比例と反比例定期テスト対策

たむかい学習教室
11月16日
読了時間: 10分

比例と反比例定期テスト対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

11月も後半、塾生は期末考査を控えています。２学期は、各学年で「関数」の学習があり、期末のテスト範囲になっています。関数の基本ともいえる比例と反比例では、比例のグラフを直角三角形、反比例のグラフを長方形のイメージでとらえます。

比例

👉直角三角形のイメージ

三角形の斜辺が、傾きａを表す。

ａ＞０のとき

ａ＜０のとき

反比例

👉長方形のイメージ

双曲線上の点（ｘ，ｙ）

ｘとｙの積は、比例定数ａ

※ｘの値が横の長さ、ｙの値が縦の長さ

問題

次の㋐～㋓のことがらについて、あとの問いに答えなさい。

㋐120ページの本をｘページ読んだときの残りのページ数はｙページである。

㋑1Lのガソリンで13km走る自動車は、ｘLのガソリンでｙkm走る。

㋒ｘ歳の人が１日に勉強する時間はｙ時間である。

㋓800mLのジュースをｘ人で等分すると、１人分はｙmLである。

1）ｙがｘの関数であるものをすべて選びなさい。

2）ｙがｘに比例するものを選び、比例の式を求めなさい。

3）ｙがｘに反比例するものを選び、反比例の式を求めなさい。

1）

「ｙがｘの関数である」

👉ｘの値が１つなら、ｙの値も１つ。

※ｘとｙについて等式が成り立つ

㋐

読んだページ＋残り＝全体

ｘ＋ｙ＝120

ｙ＝－ｘ＋120

👉ｘの値が１つに決まると、ｙの値も１つ

㋑

1L×13＝13km

2L×13＝26km

・・・

ｘL×13＝13ｘkm

比例の関係

ｙ＝13ｘ

👉ｘの値が１つに決まると、ｙの値も１つ

㋒

ｘ歳の人が決まった時間を勉強するとは限らないので、関数の式では表せない。

㋓

800mL÷2＝400mL

800mL÷4＝200mL

・・・

800mL÷ｘ＝800／ｘmL

反比例の関係

ｙ＝800／ｘ

👉ｘの値が１つに決まると、ｙの値も１つ

よって、㋐・㋑・㋓

2）㋑　ｙ＝13ｘ

3）㋓　ｙ＝800／ｘ

問題

次の問いに答えなさい。

1）ｙはｘに比例し、ｘ＝10のときｙ＝－６である。比例の式を求めなさい。

2）ｙはｘに反比例し、ｘ＝－４のときｙ＝５である。ｘ＝２のときのｙの値を求めなさい。

ｘとｙ両方の値が決まっている

👉比例定数ａを求める

「ｙはｘに比例」　ｙ＝ａｘ

「ｙはｘに反比例」ｙ＝ａ／ｘ

1）

求める式を、ｙ＝ａｘとする。

ｘ＝10、ｙ＝－６を代入

－６＝10ａ

ａ＝－3/5

よって、求める式は、

ｙ＝（－3/5）ｘ

2）

先に、反比例の式を求める。

ａの値は、ｘ×ｙで求められるから

ａ＝－４×５＝－20

反比例の式は、ｙ＝－20／ｘ

これにｘ＝２を代入

ｙ＝－20／２＝－10

よって、

求めるｙの値は、－10

問題

下の図の①、②のグラフは、比例や反比例のグラフである。ｙをｘの式で表しなさい。

グラフから式を求めるとき

👉直線上でｘとｙの値が整数になる点を見つける（格子点と重なる点）

比例の場合（直線）

方法1

ｙ＝ａｘに代入して、ａを求める。

方法2

ｙの増加量

━━━━━＝ａ　で求める

ｘの増加量

※

ｘの増加量：原点から右に移動させた数

ｙの増加量：右に移動後、上下に移動させた数

反比例の場合（双曲線）

ｘ×ｙ＝ａで求める

