模試対策 中学数学
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
この夏から、受験生は入試に向けて対策を始めています。中高生は夏休み後半に模試があり、夏期講習ではその対策学習を行いました。
問題
次の数量の関係を等式で表しなさい。
ある１週間のうち、月曜日から金曜日まではそれぞれａ分ずつ、土曜日と日曜日はそれぞれｂ分ずつ読書をすると、１週間に読書した時間の合計は160分だった。
月～金５日間でａ分ずつ
ａ×５＝５ａ分
土日２日間でｂ分ずつ
ｂ×２＝２ｂ分
合計160分だから
５ａ＋２ｂ＝160
問題
次の数を、根号を使わずに表しなさい。
－√（－0.4）²
－√（－0.4）²
＝－√0.4²
＝－0.4
問題
次の方程式を解きなさい。
２ｘ＋９
━━━━＝ｘ＋５
３
両辺×３
２ｘ＋９＝３ｘ＋15
－６＝ｘ
ｘ＝－６
問題
ｙはｘに反比例し、ｘ＝３のときｙ＝－６である。ｘ＝－９のときのｙの値を求めなさい。
比例定数ａ：ｘの値とｙの値の積
ａ＝３×（－６）＝－18
この反比例の式は
ｙ＝－18/ｘ
ｘ＝－９のときだから
ｙ＝－18/－９＝２
よって、２
問題
1⃣、2⃣、3⃣、4⃣、5⃣、6⃣ の６枚のカードが入った箱から同時に２枚のカードを取り出すとき、取り出した２枚のカードに書かれた数の和が４の倍数になる確率を求めなさい。
同時に２枚取り出す組合せ
１－２ ２－３ ３－４ ４－５ ５－６
１－３ ２－４ ３－５ ４－６
１－４ ２－５ ３－６
１－５ ２－６
１－６
全ての組合せは計15通り
和が４の倍数になるのは
１－３ ２－６ ３－５
計３通り
よって、求める確率は
3/15＝1/5
問題
下の図で、△ＡＢＣと△ＡＤＥは正三角形であり、点Ｅは直線ＢＣ上にある。∠ＢＡＤ＝22°のとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
∠ＢＡＣ＝60°より
∠ＤＡＣ＝60°－22°＝38°
∠ＤＡＥ＝60°より
∠ＣＡＥ＝60°－38°＝22°
△ＡＥＣの内角と外角の関係より
∠ＣＡＥ＋∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＢ
∠ＡＣＢ＝60°だから
22°＋ｘ＝60
ｘ＝38°
問題
下の表は、ある中学校の３年１組の男子15人、３年２組の男子16人について、100m走の記録を度数分布表にまとめたものである。あとの問いに答えなさい。
1）３年１組の男子の記録の最頻値は何秒か、求めなさい。
2）15.2秒以上15.6秒未満の階級について、３年１組の男子と３年２組の男子で相対度数が大きいのはどちらか、大きい方のクラスを答え、その相対度数を求めなさい。
1）
１組で度数が最も大きい階級は
14.4秒 以上 14.8秒 以下
最頻値は、両端の値の平均（階級値）だから
（14.4＋14.8）÷２＝14.6
よって、14.6秒
2）
１組 ３÷15＝0.20
２組 ４÷16＝0.25
よって、
２組 相対度数 0.25
問題
ある中学校の３年生は社会科見学で班に分かれて博物館または美術館に行く。博物館に行く班は男子３人、女子２人の計５人からなる班であり、美術館に行く班は男子２人、女子３人の計５人からなる班である。３年生の男子の人数が60人、女子の人数が50人のとき、博物館に行く班の数と美術館に行く班の数をそれぞれ求めなさい。
博物館をｘ班、美術館をｙ班とする
男子 １班につき
博物館３人ずつ ３ｘ人
美術館２人ずつ ２ｙ人
合わせて60人だから
３ｘ＋２ｙ＝60 ①
女子 １班につき
博物館２人ずつ ２ｘ人
美術館３人ずつ ３ｙ人
合わせて50人だから
２ｘ＋３ｙ＝50 ②
①×２－②×３
６ｘ＋４ｙ＝120
６ｘ＋９ｙ＝150
－５ｙ＝－30
ｙ＝６
①に代入
３ｘ＋12＝60
３ｘ＝48 ｘ＝16
よって、
博物館 16班
美術館 ６班
問題
図１のように、直径がＡＢ＝10cmの半円がある。また、図２は、図１の半円を底面とする、高さ８cmの立体である。あとの問いに答えなさい。
