）本売れた
ジュースは、昨日の－５％分だから
昨日と比べて
ｙ×（－5/100）本売れた
合わせて＋３本だから
（10/100）ｘ＋（－5/100）ｙ＝３
10ｘ－５ｙ＝300
２ｘ－ｙ＝60 ②
①＋②
ｘ＋ｙ＝180
＋）２ｘ－ｙ＝60
３ｘ ＝240
ｘ＝80
①に代入
80＋ｙ＝180 ｙ＝100
問題
家から1400mはなれた駅へ向かった。はじめは分速50mで歩いていたが、途中から分速180mで走ると、15分で着いた。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。
歩いた道のりｘm、走った道のりｙmとする
合わせて1400mだから
ｘ＋ｙ＝1400 ①
ｘmを分速50mで歩くから
歩いた時間は、ｘ/50（分）
ｙmを分速180mで走るから
走った時間は、ｙ/180（分）
合わせて15分だから
（ｘ/50）＋（ｙ/180）＝15 ②
②×900
18ｘ＋５ｙ＝13500 ②’
②’－①×５
18ｘ＋５ｙ＝13500
－）５ｘ＋５ｙ＝7000
13ｘ ＝6500
ｘ＝500
①に代入
500＋ｙ＝1400 ｙ＝900
よって、
歩いた道のり 500m
走った道のり 900m
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