- たむかい学習教室
- 2 日前
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方程式の文章題 練習問題
当塾では、ただいま「春期講習」を行っています。
春休みには、中高生を対象として前年の復習を行いました。数学では「文章題」に関する質問が多く、読み解き方と式の立て方のコツについて解説しました。
方程式の文章題
問題
500円硬貨と100円硬貨が合わせて24枚あり、金額の合計は5600円である。このとき、500円硬貨は何枚ですか。
500円の枚数をｘ枚とすると、
100円の枚数は（24－ｘ）枚
500円硬貨の合計額は、500ｘ円
100円硬貨の合計額は、100（24－ｘ）円
合わせて5600円だから
500ｘ＋100（24－ｘ）＝5600
両辺÷100
５ｘ＋24－ｘ＝56
４ｘ＝32
ｘ＝８
よって、８枚
問題
妹は午前９時に家を出発して体育館に向かった。妹の忘れ物に気づいた姉が、９時６分に家を出発して自転車で妹を追いかけた。妹の歩く速さを分速80m、姉の自転車の速さを分速240mとすると、姉が妹に追いつくのは９時何分ですか。
姉が追いつくまでの時間をｘ分とすると、
妹が追いつかれるまでの時間は（ｘ＋６）分
👉妹は姉より６分多く進んでいる
妹は分速80mで（ｘ＋６）分進むから
進んだ道のりは
80×（ｘ＋６）
姉は分速240mでｘ分進むから
進んだ道のりは
240×ｘ
２人とも家から同じ距離の地点で会うから
80（ｘ＋６）＝240ｘ
両辺÷80
ｘ＋６＝３ｘ
ｘ＝３
９時６分の３分後だから、９時９分
問題
140枚の折り紙を兄と弟で分けるのに、兄と弟の枚数の比が４：３になるようにしたい。兄の枚数は何枚にすればよいですか。
兄の枚数をｘ枚とすると、
弟の枚数は（140－ｘ）枚
よって、
ｘ：（140－ｘ）＝４：３
３ｘ＝560－４ｘ
７ｘ＝560
ｘ＝80
よって、80枚
※別解
比でみると全体の数は４＋３＝７
兄は全体の4/7をもらうから
140×（4/7）＝80
よって、80枚
問題
チョコレートが何個かと、それを入れるための箱が何個かある。１個の箱にチョコレートを30個ずつ入れたところ、すべての箱にチョコレートを入れてもチョコレートは22個余った。そこで、１個の箱にチョコレートを35個ずつ入れていったところ、最後の箱はチョコレートが32個になった。このとき、箱の個数を求めなさい。
箱をｘ個とする
チョコを30個ずつ入れた場合
入れたチョコは30ｘ個、22個余るから
全体で（30ｘ＋22）個 ①
チョコを35個ずつ入れた場合
35個入りの箱は（ｘ－１）箱だから
35個入りのチョコだけで35（ｘ－１）個
最後の１箱は、32個入りだから
全体で35（ｘ－１）＋32 個 ②
①＝②だから
30ｘ＋22＝35（ｘ－１）＋32
30ｘ＋22＝35ｘ－35＋32
－５ｘ＝－25
ｘ＝５
よって、５個
※別解
割り切れる場合から立式する
チョコをｘ個とする
全体から22個引くと30個ずつ入り切る
箱の個数は
（ｘ－22）÷30
＝（ｘ－22）/30 箱 ①
全体から32個引くと35個ずつ入り切る
余った１箱を足す
箱の個数は
｛（ｘ－32）÷35｝＋１
＝｛（ｘ－32）/35｝＋１ 箱 ②
①＝②だから
（ｘ－22）/30＝｛（ｘ－32）/35｝＋１
両辺×210
７ｘ－154＝６ｘ－192＋210
ｘ＝172 チョコは全部で172個
箱の個数は
①にｘ＝172を代入
（172－22）÷30＝５
②にｘ＝172を代入
｛（172－32）/35｝＋１＝５
よって、５個
問題
容器に薄力粉を132ｇと砂糖を12ｇ入れて混ぜた。ここに、薄力粉と砂糖をｘｇずつ加えて、薄力粉と砂糖の重さの比が７：２になるようにして、クッキーを作る。このとき、ｘの値を求めなさい。
