- たむかい学習教室
- 1 日前
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方程式の文章題 練習問題②
当塾では、ただいま「春期講習」を行っています。
春休みには、中高生を対象として前年の復習を行いました。数学では「文章題」に関する質問が多く、読み解き方と式の立て方のコツについて解説しました。
方程式の文章題
問題
みかんとりんごを買いに行き、みかんをりんごより２個多く買った。みかんは１個80円、りんごは１個140円で、代金の合計は1040円だった。買ったりんごの個数を求めなさい。
買ったりんごをｘ個とする
みかんは、（ｘ＋２）個
りんごの代金 140ｘ円
みかんの代金 80（ｘ＋２）円
合計1040円だから
140ｘ＋80（ｘ＋２）＝1040
両辺÷20
７ｘ＋４（ｘ＋２）＝52
７ｘ＋４ｘ＋８＝52
11ｘ＝44
ｘ＝４
よって、４個
問題
姉と弟の持っている金額の合計は1400円である。持っている金額から、姉は380円、弟は240円使ったので、姉の残金は弟の残金の２倍になった。姉は最初にいくら持っていたか、求めなさい。
姉の所持金をｘ円とする
弟の所持金は、（1400－ｘ）円
姉の残金
（ｘ－380）円
弟の残金
（1400－ｘ）－240
＝（1160－ｘ）円
題意から
ｘ－380＝２（1160－ｘ）
ｘ－380＝2320－２ｘ
３ｘ＝2700
ｘ＝900
よって、900円
問題
何人かの生徒に鉛筆を配るのに、１人に８本ずつ配ると14本たりず、１人に７本ずつ配っても２本たりない。生徒の人数を求めなさい。
生徒の人数をｘ人とする
鉛筆全体の本数は
８本ずつ配ると14本たりないから
（８ｘ－14）本
７本ずつ配っても２本たりないから
（７ｘ－２）本
どちらも同じ本数だから
８ｘ－14＝７ｘ－２
ｘ＝12
よって、12人
問題
270cmのひもを兄と妹で分けるとき、妹のほうが40cm長くなるようにする。兄と妹のひもの長さを、それぞれ何cmにすればよいか、求めなさい。
兄の長さをｘcmとする
妹の長さは、（ｘ＋40）cm
合わせて270cmだから
ｘ＋（ｘ＋40）＝270
２ｘ＝230
ｘ＝115
よって
弟 115cm
妹 115＋40＝155cm
問題
ｘkmはなれた地点ＡとＢの間を、行きは時速12kmで走り、帰りは時速４kmで歩いて往復したら、２時間40分かかった。ｘの値を求めなさい。
行きは、ｘkmを時速12kmで進む
かかる時間は、（ｘ/12）時間
帰りは、ｘkmを時速４kmで進む
かかる時間は、（ｘ/４）時間
2時間40分は、
2＋（40/60）＝8/3 時間だから
（ｘ/12）＋（ｘ/4）＝8/3
両辺×12
ｘ＋３ｘ＝32
ｘ＝８
問題
十の位が４の２けたの数がある。この数の十の位と一の位の数字を入れかえると、もとの数より18大きい数になる。このとき、もとの数を求めなさい。
もとの一の位の数をｘとする
もとの数は
（10×４）＋（1×ｘ）＝40＋ｘ
位を入れかえた数は
（10×ｘ）＋（1×４）＝10ｘ＋４
題意から
10ｘ＋４＝（40＋ｘ）＋18
９ｘ＝54
ｘ＝６
もとの数を 40＋ｘ としかたら
40＋６＝46
問題
修学旅行の部屋割りを決めるのに、１室を６人ずつにすると最後の１室は３人になり、１室の人数を１人ずつ増やすとちょうど３室余る。生徒の人数を求めなさい。
部屋数をｘ室とする
１室６人ずつで、最後の１室３人のとき
６人部屋は（ｘ－１）室だから
生徒全体の人数は
６（ｘ－１）＋３ 人 ①
１室７人ずつで、３室余るとき
７人部屋は（ｘ－３）室だから
生徒全体の人数は
７（ｘ－３） 人 ②
①＝②より
６（ｘ－１）＋３＝７（ｘ－３）
６ｘ－６＋３＝７ｘ－21
ｘ＝18
①に代入 ６×17＋３＝105
②に代入 ７×15＝105
よって、105人
※別解
全体の人数をｘ人とする
全体から３人を引くと６で割り切れ、１室余るから
部屋数は
｛（ｘ－３）/６｝＋１ 室 ①
７人で割り切れ、３室余るから
部屋数は
（ｘ/７）＋３ 室 ②
①＝②より
｛（ｘ－３）/６｝＋１＝（ｘ/７）＋３
両辺×42
７ｘ－21＋42＝６ｘ＋126
ｘ＝105
よって、105人
問題
姉と妹がお金を出し合って720円のプレゼントを買うことにした。姉の出す金額と妹の出す金額の比を７：５とすると、姉はいくら出すことになるか、求めなさい。
姉の出す金額をｘ円とする
妹は、（720－ｘ）円
よって、
ｘ：（720－ｘ）＝７：５
５ｘ＝5040－７ｘ
12ｘ＝5040
ｘ＝420
よって、420円
※
比の数でみると、姉は全体の7/12
よって、
