文字式面積と体積

たむかい学習教室
2025年7月1日
読了時間: 9分

文字式面積と体積

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　中２数学の文字式の単元では、文字を使って図形の面積や体積を表す学習があります。面積や体積の公式から、問題文の説明をもとに式を立てる学習です。また、平面図や立体図に表して、式の立て方を具体的にイメージすることも必要になります。

問題

１辺がａcmの正方形について、次の問いに答えなさい。

1）正方形の面積を、文字を使った式で表しなさい。

2）この正方形の１辺の長さを２倍にすると、面積は何倍になりますか。

3）もとの正方形の周の長さを、文字を使った式で表しなさい。

4）周の長さがもとの正方形の５倍である正方形について、１辺の長さを文字を使った式で表しなさい。

1）

正方形の面積

＝１辺×１辺＝（１辺）²

ａ×ａ＝ａ²

よって、ａ² cm²

2）

１辺を２倍にした長さは、

ａ×２＝２ａcm

面積は、

２ａ×２ａ＝４ａ² cm²

以上から

４ａ²÷ａ²＝４

よって、４倍

3）

正方形の周の長さ＝１辺×４

ａ×４＝４ａ

よって、４ａ cm

4）

もとの周の長さの５倍だから、

４ａ×５＝20ａcm

４辺あるから、

20ａ÷４＝５ａ

よって、５ａ cm

問題

半径がｒcmの球について、次の問いに答えなさい。

1）球の表面積を、文字を使った式で表しなさい。

2）この球の半径を３倍にすると、表面積は何倍になりますか。

3）もとの球の体積を、文字を使った式で表しなさい。

4）もとの球の半径を半分にすると、体積は何倍になりますか。

1）

球の表面積の公式より、

４πｒ²

2）

半径は３ｒだから、この球の表面積は

４π×（３ｒ）²

＝36πｒ²

以上から

36πｒ²÷４πｒ²＝９

よって、９倍

3）

球の体積の公式より、

4/3πｒ³

4）

半径はｒ/ 2だから、この球の体積は、

4/3π×（ｒ/ 2）³

＝4/3π×ｒ³/8

＝1/6πｒ³

以上から

1/6πｒ³÷4/3πｒ³

＝1/8

よって、1/8倍

球の表面積（４πｒ²）

球の直径と、底面の直径・高さが等しい円柱の側面積と同じ

※球の上下左右の端が、円柱の内部でぴったり接するとき

円柱の底面の半径をｒとすると、高さは２ｒ

円柱の側面積

底面の円周×円柱の高さ

２πｒ×２ｒ

＝４πｒ²

球の体積（4/3 πｒ³）

球の直径と、底面の直径・高さが等しい円柱の体積の2/3

円柱の体積

底面積×高さ

＝πｒ²×２ｒ

＝２πｒ³

これを2/3倍する

２πｒ³×2/3

＝4/3 πｒ³

※

球の表面積は、円柱の表面積の2/3倍でもある

円柱の表面積

＝側面積＋底面積２つ分

４πｒ²＋πｒ²×２

＝６πｒ²

これを2/3倍する

６πｒ²×2/3

＝４πｒ²

問題

下の図のように、底面の直径と高さが等しい円柱の中に、直径が円柱の高さと等しい球が入っている。このとき、球の体積は円柱の体積の何倍か、求めなさい。

球の半径をｒとする

球の体積の公式より、

4/3×π×ｒ³

＝4/3πｒ³　①

円柱の底面の半径は、球と同じｒ

円柱の高さは、球の半径の２倍だから、２ｒ

円柱の体積の公式より、

πｒ²×２ｒ

＝２πｒ³　②

①÷②より、

4/3πｒ³÷２πｒ³

＝4/3×1/2

＝2/3

2/3倍

問題

底面の半径がｒcm、高さがｈcmの円柱Ａがある。円柱Ａの底面の半径を２倍にし、高さを半分にした円柱Ｂを作る。円周率をπとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）円柱Ｂの体積は、円柱Ａの体積の何倍か求めなさい。

