文字式の応用高校受験対策

たむかい学習教室
2025年9月7日
読了時間: 8分

文字式の応用高校受験対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

夏休みが明けて、塾生は２学期の準備学習や受験対策に取り組んでいます。中学の数学からは、文字式を使った学習が中心となり、特に図形や関数、数の規則性への応用は、どの学年の生徒にとっても克服すべき課題になっています。夏休みを通して、多くの塾生がこれらの課題に取り組みました。

図形の問題

問題

下の図の長方形ＡＢＣＤについて、辺ＡＢを軸として１回転させてできる立体Ｐと、辺ＢＣを軸として１回転させてできる立体Ｑで、どちらの立体の体積がどれだけ大きいか、文字を使った式で表しなさい。

１回転させた立体は、円柱になる。

円柱の体積

底面積（πｒ²）×高さ

立体Ｐ（軸はＡＢ）

底面の半径　４ａ

高さ　３ａ

体積は、

π×（４ａ）²×３ａ

＝48πａ³

立体Ｑ（軸はＢＣ）

底面の半径　３ａ

高さ　４ａ

体積は、

π×（３ａ）²×４ａ

＝36πａ³

👉「π」は係数のあと

よって、

48πａ³－36πａ³

＝12πａ³

立体Ｐが12πａ³大きい

問題

下の図で、四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ//ＢＣ、ＡＤ＝ａcm、ＢＣ＝ｂcmの台形であり、頂点Ａから辺ＢＣの距離はｈcmである。四角形ＡＢＣＤの面積をＰcm²とするとき、Ｐをａ、ｂ、ｈを用いた式で表しなさい。

台形の面積

（上底＋下底）×高さ×1/2

上底　ＡＤ

下底　ＢＣ

高さは、点ＡからＢＣの距離

Ｐ＝（ａ＋ｂ）×ｈ×1/2

Ｐ＝1/2ｈ（ａ＋ｂ）

規則性の問題

問題

下の表のように、自然数が規則的に並んでいる。このとき、ｎ行目でｎ列目の数を、ｎを使った式で表しなさい。

数字の並び方

１　４→５　16→17

　　　　↓　↑　↓

２　３　６　15　18

　　　　↓　↑

９←８←７　14　19

↓　　　　　↑

10→11→12→13　20

25　24　23　22←21

ｎ行のｎが奇数のとき

行の初めの数は、ｎ²

１行目１列目の数は、１

１²－（１－１）＝１

３行目３列目の数は、７

３²－（３－１）＝７

５行目５列目の数は、21

５²－（５－１）＝21

以上から

ｎ²－（ｎ－１）

＝ｎ²－ｎ＋１

※別解

ｎ列目のｎが偶数のとき

列の初めの数は、ｎ²

２行目２列目の数は、３

２²－（２－１）＝３

４行目４列目の数は、13

４²－（４－１）＝13

以上から

ｎ²－（ｎ－１）

＝ｎ²－ｎ＋１

問題

図１は、９個のマス目に、縦、横、斜めいずれも並んだ３マスに書かれた３個の数の和が等しくなるように、－３以上５以下の連続する９個の整数を１個ずつ、重複することなく書き入れたものである。

同じようにして、図２の16個のマス目に、縦、横、斜めいずれも並んだ４マスに書かれた４個の数の和が等しくなるように、－５以上10以下の連続する16個の整数を１個ずつ書き入れたい。図３は、16個の整数のうちの一部を書き入れたものである。ただし、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅは、それぞれ－５以上10以下の整数のいずれかである。これについて、あとの問いに答えなさい。

