比例の基本

たむかい学習教室
10月13日
読了時間: 8分

比例の基本

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

比例の学習の入り口では、ｘとｙの関係について学びます。ｘの値が１つに決まるとｙの値が１つに決まる関係のことを「関数」といい、比例はｘとｙの関数になります。比例の学習は、中学・高校数学の基本になります。

問題

次の問いに答えなさい。

1）底辺４cmの平行四辺形では、面積は高さの関数であるといえますか。

2）体重は、年齢の関数であるといえますか。

1）

高さの値を１つに決めると、

面積の値も１つに決まるから

面積は高さの関数であるといえる

2）

年齢の値を１つに決めても、

体重の値は１つとは限らないから

体重は年齢の関数であるといえない

「関数」

👉ｘの値が１つに決まるとｙの値が１つに決まる関係

問題

変数ｘが次の範囲の値をとるとき、ｘの変域を不等号を使って表しなさい。

1）４以下

2）－７以上０未満

3）－５より大きく－２より小さい

1）ｘ≦４

2）－７≦ｘ＜０

3）－５＜ｘ＜－２

ｘは□以上👉ｘ≧□

ｘは□以下👉ｘ≦□

ｘは□以上、△以下👉□≦ｘ≦△

ｘは□より大きい👉ｘ＞□

ｘは□より小さい👉ｘ＜□

ｘは□未満👉ｘ＜□

ｘは□より大きく△より小さい

👉□＜ｘ＜△

問題

１冊120円のノートをｘ冊買うときの代金はｙ円である。次の問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）比例定数と比例定数が表している量を答えなさい。

1）

120×ｘ(円)は、ｙ(円)だから

120ｘ＝ｙ

ｙ＝120ｘ

2）

比例定数は、120

ノート１冊の値段を表している

問題

80cmのリボンをｘ人で等分すると、１人分の長さはｙcmになる。次の問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）比例定数と比例定数が表している量を答えなさい。

1）

80÷ｘ(cm)は、ｙ(cm)だから

80／ｘ＝ｙ

ｙ＝80／ｘ

2）

比例定数は、80

リボン全体の長さを表している

問題

1800mの道のりを、自転車でｘ分間で走ったときの速さを分速ｙmとする。このとき、次の問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。

