期待値高校数学

たむかい学習教室
11月10日
読了時間: 8分

期待値高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

確率における期待値とは、試行の結果得られる値の平均のことをいいます。期待値は、試行１回で得られる値と確率の積で求めることができます。

期待値

さいころ１個を投げるときの出る目の期待値

目

１　２　３　４　５　６

確率

1/6　1/6　1/6　1/6　1/6　1/6

期待値

１×（1/6）＋２×（1/6）＋３×（1/6）＋４×（1/6）＋５×（1/6）＋６×（1/6）＝7/2

👉数量と確率の積で求められる

問題

100本のくじの中に、１等10000円１本、２等5000円２本、３等1000円10本の当たりくじが入っている。このくじを１本引くとき、賞金の期待値を求めよ。

１等10000円を引く確率　1/100

２等5000円を引く確率　2/100

３等1000円を引く確率　10/100

求める期待値は、

10000×（1/100）＋5000×（2/100）＋1000×（10/100）

＝30000/100

＝300

よって、300円

※

はずれ０円を引く確率　87/100

（1/100）＋（2/100）＋（10/100）＋（87/100）＝１

問題

赤玉４個と白玉３個が入った袋の中から、玉を２個同時に取り出すとき、白玉の出る個数の期待値を求めよ。

すべての場合の数は、

₇Ｃ₂＝21通り

白玉２個が出る場合は、

₃Ｃ₂＝₃Ｃ₁＝３通り

確率　3/21

白玉１個が出る場合は、

白３個から白１個、

かつ、赤４個から赤１個だから

₃Ｃ₁×₄Ｃ₁＝12通り

確率　12/21

白玉０個の場合は、

赤４個から赤２個だから

₄Ｃ₂＝６通り

確率　6/21

求める期待値は、

２×（3/21）＋１×（12/21）＋０×（6/21）

＝18/21

＝6/7

よって、6/7（個）

問題

１から４までの数字が書かれた４枚のカードから、２枚同時に引くとき、引いたカードに書かれている数の和の期待値を求めよ。

数の和は、

３，４，５，６，７のいずれかである。

すべての場合の数は、

₄Ｃ₂＝６通り

和が３→１と２　１通り

確率　1/6

和が４→１と３　１通り

確率　1/6

和が５→１と４、２と３　２通り

確率　2/6

和が６→２と４　１通り

確率　1/6

和が７→３と４　１通り

確率　1/6

求める期待値は、

３×（1/6）＋４×（1/6）＋５×（2/6）＋６×（1/6）＋７×（1/6）

＝30/6

＝５

よって、５

問題

200本のくじの中に、１等500円５本、２等200円10本、３等50円30本の当たりくじが入っている。このくじを１本引くとき、賞金の期待値を求めよ。

１等500円を引く確率　5/200

２等200円を引く確率　10/200

３等50円を引く確率　30/200

求める期待値は、

500×（5/200）＋200×（10/200）＋50×（30/200）

＝6000/200

＝30

よって、30円

問題

赤玉５個と白玉３個が入った袋の中から、玉を２個同時に取り出すとき、赤玉の出る個数の期待値を求めよ。

すべての場合の数は、

₈Ｃ₂＝28通り

赤玉２個が出る場合は、

₅Ｃ₂＝10通り

確率　10/28

赤玉１個が出る場合は、

赤５個から赤１個、

かつ、白３個から白１個だから

₅Ｃ₁×₃Ｃ₁＝15通り

確率　15/28

赤玉０個の場合は、

白３個から白２個だから

₃Ｃ₂＝₃Ｃ₁＝３通り

確率　3/28

求める期待値は、

２×（10/28）＋１×（15/28）＋０×（3/28）

＝35/28

＝５/４

よって、５/４個

問題

１枚の硬貨を３回続けて投げて、表が３回出たときは100点、２回出たときは50点、１回出たときは30点、出なかったときは０点を得点として与えるゲームがある。このゲームの得点の期待値を求めよ。

すべての場合の数は、

２³＝８通り（試行１回につき２通り）

表が３回出る確率は、1/8

表が２回出る確率は、

₃Ｃ₂×（1/2）²×（1/2）　※

＝３×1/8

＝3/8

表が１回出る確率は

₃Ｃ₁×（1/2）×（1/2）²

＝３×1/8

＝3/8

表が０回の確率は、1/8

求める期待値は、

100×（1/8）＋50×（3/8）＋30×（3/8）×０×（1/8）

＝340/8

＝85/2

よって、85/2（点）

※

₃Ｃ₂×（1/2）²×（1/2）　

３回のうち表が２回出る組合せ

表が２回出る確率

裏が１回出る確率

確率の求め方

問題

赤玉８個、白玉４個が入った袋の中から、玉を３個同時に取り出すとき、３個とも同じ色の玉が出る確率を求めよ。

すべての場合の数は、

12Ｃ₃＝220通り

赤８個から赤３個出す場合は、

₈Ｃ₃＝56通り

確率　56/220

白４個から白３個出す場合は、

₄Ｃ₃＝₄Ｃ₁＝４通り

確率　4/220

赤３個または白３個を出す場合だから

和の法則より

（56/220）＋（4/220）

＝60/220

＝3/11

よって、

求める確率は、3/11

👉排反（同時に起こらない）事象の確率

　Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）

問題

12本のくじの中に当たりくじが５本入っている。このくじを最初にＡが１本引き、もとに戻さないで次にＢが１本引く。このとき、Ｂが当たる確率を求めよ。

Ｂが当たる場合は、

①Ａが当たり、かつＢも当たる

または

②Ａがはずれて、かつＢが当たる

①のとき

Ａが当たる確率は、5/12

Ｂが引くときは、

計11本の中に当たり４本だから

Ｂが当たる確率は、4/11

この場合の確率は、積の法則より

（5/12）×（4/11）

＝20/132

②のとき

Ａがはずれる確率は、7/12

Ｂが引くときは、

計11本の中に当たり５本だから

Ｂが当たる確率は、5/11

この場合の確率は、積の法則より

（7/12）×（5/11）

＝35/132

よって、

Ｂが当たる確率は、和の法則より

（20/132）＋（35/132）

＝55/132

＝5/12

問題

１個のさいころを４回続けて投げるとき、６の正の約数の目、奇数の目、５以上の目、２以下の目の順に出る確率を求めよ。

６の約数：１，２，３，６

確率　4/6

奇数：１，３，５

確率　3/6

５以上：５，６

確率　2/6

２以下：１，２

確率　2/6

よって、

求める確率は、積の法則より

（4/6）×（3/6）×（2/6）×（2/6）

＝1/27

問題

1から200までの番号が書かれた200枚のカードから1枚引くとき、その番号が３の倍数または５の倍数である確率を求めよ。

３の倍数の枚数は、

200÷３＝66余り２だから、66枚

５の倍数の枚数は、

200÷５＝40だから、40枚

重複する15の倍数の枚数は、

200÷15＝13余り５だから、13枚

３の倍数または５の倍数の枚数は、

66＋40－13＝93枚だから

求める確率は、93/200

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指導実績

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今年度塾生35名（2025年9月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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