正弦定理と余弦定理 テスト対策
高校数学では、正弦定理と余弦定理の単元に進んでいます。正弦定理は、三角形の３辺において「対辺/sinの値」がすべて等しくなることで、三角形の面積や外接円の半径に応用されます。余弦定理は、２辺とその間の角を用いて対辺の長さを求める式になります。
問題
△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝２、∠ＢＡＣ＝45°、∠ＡＣＢ＝75°である。
1）辺ＡＢの長さを求めよ。
2）sin75°とcos75°の値を求めよ。
1）
Ｃからの垂線とＡＢの交点をＨとする
△ＣＢＨにおいて
∠Ｂ＝180°－45°－75°＝60°
∠ＣＨＢ＝90°だから
ＨＢ：ＣＢ＝１：２
ＨＢ：２＝１：２
ＨＢ＝１
ＣＨ：ＣＢ＝√３：２
ＣＨ：２＝√３：２
ＣＨ＝√３
△ＣＡＨは直角二等辺三角形だから
ＡＨ：ＣＨ＝１：１
ＡＨ：√３＝１：１
ＡＨ＝√３
ＡＢ＝ＡＨ＋ＨＢ
＝√３＋１
2）
△ＣＡＨにおいて
ＣＡ：ＣＨ＝√２：１
ＣＡ：√３＝√２：１
ＣＡ＝√６
△ＡＢＣにおいて、正弦定理により
ＢＣ/sinＡ＝ＡＢ/sinＣ
２/sin45°＝（√３＋１）/sin75°
２sin75°＝（1/√2）（√３＋１）
２√２sin75°＝√３＋１
sin75°＝（√３＋１）/２√２
sin75°＝（√６＋√２）/４
△ＡＢＣにおいて、余弦定理により
cos75°
＝（CA²+CB²－AB²）/（2・CA・CB）
＝（6－2√3）/2・√6・2
＝（3－√3）/2√6
＝（3√6－3√2）/12
＝（√６－√２）/４
よって、
cos75°＝（√６－√２）/４
※加法定理を使う場合（数Ⅱ）
sin75°
＝sin（45°＋30°）
＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
＝（1/√2）・（√3/2）＋（1/√2）・（1/2）
＝（√3/2√2）＋（1/2√2）
＝（√3+1）/2√2
＝（√６＋√２）/４
cos75°
＝cos（45°＋30°）
＝cos45°cos30°－sin45°sin30°
＝（1/√2）・（√3/2）－（1/√2）・（1/2）
＝（√3/2√2）－（1/2√2）
＝（√3－1）/2√2
＝（√６－√２）/４
問題
円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝３、ＢＣ＝２、ＣＤ＝２、∠Ｂ＝60°のとき、次のものを求めよ。
1）ＡＣの長さ
2）ＡＤの長さ
3）四角形ＡＢＣＤの面積
1）
△ＡＢＣにおいて、余弦定理により
AC²＝AB²＋BC²－2AB・BCcos60°
＝９＋４－２・３・２・（1/2）
＝13－６＝７
ＡＣ＞０より、ＡＣ＝√７
2）
ＡＤ＝ｘとする
円に内接する四角形の対角の和は180°だから
∠ＡＤＣ＝180°－60°＝120°
△ＡＣＤにおいて、余弦定理により
AC²＝AD²+CD²－2AD・CDcos120°
７＝ｘ²＋４－２ｘ・２・（－1/2）
７＝ｘ²＋４＋２ｘ
ｘ²＋２ｘ－３＝０
（ｘ＋３）（ｘ－１）＝０
ｘ＝－３，１
ｘ＞０より、ｘ＝１
よって、ＡＤ＝１
3）
△ＡＢＣ＋△ＡＣＤとして求める
△ＡＢＣ
＝（1/2）・ＡＢ・ＢＣsin60°
＝（1/2）・３・２・（√3/2）
＝３√３/２
△ＡＣＤ
＝（1/2）・ＡＤ・ＣＤsin120°
＝（1/2）・１・２・（√3/2）
＝√３/２
よって、求める面積は
（３√３/２）＋（√３/２）＝２√３
※別解
内接四角形の面積公式
四角形の周の長さの半分をｓとする
ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）/２
ブラーマグプタの定理
Ｓ＝√｛（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）（ｓ－ｄ）｝
ｓ＝（３＋２＋２＋１）/２＝４
Ｓ＝√｛（４－３）（４－２）（４－２）（４－１）｝
＝√（１・２・２・３）
＝２√３
問題
円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝５、ＢＣ＝４、ＣＤ＝４、ＤＡ＝２のとき、四角形ＡＢＣＤの面積を求めよ。
ＡＣ＝ｘとする