1）図１の半円の弧の長さを求めなさい。
2）図２の立体の表面積を求めなさい。
3）図１の半円を、線分ＡＢを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
1）
ＡＢ＝10cmより、半径５cm
円１周分の周の長さ
２πｒ＝２π×５＝10π cm
この半分だから
10π÷２＝５π cm
2）
底面（上下）
半円２つ分で円１つ分
半径５cmだから
πｒ²＝π×５²＝25π cm² ①
側面（切り口の長方形）
縦８cm、横（ＡＢ）10cmだから
８×10＝80cm² ②
側面（縦が高さ、横が弧の長方形）
1）より
横は半円の弧の長さと同じ５π cm
８×５π＝40π cm² ③
①、②、③より
25π＋80＋40π
＝65π＋80 cm²
3）
半径５cmの球ができる
球の体積の公式より
（4/3）πｒ³
＝（4/3）π×５³
＝（500/3）π cm³
問題
下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがある。点Ｂを通り対角線ＡＣに平行な直線と、直線ＤＣとの交点をＥとする。あとの問いに答えなさい。
1）△ＡＣＤと△ＢＥＣが合同になることを証明しなさい。
2）平行四辺形ＡＢＣＤの面積は、四角形ＡＢＥＤの面積の何倍か、求めなさい。
1）
〔証明〕
△ＡＣＤと△ＢＥＣにおいて
平行四辺形の対辺は等しいから
ＡＤ＝ＢＣ ①
ＡＤ//ＢＣより同位角は等しいから
∠ＡＤＣ＝∠ＢＣＥ ②
ＡＤ//ＢＣより錯角は等しいから
∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ ③
ＡＣ//ＢＥより錯角は等しいから
∠ＣＢＥ＝∠ＢＣＡ ④
③、④より
∠ＤＡＣ＝∠ＣＢＥ ⑤
①、②、⑤より
１組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ＡＣＤ≡△ＢＥＣ
2）
ＡＣは平行四辺形の対角線だから
▱ＡＢＣＤ＝２△ＡＣＤ ①
△ＡＣＤ≡△ＢＥＣより
△ＡＣＤ＝△ＢＥＣ
また、
△ＡＣＤ＝△ＡＢＣだから
四角形ＡＢＥＤ＝３△ＡＣＤ ②
①÷②より
２△ＡＣＤ÷３△ＡＣＤ＝2/3
よって、2/3倍
問題
図１のような、表が白、裏が黒で、表と裏に１から８までの同じ整数が１つずつ書かれた８枚のカードがある。ユカさんは、これらのカードを次のような【規則】にしたがって裏返していくとき、どのようになるかに興味をもち調べた。次の（1）〜（5）に答えなさい。
【規則】
① まず、８枚のカードをすべて表にして並べる。
② １回目の操作は２の約数が書かれたカードを裏返す。
③ ２回目の操作は３の約数が書かれたカードを裏返す。
④ ３回目の操作は４の約数が書かれたカード、…、７回目の操作は８の約数が書かれたカードを裏返す。
⑤ ８回目の操作は、再び２の約数が書かれたカードを裏返す。
⑥ ９回目の操作以降も同じ規則にしたがって、３の約数が書かれたカード、…、８の約数が書かれたカード、２の約数が書かれたカード、…と順に裏返すことをくり返す。
図２は、はじめの状態から２回目の操作後の状態までを表したものであり、２回目の操作後、表になっているのは1、4、5、6、7、8が書かれたカード、裏になっているのは2、3が書かれたカードである。また、それぞれの操作後、カードは元にもどさない。
５回目の操作後、2が書かれたカードは「㋐」、3が書かれたカードは「㋑」になっている。
1） ㋐、㋑ にあてはまる語の組み合わせとして適切なものを、次の中から1つ選びなさい。
㋐ 表 ㋑ 表
㋐ 表 ㋑ 裏
㋐ 裏 ㋑ 表
㋐ 裏 ㋑ 裏
2）ｎを自然数とする。7の約数が書かれたカードを裏返すのは何回目の操作か、ｎを用いて表しなさい。
3）７回目の操作後、表になっているカードに書かれた整数をすべて書きなさい。
4）ｍを自然数とする。ｍ回目の操作後、８枚のカードがすべて表であるとき、考えられるｍのうち、最も小さい値として適切なものを、次のア〜ウの中から１つ選びなさい。
ア 12 イ 14 ウ 16