※ｙ＝ａ／ｘに代入することと同じ

1）

①は直線だから

求める式を、ｙ＝ａｘとする。

ｘ＝２、ｙ＝５の点を通るから

５＝ａ×２

ａ＝5/2

よって、

求める式は、ｙ＝（5/2）ｘ

※別解

（０，０）と（２，５）を通る直線

ｘの増加量は、２－０＝２

ｙの増加量は、５－０＝５

よって、ａ＝5/2

求める式は、ｙ＝（5/2）ｘ

2）

②は双曲線だから

求める式を、ｙ＝ａ／ｘとする。

ｘ＝１、ｙ＝－４を通るから

ａ＝ｘ×ｙ

　＝１×（－４）

　＝－４

よって、

求める式は、ｙ＝－４／ｘ

問題

下の図のような長方形ＡＢＣＤで、点Ｐは辺ＢＣ上をＢからＣまで動く。ＢＰをｘcm、三角形ＡＢＰの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。ただし、点ＰがＢの位置にあるときのｙの値は０とする。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）ｘの変域、ｙの変域をそれぞれ求めなさい。

1）

∠ＡＢＣ＝90°だから

△ＡＢＰの底辺はＢＰ、高さはＡＢになる。

よって、

ｙ＝（1/2）×ＢＰ×ＡＢ

　＝（1/2）×ｘ×４

　＝２ｘ

求める式は、ｙ＝２ｘ

2）

変域：ｘとｙの値が変化する範囲

※いちばん小さい値からいちばん大きい値まで

ｘの変域（ＢＰの長さ）

点ＰがＢにいるとき　ｘ＝０cm

点ＰがＣにいるとき　ｘ＝５cm

よって、

求める変域は、０≦ｘ≦５

ｙの変域（△ＡＢＰの面積）

ｘ＝０のとき

ｙ＝２ｘより、ｙ＝２×０＝０cm²

ｘ＝５のとき

ｙ＝２×５＝10cm²

よって、

求める変域は、０≦ｙ≦10

０≦ｘ≦５👉「ｘは、０以上５以下」

０≦ｙ≦10👉「ｙは、０以上10以下」

問題

底辺がｘcm、高さがｙcmの平行四辺形の面積をＳcm²とすると、Ｓ＝ｘｙという式が成り立つ。あとの問いに答えなさい。

1）Ｓの値を18に決めたときの、ｘとｙの関係を答えなさい。

2）ｘの値を６に決めたときの、Ｓとｙの関係を答えなさい。

1）

底辺×高さ＝平行四辺形の面積だから

ｘ×ｙ＝Ｓ

Ｓ＝18だから

ｘｙ＝18

ｙをｘの式で表すと、ｙ＝18／ｘ

よって、反比例の関係

2）

ｘ×ｙ＝Ｓ

ｘ＝６だから

６ｙ＝Ｓ

ｙをＳの式で表すと、ｙ＝（1/6）Ｓ

よって、比例の関係

※

Ｓをｙの式で表しても比例

Ｓ＝６ｙ

問題

次の問いに答えなさい。

1）ｙはｘに反比例し、ｘ＝－１のときｙ＝１である。反比例の式を求めなさい。

2）ｙはｘに反比例し、ｘ＝６のときｙ＝－4/3である。反比例の式を求めなさい。

3）ｙはｘに反比例し、ｘ＝３のときｙ＝８である。ｘ＝４のときのｙの値を求めなさい。

1）

求める式を、ｙ＝ａ／ｘとする。

ａ＝ｘ×ｙ

　＝（－１）×１

　＝－１

よって、

求める式は、ｙ＝－１／ｘ

2）

ａ＝ｘ×ｙ

　＝６×（－4/3）

　＝－８

よって、

求める式は、ｙ＝－８／ｘ

3）

ａ＝ｘ×ｙ

　＝３×８

　＝24

反比例の式は、ｙ＝24／ｘ

ｘ＝４を代入

ｙ＝24／４＝６

よって、

求めるｙの値は、６

問題

下の図のように、ｙ＝10／ｘ（ｘ＞０）のグラフ上の点Ｐから、ｘ軸、ｙ軸に垂直な直線をひいて、長方形ＯＡＰＢをつくるとき、この長方形の面積を求めなさい。ただし、座標の１目もりを１cmとする。