720×（7/12）＝420円
連立方程式
問題
２けたの自然数がある。この数の十の位の数の３倍から一の位の数をひいた差は４である。また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数はもとの数より18大きい。このとき、もとの自然数を求めなさい。
もとの十の位の数をｘ、一の位の数をｙとする
題意から
ｘ×３－ｙ＝４
３ｘ－ｙ＝４ ①
もとの数は
（10×ｘ）＋（1×ｙ）＝10ｘ＋ｙ
位を入れかえた数は
（10×ｙ）＋（1×ｘ）＝10ｙ＋ｘ
題意から
10ｙ＋ｘ＝（10ｘ＋ｙ）＋18 ②
②より
－９ｘ＋９ｙ＝18
両辺÷９
－ｘ＋ｙ＝２ ②’
①＋②’より
３ｘ－ｙ＝４
＋）－ｘ＋ｙ＝２
２ｘ ＝６
ｘ＝３
②’に代入
－３＋ｙ＝２ ｙ＝５
もとの数を、10ｘ＋ｙとしたから
10×３＋５＝35
問題
Ａ君は、家から1.5km離れた学校へ行くのに、初めは毎分80mの速さで歩き、途中から毎分140mの速さで走ったら、15分かかった。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。
歩いた道のりをｘm、走った道のりをｙmとする
合わせて1.5km＝1500mだから
ｘ＋ｙ＝1500 ①
ｘmを毎分80mで歩いた時間は
ｘ/80 分
ｙmを毎分140mで走った時間は
ｙ/140 分
合わせて15分かかったから
（ｘ/80）＋（ｙ/140）＝15 ②
②×560
７ｘ＋４ｙ＝8400 ②’
②’－①×４
７ｘ＋４ｙ＝8400
－）４ｘ＋４ｙ＝6000
３ｘ ＝2400
ｘ＝800
①に代入
800＋ｙ＝1500 ｙ＝700
よって、
歩いた道のり 800m
走った道のり 700m
問題
ある中学校の生徒数は、昨年度は665人であったが、今年度は、男子が４％、女子が５％増えたため、全体で30人増えた。今年度の生徒数は、男子、女子それぞれ何人か、求めなさい。
パターン１
「増えた分の人数で立式する」
昨年の男子をｘ人、女子をｙ人とする
合わせて665人だったから
ｘ＋ｙ＝665 ①
昨年と比べた男子の増加分は
ｘ×（4/100）
＝（4/100）ｘ 人
昨年と比べた女子の増加分は
ｙ×（4/100）
＝（5/100）ｙ 人
合わせて30人増えたから
（4/100）ｘ＋（5/100）ｙ＝30 ②
両辺×100
４ｘ＋５ｙ＝3000 ②’
②’－①×４
４ｘ＋５ｙ＝3000
－）４ｘ＋４ｙ＝2660
ｙ＝340
①に代入
ｘ＋340＝665 ｘ＝325
男子の増えた人数は
325×（4/100）＝13人
よって、
今年の男子は、325＋13＝338人
女子の増えた人数は
340×（5/100）＝17人
よって、
今年の女子は、340＋17＝357人
338＋357＝695人
昨年より+30人だから問題に合っている
パターン２
「今年度の合計人数で立式する」
昨年の男子をｘ人、女子をｙ人とする
合わせて665人だったから
ｘ＋ｙ＝665 ①
今年の男子は
ｘ×｛（100/100）＋（4/100）｝
＝（104/100）ｘ 人
今年の女子は
ｙ×｛（100/100）＋（5/100）｝
＝（105/100）ｙ 人
今年の全体は
665＋30＝695 人
よって、
（104/100）ｘ＋（105/100）ｙ＝695 ②
②×100
104ｘ＋105ｙ＝69500 ②’
②’－①×104
104ｘ＋105ｙ＝69500
－）104ｘ＋104ｙ＝69160
ｙ＝340
①に代入
ｘ＋340＝665 ｘ＝325
今年の男子を（104/100）ｘとしたから
（104/100）×325＝338人
今年の女子を（105/100）ｙとしたから
（105/100）×340＝357人
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この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
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勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
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苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
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