- たむかい学習教室
- 5 日前
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直線の方程式と三角形の面積
グラフ上の三角形の面積を求めるときは、点と直線の距離（高さ）を求めることが基本になります。点と直線の距離を求める公式と、２点間の距離を求める公式を利用します。
問題
次の２点を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求めよ。
1）
Ａ（２，０） Ｂ（０，４）
2）
Ａ（－１，－２） Ｂ（２，７）
1）
直線ＡＢの傾き
（４－０）/（０－２）
＝－２
よって、
求める直線の傾きは、1/2
ＡＢの中点
ｘ座標 （２＋０）/２＝１
ｙ座標 （０＋４）/２＝２
したがって、直線の式は
ｙ－２＝（1/2）（ｘ－１）
２ｙ－４＝ｘ－１
ｘ－２ｙ＋３＝０
2）
直線ＡＢの傾き
（７＋２）/（２＋１）
＝３
よって、
求める直線の傾きは、－1/3
ＡＢの中点
ｘ座標 （－１＋２）/２＝1/2
ｙ座標 （－２＋７）/２＝5/2
したがって、直線の式は
ｙ－（5/2）＝（－1/3）｛（ｘ－（1/2）｝
６ｙ－15＝－２ｘ＋１
２ｘ＋６ｙ－16＝０
ｘ＋３ｙ－８＝０
問題
３点Ａ（３，４）、Ｂ（０，０）、Ｃ（５，０）を頂点とする△ＡＢＣについて、次の３つの直線が１点で交わることを示せ。
1）各辺の垂直二等分線
2）各頂点から対辺に下ろした垂線
1）
直線ＡＢの傾き 4/3
垂線の傾き －3/4
ＡＢの中点
ｘ座標 （３＋０）/２＝3/2
ｙ座標 （４＋０）/２＝２
垂直二等分線の式は
ｙ－２＝（－3/4）｛ｘ－（3/2）｝
８ｙ－16＝－６ｘ＋９
６ｘ＋８ｙ＝25 ①
直線ＢＣ ｙ＝０
垂線の式はｘの値が一定
ＢＣの中点
ｘ座標 （５＋０）/２＝5/2
垂直二等分線の式は
ｘ＝5/2
直線ＣＡの傾き
（０－４）/（５－３）
＝－２
垂線の傾き 1/2
ＣＡの中点
ｘ座標 （５＋３）/２＝４
ｙ座標 （０＋４）/２＝２
垂直二等分線の式は
ｙ－２＝（1/2）（ｘ－４）
２ｙ－４＝ｘ－４
ｘ－２ｙ＝０ ②
①にｘ＝5/2を代入
15＋８ｙ＝25
８ｙ＝10
ｙ＝5/4
②にｘ＝5/2を代入
（5/2）－２ｙ＝０
ｙ＝5/4
よって、３つの直線は
点（5/2，5/4）で交わる
2）
ＡからＢＣに下ろした垂線
直線ＢＣはｙ＝０だから
ｘ＝３
ＢからＣＡに下ろした垂線
垂線の傾き 1/2
原点を通るから
ｙ＝（1/2）ｘ ①
ＣからＡＢに下ろした垂線
垂線の傾き －3/4
（５，０）を通るから
ｙ＝（－3/4）（ｘ－５）
ｙ＝（－3/4）ｘ＋（15/4） ②
①にｘ＝３を代入
ｙ＝3/2
②にｘ＝３を代入
ｙ＝（－9/4）＋（15/4）
＝3/2
よって、３つの直線は
点（３，3/2）で交わる
問題
次の点の座標を求めよ。
1）直線ｘ＋２ｙ＝０に関して、点Ａ（３，－４）と対称な点Ｂ
2）直線ｘ＋ｙ＋１＝０に関して、点Ａ（３，２）と対称な点Ｂ
1）
ｘ＋２ｙ＝０の傾き －1/2
垂線の傾き ２
垂線の方程式は（３，－４）を通るから
ｙ＋４＝２（ｘ－３）
ｙ＋４＝２ｘ－６
２ｘ－ｙ＝10 ①
ｘ＋２ｙ＝０ ②
①、②の交点を求める
①－②×２
２ｘ－ ｙ＝10
－）２ｘ＋４ｙ＝０
－５ｙ＝10
ｙ＝－２
②に代入
ｘ－４＝０ ｘ＝４
求める座標を（ａ，ｂ）とする
（３，－４）と（ａ，ｂ）の中点が（４，－２）だから
（３＋ａ）/２＝４
ａ＝５
（－４＋ｂ）/２＝－２
ｂ＝０
よって、
点Ｂ（５，０）
2）
直線ｘ＋ｙ＋１＝０に関して、点Ａ（３，２）と対称な点Ｂ
ｘ＋ｙ＋１＝０の傾き －１
垂線の傾き １
垂線の方程式は（３，２）を通るから
ｙ－２＝ｘ－３
ｘ－ｙ＝１ ①
ｘ＋ｙ＋１＝０より
ｘ＋ｙ＝－１ ②
①－②より
－２ｙ＝２ ｙ＝－１
①に代入
ｘ＋１＝１ ｘ＝０
求める座標を（ａ，ｂ）とする
（３，２）と（ａ，ｂ）の中点が（０，－１）だから
（３＋ａ）/２＝０
ａ＝－３
（２＋ｂ）/２＝－１
ｂ＝－４
よって、
点Ｂ（－３，－４）
問題
次の３点を頂点とする三角形の面積Ｓを求めよ。
1）
Ｏ（０，０）、Ａ（１，８）、Ｂ（２，６）
2）
Ａ（－２，－１）、Ｂ（１，５）、Ｃ（３，２）
点（ｘ₁，ｘ₁）とａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０との距離
