文字式と円

たむかい学習教室
2025年7月10日
読了時間: 8分

文字式と円

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

１学期の期末考査が終わり、中学生と高校生にはテストの解説を行っています。１学期の中学数学では、２，３年生が文字式の学習を中心に行いました。基本計算のあとには、図形や説明による応用の学習があります。ここでは、円に関する問題について掲載しています。

問題

半径ｒの円の円周の長さをℓとすると、ℓ＝２πｒである。このとき、次の問いに答えなさい。

1）ℓ＝２πｒをｒについて解きなさい。

2）1）で変形した式を使って、円周の長さが36πcmのときの円の半径を求めなさい。

1）

ℓ＝２πｒ

２πｒ＝ℓ

両辺÷2π

ｒ＝ℓ／２π

2）

ℓ＝36πだから、

ｒ＝ℓ／２π

　＝36π／２π

　＝18

よって、18cm

問題

下の図のような∠Ｃ＝90°である直角三角形ＡＢＣを辺ＡＣを軸として１回転させてできる立体の底面積が16πcm²、体積が48πcm³である。この立体の高さＡＣを求めよ。

円すいの体積の公式より

1/3×16π×AC＝48π

16/3 πAC ＝48π

両辺÷π

16/3 AC ＝48

両辺×3/16

AC＝９

よって、９cm

問題

下の図は、ＡＢ＝ａcm、ＢＣ＝２ａcmの直角三角形ＡＢＣである。この直角三角形を辺ＡＢを軸として１回転させてできる立体の体積をＰ、辺ＢＣを軸として１回転させてできる立体の体積をＱとする。このとき、Ｐ：Ｑを求めなさい。

ＡＢを軸とした円すい

高さａcm

底面の半径２ａcm

底面積 π×（２ａ）² cm²

Ｐ＝1/3×４πａ²×ａ

　＝4/3πａ³

ＢＣを軸とした円すい

高さ２ａcm

底面の半径ａcm

底面積 π×ａ² cm²

Ｑ＝1/3×πａ²×２ａ

　＝2/3πａ³

以上から

Ｐ：Ｑ

＝4/3πａ³：2/3πａ³

＝2：1

問題

下の図のように、１辺の長さがｘの正方形の内部に、２種類の模様を作った。

図１の模様は、１つの円が正方形に接していて、図２の模様は、４つの同じ大きさの円が、正方形やとなり合う円と接している。

図１、図２の模様で、色をつけた部分の面積をそれぞれＳ、Ｔとするとき、正しいものを次の㋐～㋒から選び、その理由を説明しなさい。ただし、Ｔは４つの円の面積の和とする。

㋐Ｓ＞Ｔ　㋑Ｓ＜Ｔ　㋒Ｓ＝Ｔ

答え：㋒

Ｓ、Ｔの面積をそれぞれ求めると、

Ｓ＝π×（ｘ/２）²

　＝πｘ²/４

Ｔ＝π×（ｘ/４）²×４

　＝πｘ²/４

したがって、Ｓ＝Ｔ

問題

下の図のような陸上トラックがある。

直線部分の長さはａm、最も小さい半円の直径はｂm、各レーンの幅は１mである。また、最も内側を第１レーン、最も外側を第４レーンとする。ラインの幅は考えず、円周率をπとする。

第１レーンの内側のライン１周の距離をℓとすると、ℓ＝２ａ＋πｂと表される。図のトラックについて、すべてのレーンのゴールラインの位置を同じようにして、第１レーンの走者が走る１周分と同じ距離を、各レーンの走者が走るためには、第２レーンから第４レーンのスタートラインの位置を調整する必要がある。第４レーンは、第１レーンよりスタートラインの位置を何m前に調整するとよいか、求めなさい。

第４レーンの内側のライン

直線部分　ａ×２＝２ａ m

第１レーンの内側から第４レーンの内側まで３mあるから、

半円の直径は、（ｂ＋６）m

２つの半円部分の長さは、直径（ｂ＋６）ｍの円周の長さに等しいから、

π×（ｂ＋６）

＝πｂ＋６π

以上から、第４レーンの内側の長さは、

２ａ＋πｂ＋６π

第４レーンの内側の長さから第１レーンの長さをひいて求めればよいから、

（２ａ＋πｂ＋６π）－（２ａ＋πｂ）

＝６π

よって、６π（m）

問題

下の図のような半径ｒmの円形の池のまわりに、幅２mの道がついている。道の面積をＳm²、道の真ん中を通る円周の長さをℓmとするとき、Ｓ＝２ℓとなることを説明しなさい。

〔説明〕

大きい円の半径は、（ｒ＋２）mだから、道の面積Ｓは、

Ｓ＝π（ｒ＋２）²－πｒ²

　＝π（ｒ²＋４ｒ＋４）－πｒ²

　＝４πｒ＋４π　①

また、道の真ん中を通る円の半径は、（ｒ＋１）mだから、

ℓ＝２π（ｒ＋１）

　＝２πｒ＋２π

このことから、

２ℓ＝４πｒ＋４π　②

よって、

①・②より、Ｓ＝２ℓとなる。

文字式による説明

問題

２けたの自然数から、その数の各位の数の和をひくと９の倍数になる。このことを、文字を使って説明しなさい。

〔説明〕

十の位の数をｘ、一の位の数をｙとすると、

２けたの自然数は、10ｘ＋ｙと表される。

この数から各位の数の和をひくと、

（10ｘ＋ｙ）－（ｘ＋ｙ）

＝10ｘ＋ｙ－ｘ－ｙ

＝９ｘ

ｘは自然数だから、９ｘは９の倍数になる。

したがって、

２けたの自然数から、その数の各位の数の和をひくと９の倍数になる。

等式の変形

問題

次の等式を〔　〕の文字について解きなさい。

1）

　　 ２ｂ－ｃ

ａ＝ ━━━━ 〔ｂ〕

　　　３

2）

　　 ｈ（ａ＋ｂ）

Ｓ＝ ━━━━━━ 〔ｈ〕

　　　　２

1）

　　２ｂ－ｃ

ａ＝ ━━━━ 〔ｂ〕

　　　３

両辺×３

３ａ＝２ｂ－ｃ

２ｂ－ｃ＝３ａ

２ｂ＝３ａ＋ｃ

両辺×1/2

　　 ３ａ＋ｃ

ｂ＝ ━━━━

　　　２

2）

　　ｈ（ａ＋ｂ）

Ｓ＝ ━━━━━━ 〔ｈ〕

　　　　２

両辺×２

２Ｓ＝ｈ（ａ＋ｂ）

ｈ（ａ＋ｂ）＝２Ｓ

両辺×1/(a+b)

　　　２Ｓ

ｈ＝ ━━━━

　　 ａ＋ｂ

問題

ある式の３倍から、－２ｘ²＋５ｘの５倍をひいた結果は、ｘ²＋８ｘになる。ある式を求めなさい。

ある式をＡとすると、

３Ａ－５（－２ｘ²＋５ｘ）＝ｘ²＋８ｘ

Ａについて解くと、

３Ａ＋10ｘ²－25ｘ＝ｘ²＋８ｘ

３Ａ＝－９ｘ²＋33ｘ

両辺÷３

Ａ＝－３ｘ²＋11ｘ

よって、求める式は、

－３ｘ²＋11ｘ

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