- たむかい学習教室
- 8月16日
- 読了時間: 11分
方程式の文章問題 中学数学
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
１学期は中高生ともに「方程式の文章問題」に関する学習があり、必要な情報の抜き出し方や式の立て方について復習しています。特に受験生は、入試に向けて早めの対策が必要になります。
問題
あめを買い、その全てを何人かの生徒で分ける。あめを生徒１人に５個ずつ分けると８個余り、生徒１人に７個ずつ分けると10個たりない。このとき、あめの個数と生徒の人数をそれぞれ求めなさい。
あめをｘ個とする
生徒の人数
全部の数ｘから余り８をひいて５で割ると、ちょうど５個ずつ配れる（割り切れる）。
👉（ｘ－８）÷５ 人
全部の数ｘから不足10をたして７で割ると、ちょうど７個ずつ配れる（割り切れる）。
👉（ｘ＋10）÷７ 人
あめの個数は
（ｘ－８）/５＝（ｘ＋10）/７
７（ｘ－８）＝５（ｘ＋10）
７ｘ－56＝５ｘ＋50
２ｘ＝106 ｘ＝53
生徒の人数は
（ｘ－８）÷５
＝（53－８）÷５＝９
（ｘ＋10）÷７
＝（53＋10）÷７＝９
よって、
あめの個数 53個
生徒の人数 ９人
※別解
生徒をｘ人とする
あめの個数
１人５個ずつで８個余るから
５ｘ＋８ 個
１人７個ずつで10個たりないから
７ｘ－10 個
生徒の人数は
５ｘ＋８＝７ｘ－10
18＝２ｘ ｘ＝９
あめの個数は
５ｘ＋８
＝５×９＋８＝53
７ｘ－10
＝７×９－10＝53
よって、
あめの個数 53個
生徒の人数 ９人
問題
下の表は、ドーナツとクッキーをそれぞれ１個作るのに必要な材料のうち、小麦粉とバターの量を表したものである。表をもとに、ドーナツｘ個、クッキーｙ個を作ったところ、小麦粉380ｇ、バター75ｇを使用していた。ｘ、ｙについての連立方程式をつくり、ドーナツとクッキーをそれぞれ何個作ったか、求めなさい。
使う小麦粉の量
ドーナツ
１個で26ｇだから、ｘ個で26ｘｇ
クッキー
１個で８ｇだから、ｙ個で８ｙｇ
合わせて380ｇだから
26ｘ＋８ｙ＝380 ①
使うバターの量
ドーナツ
１個で1.5ｇだから、ｘ個で1.5ｘｇ
クッキー
１個で４ｇだから、ｙ個で４ｙｇ
あわせて75ｇだから
1.5ｘ＋４ｙ＝75 ②
①－②×２
26ｘ＋８ｙ＝380
３ｘ＋８ｙ＝150
23ｘ＝230 ｘ＝10
②に代入
15＋４ｙ＝75
４ｙ＝60 ｙ＝15
よって、
ドーナツ 10個
クッキー 15個
問題
陸上競技場に１周400mのトラックがある。つばささんは、スタート地点からある地点までは、分速300mで走り、その後分速60mで歩き、ちょうど２分でトラックを１周するトレーニングを計画している。このとき、歩く距離と走る距離をそれぞれ求めなさい。
歩く距離ｘm、走る距離ｙmとする
あわせて400mだから
ｘ＋ｙ＝400 ①
ｘmを分速60mで歩く時間は
ｘ÷60＝ｘ/60 分
ｙmを分速300mで走る時間は
ｙ÷300＝ｙ/300 分
あわせて２分だから
（ｘ/60）＋（ｙ/300）＝２ ②
②×300
５ｘ＋ｙ＝600 ②’
②’－①
５ｘ＋ｙ＝600
ｘ＋ｙ＝400
４ｘ＝200 ｘ＝50
①に代入して ｙ＝350
よって、
歩く距離 50m
走る距離 350m
問題
ある水族館の入館料は、おとなは１人900円、中学生は１人700円である。おとなと中学生があわせて10人で入館したら、入館料の合計は7400円だった。このとき入館したおとな、中学生はそれぞれ何人か求めなさい。
おとなｘ人、中学生ｙ人とする
あわせて10人だから
ｘ＋ｙ＝10 ①
おとな１人900円だから、ｘ人で900ｘ円
中学生１人700円だから、ｙ人で700ｙ円
あわせて7400円だから
900ｘ＋700ｙ＝7400 ②