2）比例定数と比例定数が表している量を答えなさい。

1）

道のり÷時間＝速さだから

1800÷ｘ＝ｙ

ｙ＝1800／ｘ

2）

比例定数は、1800

道のり全体を表している

問題

縦が５cm、横がｘcmの長方形の周の長さをｙcmとするとき、次の問いに答えなさい。

1）ｘの値に対応するｙの値を求めなさい。

縦の辺２つ分の長さは、

５×２＝10cm

横の辺２つ分の長さは、

ｘ×２＝２ｘcm

合わせてｙcmだから

ｙ＝２ｘ＋10

ｘ＝１のとき、ｙ＝12

ｘ＝２のとき、ｙ＝14

ｘ＝３のとき、ｙ＝16

ｘ＝４のとき、ｙ＝18

ｘ＝５のとき、ｙ＝20

2）ｙをｘの式で表しなさい。

3）ｙはｘの関数であるといえますか。

2）

1）より、ｙ＝２ｘ＋10

3）

ｘの値が１つに決まると、

ｙの値も１つに決まるから

ｙはｘの関数であるといえる

問題

変数ｘが、次の数直線のような範囲の値をとるとき、ｘの変域を不等号を使って表しなさい。

値が●（黒丸）のときは、その値を含む。

ｘが２以上だから

ｘ≧２

※

○（白丸）のときは、その値は含まない。

値が○　👉「＜　＞」

値が●　👉「≦　≧」

問題

ｙ＝４ｘについて、次の問いに答えなさい。

1）ｘの変域を負の数に広げた下の表の空らんにあてはまる値を求めなさい。

2）ｘの値が２倍、３倍、・・になると、それに対応するｙの値はそれぞれ何倍になるか、求めなさい。

1）

ｙ＝４ｘにｘの値をそれぞれ代入

左から順に

－12　－８　－４　４　８　12

2）

ｘが１から２になるとき、

ｙは４から８になる。

８÷４＝２倍

ｘが１から３になるとき、

ｙは４から12になる。

12÷４＝３倍

よって、

ｙの値は２倍、３倍、・・になる

問題

ｙ＝－２ｘについて、次の問いに答えなさい。

1）比例定数が負の数の場合について、下の表の空らんにあてはまる値を求めなさい。

2）ｘの値が２倍、３倍、・・になると、それに対応するｙの値はそれぞれ何倍になるか、求めなさい。

1）

ｙ＝－２ｘにｘの値をそれぞれ代入

左から順に

６　４　２　－２　－４　－６

2）

ｘが１から２になるとき、

ｙは－２から－４になる。

－４÷（－２）＝２倍

ｘが１から３になるとき、

ｙは－２から－６になる。

－６÷（－２）＝３倍

よって、

ｙの値は２倍、３倍、・・になる

問題

ｙはｘに比例するとき、次の場合について、比例の式を求めなさい。

1）ｘ＝３のとき、ｙ＝－18

2）ｘ＝－２のとき、ｙ＝10

1）

「ｙはｘに比例する」

👉ｙ＝ａｘが比例の式

求める式をｙ＝ａｘとする

式にｘ＝３、ｙ＝－18を代入

－18＝３ａ

ａ＝－６

よって、求める式は、

ｙ＝－６ｘ

2）

求める式をｙ＝ａｘとする

式にｘ＝－２、ｙ＝－10を代入

－10＝－２ａ

ａ＝５

よって、求める式は、

ｙ＝５ｘ

問題

下の表で、ｙはｘに比例するとき、□にあてはまる数を求めなさい。

1）

ｘ　１　　３　　５

ｙ　□　－18　－30

1）

ｙはｘに比例するから、

その式をｙ＝ａｘとする。

ｘ＝３のとき、ｙ＝－18だから

式にそれぞれの値を代入

－18＝３ａ

ａ＝－６

表から求められる式は、

ｙ＝－６ｘ

これにｘ＝１を代入

ｙ＝－６×１＝－６

よって、－６

2）

ｘ　－12　－５　－３

ｙ　 □　　□　　４

2）

ｙ＝ａｘに、

ｘ＝－３、ｙ＝４を代入

４＝－３ａ

ａ＝－４／３

表から求められる式は、

ｙ＝（－4/3）ｘ

ｘ＝－12のときは、

ｙ＝（－4/3）×（－12）

　＝16

ｘ＝－５のときは、

ｙ＝（－4/3）×（－５）

　＝20/3

よって、

左から順に、16　20/3

問題

ｙがｘに比例し、比例定数が５のとき、ｘの値とそれに対応するｙの値について述べた文として正しいものを、次のア～エから１つ選びなさい。

ア

ｘの値とｙの値の和は、いつも５である。

イ

ｙの値からｘの値をひいた差は、いつも５である。

ウ

ｘの値とｙの値の積は、いつも５である。

エ

ｘの値が０でないとき、ｙの値をｘの値でわった商は、いつも５である。

「ｙがｘに比例し、比例定数が５」

👉ｙ＝５ｘ

ｘ＝１のとき、ｙ＝５

ア　ｘ＋ｙ≠５

イ　ｙ－ｘ≠５

ウ　ｘｙ＝５だが、

　　ｘ＝２のとき、ｙ＝10

　　ｘｙ≠５

エ　５÷１＝５

　　10÷２＝５

よって、エ

※

ｘの値が０であるとき、ｙ÷０は成り立たない。

問題

ｙはｘに比例し、ｘ＝２のときｙ＝６である。このとき、比例の式を求めなさい。

求める式をｙ＝ａｘとする

ｘ＝２、ｙ＝６を代入

６＝２ａ

ａ＝３

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ

問題

ｙはｘに比例し、ｘ＝６のときｙ＝－９である。

1）このとき、比例の式を求めなさい。

2）ｘ＝－４のときのｙの値を求めなさい。

1）

求める式をｙ＝ａｘとする

ｘ＝６、ｙ＝－９を代入

－９＝６ａ

ａ＝－3/2

よって、求める式は、

ｙ＝（－3/2）ｘ

2）

ｙ＝（－3/2）ｘに、ｘ＝－４を代入

ｙ＝（－3/2）×（－４）

　＝６

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（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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