5）90回目の操作後、表になっているカードに書かれた整数をすべて書きなさい。
1）
1回目から5回目まで
それぞれの数が裏返される回数
カード２
2の約数（1回目）、4の約数（3回目）、6の約数（5回目）の計3回
奇数回裏返されるから、表からはじまって「裏」
カード３
3の約数（2回目）、6の約数（5回目）の計2回
偶数回裏返されるから、元の「表」に戻る
よって、
㋐裏 ㋑表
2）
操作は「2の約数」から始まり、「8の約数」までの7回で1つのサイクル
「7の約数」を裏返すのは、各サイクルの 6番目 の操作
1サイクル目： 6回目（7×0+6）
2サイクル目：13回目（7×1+6）
3サイクル目：20回目（7×2+6）
nサイクル目：7×(n-1)+6 回目
よって、７ｎ－１
3）
7回目の操作（1サイクル終了時）までに、各カードが何回操作されたか
１: 1〜7回目すべて（操作 7回⇒奇数⇒裏）
２: 2, 4, 6, 8の約数（操作 4回⇒偶数⇒表）
３: 3, 6の約数（2回⇒偶数⇒表）
４: 4, 8の約数（2回⇒偶数⇒表）
５: 5の約数（1回⇒奇数⇒裏）
６: 6の約数（1回⇒奇数⇒裏）
７: 7の約数（1回⇒奇数⇒裏）
８: 8の約数（1回⇒奇数⇒裏）
したがって、
偶数回操作されて「表」になっているのは ２, ３, ４
4）
すべてのカードが「表」に戻るには、すべてのカードの操作回数が偶数回になる必要がある。
3）より
1サイクル（7回）での各カードの操作回数
１ 7回（奇数）
２ 4回（偶数）
３ 2回（偶数）
４ 2回（偶数）
５〜８ 1回（奇数）
2サイクル（14回） 操作すると、それぞれの操作回数がすべて2倍（偶数倍）になるため、奇数回だった「1」や「5〜8」の操作回数もすべて偶数回（14回や2回）に変わる。
したがって、
14回目の操作後にはじめてすべてのカードが表に戻る。
イ
5）
90回の操作が、何サイクルとあと何回分にあたるか
90÷７＝12あまり６
4）より
キリの良いサイクル終了時（12サイクル目の84回目）には、すべてのカードが一度「表」にリセットされる。
そこからさらに 6回分（1回目〜6回目） の操作を進めたとき、偶数回操作されるカードを探す。
1回目〜6回目の操作（2の約数〜7の約数）における各カードの操作回数
１: 6回（偶数⇒表）
２: 3回（2, 4, 6の約数⇒奇数⇒裏）
３: 2回（3, 6の約数⇒偶数⇒表）
４: 1回（4の約数⇒奇数⇒裏）
５: 1回（5の約数⇒奇数⇒裏）
６: 1回（6の約数⇒奇数⇒裏）
７: 1回（7の約数⇒奇数⇒裏）
８: 0回（まだ操作されていない⇒偶数⇒表）
よって、
90回操作した後に表になっているのは １, ３, ８
2025年・青森県立高校入試
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塾生の声
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受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
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通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
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入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
目標の中学受験
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中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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2026.8.23 模試対策 中学数学