②÷100
９ｘ＋７ｙ＝74 ②’
②’－①×７
９ｘ＋７ｙ＝74
７ｘ＋７ｙ＝70
２ｘ＝４ ｘ＝２
①に代入して ｙ＝８
よって、
おとな ２人
中学生 ８人
問題
Ａさんは家から1200mはなれた公園に向かった。はじめは分速50mで歩き、途中から分速140mで走ったら、家を出てから15分後に公園に着いた。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。
歩いた道のりｘm、走った道のりｙmとする
あわせて1200mだから
ｘ＋ｙ＝1200 ①
ｘmを分速50mで歩く時間は
ｘ÷50＝ｘ/50 分
ｙmを分速140mで走る時間は
ｙ÷140＝ｙ/140 分
あわせて15分だから
（ｘ/50）＋（ｙ/140）＝15 ②
②×700
14ｘ＋５ｙ＝10500 ②’
②’－①×５
14ｘ＋５ｙ＝10500
５ｘ＋５ｙ＝ 6000
９ｘ＝4500 ｘ＝500
①に代入して ｙ＝700
よって、
歩いた道のり 500m
走った道のり 700m
問題
Ａ地点から3600mはなれたＢ地点まで自転車で行くのに、はじめは分速250mで進み、途中からは分速300mで進んだら、合計で13分かかった。分速250m、分速300mで進んだ時間をそれぞれ求めなさい。
分速250mで進む時間をｘ分
分速300mで進む時間をｙ分とする
あわせて13分だから
ｘ＋ｙ＝13 ①
分速250mでｘ分進む距離は
250×ｘ＝250ｘ m
分速300mでｙ分進む距離は
300×ｙ＝300ｙ m
あわせて3600mだから
250ｘ＋300ｙ＝3600 ②
②÷10
25ｘ＋30ｙ＝360 ②’
①×30－②’
30ｘ＋30ｙ＝390
25ｘ＋30ｙ＝360
５ｘ＝30 ｘ＝６
①に代入して ｙ＝７
よって、
分速250m ６分
分速300m ７分
問題
ある工場では部品Ａ、Ｂを昨日はあわせて310個製造したが、今日は昨日より、部品Ａを20％、部品Ｂを10％増やしたら、全部で46個増えた。今日製造した部品Ａ、Ｂの個数をそれぞれ求めなさい。
昨日の製造数
Ａをｘ個、Ｂをｙ個とする
あわせて310個だから
ｘ＋ｙ＝310 ①
昨日と比べて増えた分
今日のＡ ｘ×0.2＝0.2ｘ個
今日のＢ ｙ×0.1＝0.1ｙ個
あわせて46個だから
0.2ｘ＋0.1ｙ＝46 ②
②×10
２ｘ＋ｙ＝460 ②’
①×２－②’
２ｘ＋２ｙ＝620
２ｘ＋ ｙ＝460
ｙ＝160
①に代入して ｘ＝150
Ａの増えた分は、150×0.2＝30個
今日のＡの個数は、150＋30＝180個
Ｂの増えた分は、160×0.1＝16個
今日のＢの個数は、160＋16＝176個
よって、
Ａ：180個、Ｂ：176個
※別解
昨日の製造数
Ａをｘ個、Ｂをｙ個とする
あわせて310個だから
ｘ＋ｙ＝310 ①
今日のＡは昨日の1.2倍製造したから
ｘ×1.2＝1.2ｘ個
今日のＢは昨日の1.1倍製造したから
ｙ×1.1＝1.1ｙ個
あわせて310+46＝356個だから
1.2ｘ＋1.1ｙ＝356 ②
②×10
12ｘ＋11ｙ＝3560 ②’
②’－①×11
12ｘ＋11ｙ＝3560
11ｘ＋11ｙ＝3410
ｘ＝150
①に代入して ｙ＝160
今日の製造数は
Ａ 1.2×150＝180
Ｂ 1.1×160＝176
よって、
Ａ：180個、Ｂ：176個
問題
ＰさんがＡ市から2400mはなれたＢ市までの間を往復した。行きはＡ市から25分間歩き、５分間自転車に乗ってＢ市に着いた。帰りはＢ市から10分間歩き、10分間自転車に乗ってＡ市に着いた。歩く速さと自転車の速さはそれぞれ毎分何mか、求めなさい。ただし、歩く速さと自転車の速さはそれぞれ一定とする。
歩く速さを毎分ｘm、自転車の速さをｙmとする
行きの場合
毎分ｘmで25分歩いた距離は
ｘ×25＝25ｘ m
