相似高校入試対策6

たむかい学習教室
2025年12月31日
読了時間: 6分

相似高校入試対策6

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の「相似」の問題では、円を利用した出題があり、円と円錐、球に関する公式を押さえておく必要があります。また、面積比は相似比を２乗、体積比は相似比を３乗して、面積や体積を求めます。

円・おうぎ形・球の基本

問題

下の図のように、半径９cmの円Ｏの円周上に、２点Ａ、Ｂがある。おうぎ形ＯＡＢの弧の長さが円Ｏの円周の長さの2/9であるとき、おうぎ形ＯＡＢの面積を求めなさい。

円Ｏの2/9の面積になるから

π×９²×（2/9）＝18π cm²

👉面積と中心角は、弧の長さに比例

　弧の長さが円全体の2/9

　中心角は、360°×2/9＝80°

問題

下の図のように、長さ６cmの線分ＡＢを直径とする半円Ｏがある。この半円Ｏを、線分ＡＢを軸として１回転してできる立体の表面積を求めなさい。

直径６cmの球ができる

半径は３cmだから

球の表面積の公式より

４×π×３²＝36π cm²

👉球の表面積　４πｒ²

問題

下の図のように、球がきっちり入る１辺の長さが３cmの立方体の箱がある。この球の体積を求めなさい。

直径と１辺の長さは同じだから、

直径３cmの球である。

半径は3/2cmだから

球の体積の公式より

（4/3）×π×（3/2）³

＝（9/2）π cm³

👉球の体積　（4/3）πｒ³

円の相似

問題

下の図のように、半径３cmの円のなかに、同じ点を中心とする円をかき、２つの円で囲まれた部分をア、内側の円をイとする。アの面積がイの面積の２倍であるとき、内側の円の半径は何cmか求めなさい。

すべての円は「相似」

面積比から相似比を求める

アの面積：イの面積＝２：１より

ア＋イの面積：イの面積＝３：１

よって、

外側の円と内側の円の相似比は

√３：１

外側の円は半径３cm

内側の円の半径をｘcmとすると

√３：１＝３：ｘ

ｘ＝√３

よって、√３cm

👉相似比は、辺の長さの比

　円の場合、半径や周の長さ

円錐の相似

問題

下の図のように、円錐の形をした容器に水面と容器の上の面が平行になるように９cmの深さまで水を入れた。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）容器に入っている水の体積を求めなさい。

2）水面の高さを今より３cm低くするには、何cm³の水を取り出せばよいか求めなさい。

1）

水が入っている部分の立体をＰ、

容器全体をＱとする。

水面と容器の上面が平行だから

円錐ＰとＱは相似である。

Ｐの高さが９cm、Ｑが12cmだから

相似比は、９：12＝３：４

よって、体積比は、27：64

円錐Ｑの体積は、底面の半径が８cmだから

（1/3）×π×８²×12＝256π cm³

求めるＰの体積をｘcm³とすると

27：64＝ｘ：256π

27：１＝ｘ：４π

ｘ＝108π

よって、108π cm³

2）

水面の高さは、９－３＝６cm

ＰとＱの相似比は、

６：12＝１：２

よって、体積比は、１：８

高さ６cmの水の体積をｙcm²とすると

１：８＝ｙ：256π

１：１＝ｙ：32π

ｙ＝32π

よって、求める体積は

108π－32π＝76π cm³

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今年度塾生35名（2025年11月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

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