2）円柱Ｂの表面積は、円柱Ａの表面積より何cm²大きいか求めなさい。

1）

円柱Ａの体積

π×ｒ²×ｈ

＝πｒ²ｈ cm²

円柱Ｂの体積

半径２ｒ、高さｈ/２

＝π×（２ｒ）²×ｈ/２

＝２πｒ²ｈ cm²

Ｂの体積÷Ａの体積

２πｒ²ｈ÷πｒ²ｈ＝２

よって、２倍

2）

円柱の表面積

＝側面積（長方形）＋底面積（２つ分）

Ａの表面積

側面の縦の長さはｈ

横の長さは、底面の円周と同じだから、２πｒ

側面積は、

ｈ×２πｒ＝２πｒｈ

底面積は、

πｒ²×２＝２πｒ²

Ａの表面積は、

２πｒ²＋２πｒｈ　①

Ｂの表面積

側面の縦の長さは、ｈ/２

横の長さは、２π×２ｒ＝４πｒ

側面積は、

ｈ/２×４πｒ＝２πｒｈ

底面積は、

π×（２ｒ）²×２＝８πｒ²

Ｂの側面積は、

８πｒ²＋２πｒｈ　②

①－②より

（８πｒ²＋２πｒｈ）－（２πｒ²＋２πｒｈ）

＝６πｒ²

よって、６πｒ² cm²

問題

底辺がｘ、高さがｙの直角三角形がある。底辺を５／３倍、高さを４／５倍した図形について、あとの各問いに答えなさい。

1）この図形の面積を、文字を使った式で表しなさい。

2）この図形の面積は、もとの直角三角形の何倍ですか。

1）

底辺の長さ

ｘ×５／３＝５ｘ／３

高さ

ｙ×４／５＝４ｙ／５

面積は

５ｘ／３×４ｙ／５×１／２

＝２ｘｙ／３

2）

もとの面積は

ｘ×ｙ×１／２

＝１ｘｙ／２

よって、

２ｘｙ／３÷１ｘｙ／２

＝４／３倍

問題

縦の長さがａ、横の長さがｂ、高さが２ｂの直方体がある。この直方体の表面積を、ａとｂの文字を使って表しなさい。

直方体の面は６つ

縦ａ、横ｂの面　２つ

縦２ｂ、横ａの面　２つ

縦２ｂ、横ｂの面　２つ

ａ×ｂ×２＝２ａｂ

２ｂ×ａ×２＝４ａｂ

２ｂ×ｂ×２＝４ｂ²

以上から、

２ａｂ＋４ａｂ＋４ｂ²

＝６ａｂ＋４ｂ²

問題

ともに高さがｈ、底面の半径がｒの円柱と円すいがある。あとの各問いに答えなさい。

1）円柱の側面積を文字を使った式で表しなさい。

2）円柱と円すいの体積の差を、文字を使った式で表しなさい。

1）

円柱の側面は「長方形」

たて＝円柱の高さ

よこ＝底面の円周

たての長さは、ｈ

よこの長さは、円の公式より、２πｒ

側面積は

ｈ×２πｒ＝２πｒｈ

2）

円柱の体積＝底面積×高さ

底面積

円の公式より、πｒ²

よって、体積は

πｒ²×ｈ＝πｒ²ｈ　①

円すいの体積＝底面積×高さ×1／3

底面積

円の公式より、πｒ²

よって、体積は

πｒ²×ｈ×1／3

＝πｒ²ｈ／３　②

①－②より

πｒ²ｈ－πｒ²ｈ／３

＝２πｒ²ｈ／３

問題

下の図の長方形ＡＢＣＤについて、辺ＡＢを軸として１回転させてできる立体Ｐと、辺ＢＣを軸として１回転させてできる立体Ｑで、どちらの立体の体積がどれだけ大きいか、文字を使った式で表しなさい。

立体Ｐは、高さ３ａ、底面の半径４ａの円柱

体積は、

π×（４ａ）²×３ａ

＝π×16ａ²×３ａ

＝48πａ³　①

立体Ｑは、高さ４ａ、底面の半径３ａの円柱

体積は

π×（３ａ）²×４ａ

＝π×９ａ²×４ａ

＝36πａ³　②

①－②

48πａ³－36πａ³

＝12πａ³

よって、

立体Ｐが12πａ³大きい

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ//ＢＣ、ＡＤ＝ａcm、ＢＣ＝ｂcmの台形であり、頂点Ａから辺ＢＣの距離はｈcmである。

四角形ＡＢＣＤの面積をＰcm²とするとき、Ｐをａ、ｂ、ｈを用いた式で表しなさい。

上底ａcm、下底ｂcm、高さｈcm

台形の公式より、

Ｐ＝（ａ＋ｂ）×ｈ×1/2

Ｐ＝1/2ａｈ＋1/2ｂｈ

問題

底辺の長さがａ、高さがｈの三角形の面積をＳとすると、Ｓ＝ａｈ／２である。次の問いに答えなさい。

1）ｈをａ、Ｓを使った式で表しなさい。

2）1）で求めた式を使って、底辺の長さが６cm、面積が27cm²のときの三角形の高さを求めなさい。

1）

Ｓ＝ａｈ／２　〔ｈ〕

両辺を入れかえる

ａｈ／２＝Ｓ

両辺×２

ａｈ＝２Ｓ

両辺×1/ａ

ｈ＝２Ｓ／ａ

2）

ａ＝６、Ｓ＝27を代入

ｈ＝２×27／６

ｈ＝９

よって、９cm

問題

下の図のような長方形について、あとの問いに答えなさい。

1）辺ＡＢを軸として１回転させてできる円柱Ｐの体積を、ｘ、ｙを使った式で表しなさい。

2）辺ＢＣを軸として１回転させてできる円柱Ｑの体積は、円柱Ｐの体積の何倍になるか求めなさい。

1）

ＡＢを軸とするから、高さｘcm、半径２ｙcmの円柱である。

柱の体積の公式より、

π×（２ｙ）²×ｘ

＝４πｘｙ²（cm³）

2）

円柱Ｑは、ＢＣを軸とするから、高さ２ｙcm、半径ｘcmの円柱である。

π×ｘ²×２ｙ

＝２πｘ²ｙ（cm³）

Ｑ÷Ｐより、

２πｘ²ｙ÷４πｘｙ²

＝ｘ÷２ｙ

＝ｘ／２ｙ倍

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