加えた後のそれぞれの重さ
薄力粉 （132＋ｘ）ｇ
砂糖（12＋ｘ）ｇ
よって、
（132＋ｘ）：（12＋ｘ）＝７：２
84＋７ｘ＝264＋２ｘ
５ｘ＝180
ｘ＝36
よって、36ｇ
方程式による角度の計算（中２数学）
問題
次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。
1）
△ＡＢＣの外角
∠ＡＣＥ＝67°＋ｘ
△ＤＥＣの外角
∠ＡＣＥ＝73°＋30°
よって、
67°＋ｘ＝73°＋30°
ｘ＝36°
2）
∠ＡＢＣ＝180°－108°＝72°
二等辺三角形の底角だから
∠Ｃ＝∠ＡＢＣ＝72°
三角形の外角は108°だから
ｘ＋∠Ｃ＝108°
ｘ＋72°＝108°
ｘ＝36°
※別解
二等辺三角形の底角だから
∠Ｃ＝（180°－ｘ）×（1/2）
三角形の外角は108°だから
ｘ＋（1/2）×（180°－ｘ）＝108°
２ｘ＋180°－ｘ＝216°
ｘ＝36°
3）
平行線の錯角だから
三角形の内角は、62°と25°
外角は隣り合わない内角の和だから
ｘ＝62°＋25°＝87°
高校数学（２次方程式）
問題
２次方程式２ｘ²－（３ａ＋５）ｘ＋ａ²＋４ａ＋３＝０・・①（ａは定数）がある。
1）ｘ＝－１が方程式①の解であるとき、ａの値を求めよ。
2）方程式①の解をａを用いて表せ。
3）方程式①の解がすべて、不等式 ３ａ－５＜２ｘ＜３ａ＋５ を満たすｘの範囲内にあるとき、ａの値の範囲を求めよ。
1）
式にｘ＝－１を代入
2・(－1)²－(3a+5)・(－1)+a²+4a+3＝0
２＋３ａ＋５＋ａ²＋４ａ＋３＝０
ａ²＋７ａ＋10＝０
（ａ＋５）（ａ＋２）＝０
ａ＝－５，－２
2）
式を因数分解する
2ｘ²－(3a＋5)ｘ+(a+3)・(a+1)＝０
｛２ｘ－（ａ＋３）｝｛ｘ－（ａ＋１）｝＝０
よって、
ｘ＝（ａ＋３）/２，ａ＋１
3）
２次方程式２ｘ²－（３ａ＋５）ｘ＋ａ²＋４ａ＋３＝０・・①（ａは定数）がある。
方程式①の解がすべて、不等式 ３ａ－５＜２ｘ＜３ａ＋５ を満たすｘの範囲内にあるとき、ａの値の範囲を求めよ。
方程式の解は
ｘ＝（ａ＋３）/２，ａ＋１
①
（ａ＋３）/２＜ａ＋１
②
（ａ＋３）/２≧ａ＋１ ※重解含む
この２つの場合に分けて求める
①より ａ＞１
②より ａ≦１
解の範囲は
３ａ－５＜２ｘ＜３ａ＋５ より
（３ａ－５）/２＜ｘ＜（３ａ＋５）/２
①のとき
（３ａ－５）/２ ＜ （ａ＋３）/２
ａ＋１ ＜ （３ａ＋５）/２
よって、ａ＜４、ａ＞－３
ａ＞１より、１＜ａ＜４ ③
②のとき
（３ａ－５）/２ ＜ ａ＋１
（ａ＋３）/２ ＜ （３ａ＋５）/２
よって、ａ＜７、ａ＞－１
ａ≦１より、－１＜ａ≦１ ④
③、④より
－１＜ａ＜４
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八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
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塾生の声
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テストの得点は右肩上がり！
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入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
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これからもこの塾で！
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