文字式の利用高校入試対策

たむかい学習教室
17 時間前
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文字式の利用高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の数学では、長文形式の問題を読み解きながら、文字式を立てて答えを求めていく出題があります。中１～中３の各学年で学習する「文字式の利用」が基本になります。また、展開や因数分解、方程式のしくみは確実に押さえておく必要があります。

因数分解と連立方程式の利用

問題

次の文章は、ある２けたの自然数Ｘと、Ｘの十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる２けたの自然数Ｙにおいて、Ｘの２乗とＹの２乗の差について考えているレンさんとメイさんの会話である。①～⑤にあてはまる式をそれぞれ書きなさい。また、➅にあてはまる数を書きなさい。

レン

例えば、Ｘ＝21、Ｙ＝12のとき

Ｘ²－Ｙ²＝441－144＝297＝99×３

Ｘ＝32、Ｙ＝23のとき

Ｘ²－Ｙ²＝1024－529＝495＝99×５

となるので、Ｘの２乗とＹの２乗の差は99の倍数になると予想できるよ。

メイ

その予想が正しいかどうか、証明してみるね。

Ｘの十の位の数を自然数ａ、一の位の数を自然数ｂとすると、Ｘ＝（　①　）、Ｙ＝（　②　）と表すことができるから、Ｘの２乗とＹの２乗の差は、

Ｘ²－Ｙ²

＝（　①　）²－（　②　）²

＝99（　③　）となる。

（③）は整数だから、Ｘ²－Ｙ²は99の倍数になるといえるね。

レン

予想が正しいことが証明できたね。

では、Ｘ²－Ｙ²＝693＝99×７のときの、Ｘの値を求めることはできるかな。

メイ

さっき導いた、Ｘ²－Ｙ²＝99（　③　）の式を因数分解してみるよ。

Ｘ²－Ｙ²

＝99（　③　）

＝99（　④　）（　⑤　）

99（　④　）（　⑤　）＝693のとき、（　④　）（　⑤　）＝７となるね。

レン

そうか。（　④　）（　⑤　）＝７を満たす自然数ａとｂを求めればいいね。ａとｂを求めて、Ｘ＝（➅）となることがわかったよ。

位を入れ替える前の２けたの数

10×ａ＋１×ｂ

位を入れ替えた後の２けたの数

10×ｂ＋１×ａ

よって、

Ｘ＝10ａ＋ｂ

Ｙ＝10ｂ＋ａ

Ｘの２乗とＹの２乗の差は、

Ｘ²－Ｙ²

＝100ａ²＋20ａｂ＋ｂ²－（100ｂ²＋20ａｂ＋ａ²）

＝100ａ²＋20ａｂ＋ｂ²－100ｂ²－20ａｂ－ａ²

＝99ａ²－99ｂ²

＝99（ａ²－ｂ²）

因数分解すると

99（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）

Ｘ²－Ｙ²＝693より

99（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝693

両辺÷99

（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝７

ａ＋ｂ＝１、ａ－ｂ＝７のとき

ａ＝１－ｂ、ａ＝７＋ｂ

１－ｂ＝７＋ｂ

ｂ＝－３＜０だから、問題に合わない。

ａ＋ｂ＝７、ａ－ｂ＝１のとき

ａ＝７－ｂ、ａ＝１＋ｂ

７－ｂ＝１＋ｂ

ｂ＝３

ａ＝７－３＝４

２けたの数Ｘを10ａ＋ｂとしたから

Ｘ＝10×４＋３＝43

よって、

①　10ａ＋ｂ

②　10ｂ＋ａ

③　ａ²－ｂ²

④　ａ＋ｂ

⑤　ａ－ｂ

➅　43

※④・⑤は順不同

※

Ｘ²－Ｙ²

＝（Ｘ＋Ｙ）（Ｘ－Ｙ）

＝｛（10ａ＋ｂ）＋（10ｂ＋ａ）｝｛（10ａ＋ｂ）－（10ｂ＋ａ）｝

＝（11ａ＋11ｂ）（９ａ－９ｂ）

＝99（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）

数の規則性

問題

ユキさんは、職場体験で、ある青果店に行き、みかんの袋づめを手伝った。この青果店では、みかんを２個入りの袋と３個入りの袋の２通りで販売している。ユキさんは、できる袋の数について考えた。あとの問いに答えなさい。ただし、ｎは自然数とする。