｜ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ｜
━━━━━━━━━━
√（ａ²＋ｂ²）
1）
Ｏ（０，０）、Ａ（１，８）、Ｂ（２，６）
底辺 ＯＡ
高さ 点ＢとＯＡとの距離
直線ＯＡの式
ｙ＝８ｘ
８ｘ－ｙ＝０
Ｂ（２，６）と直線ＯＡとの距離
｜16＋－6｜
━━━━━━
√（64＋1）
＝10/√65
三平方の定理より
ＯＡ²＝８²＋１²＝65
ＯＡ＝√65（ＯＡ＞０）
よって、求める面積は
（1/2）×（10/√65）×√65
＝５
別解
（０，０）と２点を頂点とする三角形の面積
Ｓ＝（1/2）｜ｘ₁ｙ₂－ｘ₂ｙ₁｜
Ａ（１，８） Ｂ（２，６）
（1/2）｜1・6－8・2｜
＝（1/2）・10
＝５
2）
Ａ（－２，－１）、Ｂ（１，５）、Ｃ（３，２）
底辺 ＡＢ
高さ 点ＣとＡＢとの距離
直線ＡＢの式
傾き （5+1）/（1＋2）＝２
ｙ＋１＝２（ｘ＋２）
ｙ＝２ｘ＋３
２ｘ－ｙ＋３＝０
Ｃ（３，２）とＡＢとの距離
｜６－２＋３｜
━━━━━━━
√（４＋１）
＝７/√５
２点間（ｘ₁，ｙ₁）（ｘ₂，ｙ₂）の距離
√｛（ｘ₂－ｘ₁）²＋（ｙ₂－ｙ₁）²｝
底辺ＡＢの長さ
Ａ（－２，－１） Ｂ（１，５）
√（１+２）²＋（５＋１）²
＝√（９＋36）
＝３√５
よって、求める面積は
（1/2）×３√５×（７/√５）
＝21/2
別解
Ａ（－２，－１）を原点に移動
👉右に２、上に１
Ｂ（１，５）を平行移動すると
（３，６）
Ｃ（３，２）を平行移動すると
（５，３）
Ｓ＝（1/2）｜ｘ₁ｙ₂－ｘ₂ｙ₁｜
（1/2）｜３・３－６・５｜
＝（1/2）・21
＝21/2
問題
３つの直線３ｘ－２ｙ＋４＝０、ｘ＋４ｙ＋６＝０、２ｘ＋ｙ－２＝０で囲まれた三角形の面積を求めよ。
３ｘ－２ｙ＋４＝０ ①
ｘ＋４ｙ＋６＝０ ②
２ｘ＋ｙ－２＝０ ③
①と②の交点
①×２＋②
６ｘ－４ｙ＋８＝０
＋） ｘ＋４ｙ＋６＝０
ｘ＝－２
４ｙ＋４＝０ ｙ＝－１
Ａ（－２，－１）
②と③の交点
②×２－③
２ｘ＋８ｙ＋12＝０
－）２ｘ＋ ｙ－２＝０
７ｙ＝14 ｙ＝－２
２ｘ－４＝０ ｘ＝２
Ｂ（２，－２）
①と③の交点
①＋③×２
３ｘ－２ｙ＋４＝０
＋）４ｘ＋２ｙ－４＝０
ｘ＝０
ｙ－２＝０ ｙ＝２
Ｃ（０，２）
Ｃ（０，２）を原点に移動する
👉下に２
Ａ（－２，－１）を平行移動すると
（－２，－３）
Ｂ（２，－２）を平行移動すると
（２，－４）
Ｓ＝（1/2）｜ｘ₁ｙ₂－ｘ₂ｙ₁｜
（1/2）｜（－2）・（－4）－（－3）・2｜
＝（1/2）・14
＝７
問題
座標平面上の２点Ａ（１，１）、Ｂ（２，３）について、点Ｐが放物線ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋11上を動くとき、△ＰＡＢの面積の最小値を求めよ。
ＡＢの長さは一定
底辺をＡＢとして、点ＰとＡＢの距離（高さ）が最小になるときを求める。
２点間（ｘ₁，ｙ₁）（ｘ₂，ｙ₂）の距離
√｛（ｘ₂－ｘ₁）²＋（ｙ₂－ｙ₁）²｝
ＡＢの長さ
Ａ（１，１） Ｂ（２，３）
√｛（２－１）²＋（３－１）²｝
＝√（１＋４）
＝√５
直線ＡＢの式
傾き （3－1）/（2－1）＝２
ｙ－１＝２（ｘ－１）
ｙ－１＝２ｘ－２
２ｘ－ｙ－１＝０
点Ｐを（ｔ，ｔ²＋４ｔ＋11）とする
点（ｘ₁，ｘ₁）とａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０との距離
｜ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ｜
━━━━━━━━━━
√（ａ²＋ｂ²）
｜2t－(t²+4t+11)－1｜
━━━━━━━━━━
√（4＋1）
｜－(ｔ²＋２ｔ＋12)｜
＝━━━━━━━━━━
√５
ｔ²＋２ｔ＋12
＝（ｔ＋１）²＋11≧０だから
（ｔ＋１）²＋11
＝━━━━━━━
√５
△ＰＡＢの面積は
１ （ｔ＋１）²＋11
━×√５━━━━━━━
２ √５
１ 11
＝━（ｔ＋１）²＋━
２ ２
放物線は下に凸
よって、
ｔ＝－１のとき最小値11/2をとる
最小値 11/2
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