△ＡＢＣにおいて、余弦定理により
ｘ²＝25＋16－２・５・４cosＢ
＝41－40cosＢ ①
円に内接する四角形の対角の和は180°だから
Ｄ＝180°－Ｂ
△ＡＣＤにおいて、余弦定理により
ｘ²＝４＋16－２・２・４cos（180°－Ｂ）
cos（180°－Ｂ）＝－cosＢより
ｘ²＝20＋16cosＢ ②
①、②より
41－40cosＢ＝20＋16cosＢ
56cosＢ＝21
cosＢ＝21/56＝３/８
sin²Ｂ＝１－cos²Ｂより
sin²Ｂ＝１－（9/64）＝55/64
０°＜Ｂ＜180°より
sinＢ＝√55/8
△ＡＢＣ
＝（1/2）・ＡＢ・ＢＣ・sinＢ
＝（1/2）・５・４・（√55/8）
＝5√55/4
△ＡＣＤ
＝（1/2）・ＡＤ・ＤＣ・sinＤ
sinＤ＝sin（180°－Ｂ）＝sinＢだから
△ＡＣＤ
＝（1/2）・２・４・（√55/8）
＝2√55/4
よって、求める面積は
△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ
（5√55/4）＋（2√55/4）
＝7√55/4
問題
下の図のように、ＡＢ＝３、ＡＤ＝２、ＡＥ＝１である直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。△ＡＦＣの面積Ｓを求めよ。
３辺はそれぞれ直角三角形の斜辺である
△ＡＣＤで三平方の定理より
ＡＣ²＝２²＋３²＝13
ＡＣ＝√13（ＡＣ＞０）
△ＡＦＥで三平方の定理より
ＡＦ²＝１²＋３²＝10
ＡＦ＝√10（ＡＦ＞０）
△ＣＦＧで三平方の定理より
ＣＦ²＝１²＋２²＝５
ＣＦ＝√５（ＣＦ＞０）
△ＡＣＦで余弦定理により
cos∠ＡＦＣ
＝（10＋５－13）/（２・√10・√５）
＝２/２√50
＝１/√50
sin²∠ＡＦＣ＝１－cos²∠ＡＦＣより
sin²∠ＡＦＣ＝１－（1/50）＝49/50
０°＜∠ＡＦＣ＜180°より
sin∠ＡＦＣ＝7/√50
よって、
△ＡＣＦ
＝（1/2）・ＡＦ・ＣＦ・sin∠ＡＦＣ
＝（1/2）・√10・√５・（7/√50）
＝7/2
問題
△ＡＢＣにおいて、ａ＝８、ｂ＝７、ｃ＝９とする。線分ＢＣの中点をＭ、線分ＢＭの中点をＤとするとき、ＡＭ、ＡＤの長さを求めよ。
△ＡＢＣで余弦定理により
cosＢ
＝（ａ²＋ｃ²－ｂ²）/（2ａｃ）
＝（64＋81－49）/（2・8・9）
＝96/（2・8・9）
＝6/9
＝2/3
△ＡＢＭで余弦定理により
ＡＭ²＝ｃ²＋ＢＭ²－２・ｃ・ＢＭcosＢ
ＢＭ＝（1/2）ＢＣ＝４だから
ＡＭ²＝81＋16－２・９・４・（2/3）
＝97－48＝49
ＡＭ＞０より、ＡＭ＝７
△ＡＢＤで余弦定理により
ＡＤ²＝ｃ²＋ＢＤ²－２・ｃ・ＢＤcosＢ
ＢＤ＝（1/2）ＢＭ＝２だから
ＡＤ²＝81＋４－２・９・２・（2/3）
＝85－24＝61
ＡＤ＞０より、ＡＤ＝√61
よって、
ＡＭ＝７、ＡＤ＝√61
※別解
中線定理
ＡＢ²＋ＡＣ²＝２（ＡＭ²＋ＢＭ²）
９²＋７²＝２（ＡＭ²＋４²）
81＋49＝２ＡＭ²＋32
２ＡＭ²＝98
ＡＭ²＝49
ＡＭ＞０より、ＡＭ＝７
ＡＤの場合
ＡＢ²＋ＡＭ²＝２（ＡＤ²＋ＢＤ²）
９²＋７²＝２（ＡＤ²＋２²）
81＋49＝２ＡＤ²＋８
２ＡＤ²＝122
ＡＤ²＝61
ＡＤ＞０より、ＡＤ＝√61
問題
△ＡＢＣにおいて、sinＡ：sinＢ：sinＣ＝√２：√５：１が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさを求めよ。
角と対辺は比例の関係だから
３辺の長さを
ａ＝√２ｋ、ｂ＝√５ｋ、ｃ＝ｋとする
最大の角はＢだから、余弦定理により
cosＢ
＝（２ｋ²＋ｋ²－５ｋ²）/２√２ｋ²
＝－２ｋ²/２√２ｋ²
＝－１/√２
０°＜Ｂ＜180°より
Ｂ＝135°
👉ｋ＝１とみなして、√２、√５、１をそのまま使ってもよい。
※外接円の直径２Ｒ＝ｋとする
正弦定理により
ａ/sinＡ＝ｂ/sinＢ＝ｃ/sinＣ＝ｋ
ａ/√２＝ｂ/√５＝ｃ/１＝ｋ
ａ＝√２ｋ、ｂ＝√５ｋ、ｃ＝ｋ
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2026.10.13 正弦定理と余弦定理 テスト対策