【ユキさんの考え】

みかんが２個以上のとき、みかんに余りが出ないように、２個入りの袋と３個入りの袋をつくることができる。

下の表は、みかんが２個から６個までについて、２個入りの袋の数と３個入りの袋の数をまとめたものである。

例えば、みかんが６個のとき、できる２個入りの袋の数と３個入りの袋の数の組み合わせは２通りで、組み合わせを（２個入りの袋の数，３個入りの袋の数）と表すと、（３，０）または（０，２）となる。

また、なるべく２個入りの袋の数と３個入りの袋の数が近くなるように、２個入りの袋の数と３個入りの袋の数の差の絶対値が最も小さい組み合わせを考える。例えば、みかんが６個のときは（０，２）である。

みかんが５ｎ個のとき、できる２個入りの袋の数と３個入りの袋の数の差の絶対値が最も小さい組み合わせは、（ｎ，ｎ）である。

みかんが（５ｎ＋１）個のとき、５ｎ＋１＝５（ｎ－１）＋（㋐）だから、みかんが５個のときと、みかんが（㋐）個のときの組み合わせを利用して考えると、できる２個入りの袋の数と３個入りの袋の数の差の絶対値が最も小さい組み合わせは、（㋑，㋒）である。

1）みかんが７個のとき、できる２個入りの袋の数と３個入りの袋の数の組み合わせを（２個入りの袋の数，３個入りの袋の数）の形で表しなさい。

2）みかんが14個のとき、できる２個入りの袋の数と３個入りの袋の数の組み合わせは何通りあるか、求めなさい。

3）㋐にあてはまる数を求めなさい。また、（㋑，㋒）にあてはまる組み合わせを、ｎを用いた式で表しなさい。

4）みかんが38個のとき、できる２個入りの袋の数と３個入りの袋の数の差の絶対値が最も小さい組み合わせを（２個入りの袋の数，３個入りの袋の数）の形で表しなさい。

1）

２個入りが２袋、３個入りが１袋だから

（２，１）

2）

２個入りをｘ袋、３個入りをｙ袋とする。

満たす式は、２ｘ＋３ｙ＝14

満たす範囲は、ｘとｙが整数で、

０≦ｘ≦７、０≦ｙ≦４

式を変形すると

２ｘ＝14－３ｙ

ｘ＝１のとき、

２×１＝14－３ｙ　ｙ＝４

ｘ＝４のとき

２×４＝14－３ｙ　ｙ＝２

ｘ＝７のとき

２×７＝14－３ｙ　ｙ＝０

よって、

（１，４）（４，２）（７，０）の３通り

3）

５ｎ＋１＝５（ｎ－１）＋（㋐）

５ｎ＋１＝５ｎ－５＋６

㋐＝６

５個のときは、（１，１）

６個のときは、

（３，０）または（０，２）だから

絶対値が最も小さい組み合わせは（０，２）

５ｎ個のときは、（ｎ，ｎ）

ｎ＝１の５個で、（１，１）

６個のときは（０，２）となるから

（ｎ－１，ｎ＋１）

㋑＝ｎ－１、㋒＝ｎ＋１

4）

５ｎ個のとき

絶対値が最も小さい組み合わせは

５個のとき　（１，１）→（ｎ，ｎ）

６個のとき　（０，２）→（ｎ－１，ｎ＋１）

７個のとき　（２，１）→（ｎ＋１，ｎ）

８個のとき　（１，２）→（ｎ，ｎ＋１）

35個のとき、ｎ＝７で（７，７）

38個のときは、（ｎ，ｎ＋１）だから

（７，８）

※

38個のとき、５ｎ＋３

５ｎでは、ｎ＝７→（７，７）

＋３だから、

３個入りの（０，１）を加えると

（７，８）

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