1）－５以上10以下の連続する16個の整数の和を求めなさい。

2）縦１列に並ぶ４個の数の和をｘとするとき、ｘの値を求めなさい。

3）ｅの値を求めなさい。

1）

－５以上５以下の連続する整数の和は、０

よって、

６以上10以下の連続する整数の和を求める

６＋７＋８＋９＋10

＝40

2）

縦１列の和がｘ、４列あるから

16個全体の和は、

ｘ×４＝４ｘ

これが、1)より40になるから

４ｘ＝40

ｘ＝10

よって、10

3）

2）より、１列の和が10だから

７を含む斜めの列より

７＋５＋（－５）＋ｅ＝10

ｅ＝３

4）ｃの値を、ａを用いて表しなさい。

5）ｂの値を、ａを用いて表しなさい。

6）ａとｄの値をそれぞれ求めなさい。

4）

２を含む横の列より

ｅ＝３だから

２＋ａ＋ｃ＋３＝10

ｃについて解くと

ｃ＝５－ａ

5）

６を含む縦の列より

ｃ＝５－ａだから

６＋ｂ＋（－５）＋（５－ａ）＝10

ｂについて解くと

ｂ＝ａ＋４

6）

ｃ＝５－ａ

ｂ＝ａ＋４より

列全体の和が10になるのは、

ａ＝－１または－４のとき

ａ＝－１の場合、

６を含む縦列のｃは、

５－（－１）＝６

となり問題に合わない。

よって、ａ＝－４

このことから、

ｃ＝９、ｂ＝０

７　　　６　ｄ

　　５　０　１

　　　－５

２－４９　３

ｄを含む残り６個の数字は

－３，－２，－１，４，８，10

１を含む横の列に４

７を含む縦の列に－３

が入る

７　　　６　ｄ

４　５　０　１

－３－５

２－４９　３

ｄを含む残り４個の数字は

－２，－１，８，10

－３を含む横列の２マスには

８または10が入り、

７を含む横列の２マスには

－２または－１が入る。

よって、

ｄ＝－２

確率

問題

下の〔問題〕とそれについて考えている太郎さんと花子さんの会話を読んで、あとの問いに答えなさい。

〔問題〕

大小２つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとする。このとき、50ａ＋ｂが８の倍数となる確率を求めなさい。ただし、それぞれのさいころの１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

太郎

さいころの目の出方は、全部で（㋐）通りだね。50ａ＋ｂは数も大きいし、調べるの大変そうだな。

花子

こういうふうに変形してみたらどう。50ａ＋ｂ＝48ａ＋（㋑）

48ａは必ず８の倍数でしょ。だから、（㋑）をｃとおいて、ｃが８の倍数になる確率を考えればいいよ。

太郎

そうか。ｃの範囲は、（㋒）≦ｃ≦（㋓）だから、この範囲に入る８の倍数は少ししかないね。ｃにあてはまる８の倍数のそれぞれについて、ａ、ｂの組み合わせを考えればできそうだ。

1）㋐、㋒、㋓にあてはまる正の数、㋑にあてはまる式をそれぞれ求めなさい。

2）〔問題〕を解きなさい。

1）

２つのさいころを同時に投げる

６通り×６通り

＝36通り

50ａ＋ｂ＝48ａ＋２ａ＋ｂ

２ａ＋ｂ＝ｃ

ｃの最小値は

ａ＝１、ｂ＝１のとき

よって、

ｃ＝２×１＋１

　＝３

ｃの最大値は、

ａ＝６、ｂ＝６のとき

よって、

ｃ＝２×６×６

　＝18

ｃの範囲は、

３≦ｃ≦18

㋐ 36　㋑ ２ａ＋ｂ　㋒３　㋓ 18

2）

３≦ｃ≦18の範囲に入る８の倍数は、８と16

ｃ＝８のとき

２ａ＋ｂ＝８

このときの組み合わせは、

（ａ，ｂ）＝（１，６）（２，４）（３，２）

ｃ＝16のとき

このときの組み合わせは、

（ａ，ｂ）＝（５，６）（６，４）

以上５通り

よって、

求める確率は、5/36

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親御さんの声

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合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小

今年度塾生35名（2025年9月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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