毎分ｙmで５分自転車で進んだ距離は
ｙ×５＝５ｙ m
あわせて2400mだから
25ｘ＋５ｙ＝2400 ①
帰りの場合
毎分ｘmで10分歩いた距離は
ｘ×10＝10ｘ m
毎分ｙmで10分自転車で進んだ距離は
ｙ×10＝10ｙ m
あわせて2400mだから
10ｘ＋10ｙ＝2400 ②
①－②÷２
25ｘ＋５ｙ＝2400
５ｘ＋５ｙ＝1200
20ｘ＝1200 ｘ＝60
②÷10
ｘ＋ｙ＝240
ｘ＝60を代入して、ｙ＝180
よって、
歩く速さ 毎分60m
自転車の速さ 毎分180m
問題
下の図で、となりどうしのますの和を上のますに書いていく。上から１段目の数が、左から６、13となるとき、ｘとｙの値を求めなさい。
（３ｘ＋ｙ）＋（ｙ＋２ｙ）＝６
３ｘ＋４ｙ＝６ ①
（ｙ＋２ｙ）＋（２ｙ＋ｘ）＝13
ｘ＋５ｙ＝13 ②
②より
ｘ＝13－５ｙ ②’
①に代入
39－15ｙ＋４ｙ＝６
33＝11ｙ ｙ＝３
②’に代入
ｘ＝13－15＝－２
よって、
ｘ＝－２、ｙ＝３
問題
２種類の重さのおもり●、■がある。下の図１、２のように、おもりを左右の皿にのせると、てんびんはつり合う。図３のように、右の皿に■のおもりを６個のせたとき、左の皿に●のおもりを何個のせれば、てんびんはつり合いますか。
■をｘｇ、●をｙｇとする
図１より
３ｘ＝４ｙ＋１ ①
図２より
ｙ＋３ｘ＝11 ②
②より
３ｘ＝11－ｙ ②’
①、②’より
４ｙ＋１＝11－ｙ
５ｙ＝10 ｙ＝２
②’に代入
３ｘ＝11－２
３ｘ＝９ ｘ＝３
図３より
左にのせる数をｚ個とする
２×ｚ＝３×６
２ｚ＝18 ｚ＝９
よって、９個
2023年・青森県立高校入試
連立方程式の利用
1）〔あ〕
りんごとなし合わせて50個だから
りんごをａ個とすると
なしは、50－ａ個
1）〔い〕
りんごａ個、なしｂ個とすると
合わせて50個だから
ａ＋ｂ＝50
120円をａ個で、120ａ円
150円をｂ個で、150ｂ円
箱代40円
合わせて6700円だから
120ａ＋150ｂ＋40＝6700
よって、
ａ＋ｂ＝50
120ａ＋150ｂ＋40＝6700
2）〔う〕
りんご（ｘ＋18）個、なし（ｙ＋18）個とするから
120（ｘ＋18）＋150（ｙ＋18）＋40＝6700
2）〔え〕
４ｘ＋５ｙ＝60 より
５ｙ＝－４ｘ＋60
ｙ＝（－4/5）ｘ＋12
ｘ、ｙが正の整数となる組み合わせは
ｘが０または５の倍数になるとき
ｘ＝０のとき、ｙ＝12
ｘ＝５のとき、ｙ＝８
ｘ＝10のとき、ｙ＝４
ｘ＝15のとき、ｙ＝０
ｘ＝20以上では、ｙは負になるから不適
よって、
（０，12）（５，８）（10，４）（15，０）
2）〔え〕〔お〕
りんごとなしの合計が50個より多くなるのは
（15，０）のとき
ｘ＋18より、15＋18＝33個
ｙ＋18より、０＋18＝18個
よって、
りんご 33個
なし 18個
2026年・青森県立高校入試
連立方程式と一次関数
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
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通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
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入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
目標の中学受験
苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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