ｙ＝10／ｘより、ｘｙ＝10

よって、

双曲線上のどこに点Ｐをとっても、

ＯＡ×ＯＢ＝10　である。

長方形の面積は、

ＯＡ×ＯＢで求められるから、10cm²

問題

ｙがｘに反比例するものを、次の㋐～㋓から１つ選びなさい。

㋐面積が10cm²の三角形の底辺ｘcmと高さｙcm

㋑150ページの本を、ｘページ読んだときの残りのページ数ｙページ

㋒1本120円のジュースをｘ本買ったときの代金ｙ円

㋓ｘ円の品物を３割引きで買ったときの代金ｙ円

㋐

（1/2）×底辺×高さ＝面積

（1/2）×ｘ×ｙ＝10

ｘｙ＝20

ｙ＝20／ｘ

㋑

読んだページ＋残り＝全体

ｘ＋ｙ＝150

ｙ＝－ｘ＋150

㋒

120円×本数＝合計の代金

120×ｘ＝ｙ

ｙ＝120ｘ

㋓

もとの価格×割合＝割引後の価格

３割引き👉（10/10）－（3/10）

ｘ×（7/10）＝ｙ

ｙ＝（7/10）ｘ

よって、㋐

問題

下の図のような直角三角形ＡＢＣで、点ＰはＢから出発して辺ＢＣ上をＣまで進む。Ｂからｘcm進んだときの三角形ＡＢＰの面積をｙcm²とするとき、ｙをｘの式で表しなさい。また、ｘの変域とｙの変域を求めなさい。

∠ＡＣＢ＝90°だから

△ＡＢＰの底辺はＢＰ、高さはＡＣになる。

ｙ＝（1/2）×ＢＰ×ＡＣ

　＝（1/2）×ｘ×５

　＝（5/2）ｘ

点ＰがＢにあるとき　ｘ＝０cm

点ＰがＣにあるとき　ｘ＝８cm

ｘ＝０のとき

ｙ＝（5/2）ｘより

ｙ＝（5/2）×０＝０cm²

ｘ＝８のとき

ｙ＝（5/2）×８＝20cm²

よって、

求める式　ｙ＝（5/2）ｘ

ｘの変域　０≦ｘ≦８

ｙの変域　０≦ｙ≦20

中２数学・一次関数

問題

としさんは家を出発して駅まで歩いて行く途中、書店で本を買ったあと、再びそれまでと同じ速さで歩いて駅に到着した。また、としさんの弟は、としさんが家を出発してから５分後に駅を出発して、としさんと同じ道を通って家まで歩いた。

下のグラフは、としさんが家を出発してからｘ分後の家からの道のりをｙmとして、としさんと弟について、ｘとｙの関係を表したものである。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、としさんと弟の歩く速さはそれぞれ一定である。

1）としさんの歩く速さは毎分何mか、求めなさい。

2）駅から出発した弟が書店の前を通過するのは、としさんが家を出発してから何分後か、求めなさい。

3）としさんと弟がすれちがうのは、としさんが家を出発してから何分後で家から何mの地点か、それぞれ求めなさい。

1）

家から３分間歩いて、240m進んだ。

道のり÷時間＝速さ

240÷３＝80

よって、毎分80m

※

ｙ÷ｘ＝80だから、ｙ＝80ｘ

👉比例定数ａは、速さを表す。

2）

弟は12分間歩いて、720m進んだから

進む速さは、

720÷12＝60　毎分60m

駅から書店まで、480mあるから

かかる時間は、

480÷60＝８分

としさんが家を出発した５分後に駅を出たから

５＋８＝13分後

※

５≦ｘ≦17のとき

（５，720）と（17，０）を通る直線

ｘの増加量　17－５＝12

ｙの増加量　０－720＝－720

ａ＝－720／12＝－60

切片の値をｂとする

ｙ＝－60ｘ＋ｂ

（17，０）を通るから

０＝－60×17＋ｂ

ｂ＝1020

弟の進ようすは、

ｙ＝－60ｘ＋1020で表される

求めるｘの値は、ｙ＝240のときだから

240＝－60ｘ＋1020

60ｘ＝780

ｘ＝13

よって、13分後

3）

６≦ｘ≦12のとき

としさんの進む速さは毎分80m

直線の切片の値をｃとすると、

ｙ＝80ｘ＋ｃ

（６，240）を通るから

240＝80×６＋ｃ

ｃ＝－240

としさんの進むようすは、

ｙ＝80ｘ－240

すれちがうのは、弟の式のｘとｙの値がそれぞれ同じときだから

80ｘ－240＝－60ｘ＋1020

14ｘ＝126

ｘ＝９

ｙ＝80×９－240＝480

よって、

９分後で、480mの地点

👉一次関数練習問題

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今年度塾生35名（2025年9月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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