相似の証明

たむかい学習教室
4 日前
読了時間: 7分

相似の証明

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

11月も終盤、中３数学では相似の学習に入っています。相似な三角形は、対応する辺の比と角度が同じになります。証明問題では、あらかじめ２組の三角形の向きをそろえて書いておくことで、対応する辺や角がつかみやすくなります。

問題

下の図において、∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＣ、ＡＢ＝12cm、ＡＣ＝８cm、ＡＤ＝９cmである。あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＣと△ＤＡＣは、相似であることを証明しなさい。

2）△ＡＢＣと△ＤＡＣの相似比を求めなさい。

3）線分ＣＤの長さを求めなさい。

1）

△ＡＢＣと△ＤＡＣにおいて

仮定より

∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＣ　①

共通な角だから

∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＡ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ

2）

ＡＢとＤＡが対応する辺

ＡＢ＝12cm、ＤＡ＝９cmだから

４：３

3）

ＡＣ：ＤＣ＝４：３だから

８：ＤＣ＝４：３

２：ＤＣ＝１：３

ＤＣ＝６cm

相似な三角形が複数ある問題

問題

下の図のように、△ＡＢＣの辺ＢＣの延長上に、∠ＣＢＡ＝∠ＣＡＤとなる点Ｄをとる。∠ＡＤＣの二等分線が辺ＡＣ、ＡＢと交わる点をそれぞれＥ、Ｆとする。あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＤＦ∽△ＣＤＥであることを証明しなさい。

2）ＡＥ＝３cm、ＥＣ＝２cm、ＣＤ＝６cmのとき、線分ＢＣの長さを求めなさい。

1）

△ＡＤＦと△ＣＤＥにおいて

仮定より

∠ＡＤＦ＝∠ＣＤＥ　①

∠ＤＢＦ＝∠ＤＡＥ　②

△ＢＤＦの内角と外角の関係から

∠ＡＦＤ

＝∠ＤＢＦ＋∠ＢＤＦ

＝∠ＤＢＦ＋∠ＣＤＥ　③

△ＡＤＥの内角と外角の関係から

∠ＣＥＤ

＝∠ＤＡＥ＋∠ＡＤＥ

＝∠ＤＡＥ＋∠ＡＤＦ　④

①～④より

∠ＡＦＤ＝∠ＣＥＤ　⑤

①、⑤より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＤＦ∽△ＣＤＥ

2）ＡＥ＝３cm、ＥＣ＝２cm、ＣＤ＝６cmのとき、線分ＢＣの長さを求めなさい。

△ＤＡＣにおいて、

ＤＥは∠Ｄの二等分線だから

ＤＡ：ＤＣ＝ＡＥ：ＥＣ

よって、

ＤＡ：ＤＣ＝３：２

ＣＤ＝６cmだから

ＤＡ：６＝３：２

よって、ＤＡ＝９cm

△ＡＢＤと△ＣＡＤにおいて

∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＤ

∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＡ（共通）

よって、

△ＡＢＤ∽△ＣＡＤ

対応する辺の比は等しいから

ＡＤ：ＣＤ＝ＢＤ：ＡＤ

よって、

９：６＝（ＢＣ＋６）：９

３：２＝（ＢＣ＋６）：９

２ＢＣ＋12＝27

２ＢＣ＝15

ＢＣ＝15/2cm

錯角と平行線を利用する問題

問題

下の図の△ＡＢＣで、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとし、線分ＡＤの垂直二等分線と辺ＡＢ、ＡＣとの交点をそれぞれＥ、Ｆとする。ＥとＤ、ＦとＤをそれぞれ結ぶ。あとの問いに答えなさい。

1）∠ＥＡＤと大きさが等しい角は∠ＦＡＤのほかに２つある。この２つの角を答えなさい。

2）△ＥＢＤ∽△ＦＤＣであることを証明しなさい。

3）ＥＢ＝２cm、ＥＤ＝４cmのとき、ＦＣの長さを求めなさい。

1）

ＥＦはＡＤの垂直二等分線だから

ＥＡ＝ＥＤ、ＦＡ＝ＦＤ

△ＥＡＤと△ＦＡＤは二等辺三角形だから

∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ

∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ

よって、

∠ＥＤＡ、∠ＦＤＡ

2）

△ＥＢＤと△ＦＤＣにおいて

1）より

∠ＢＡＤ＝∠ＦＤＡ

錯角が等しいから

ＡＢ//ＦＤ

同位角は等しいから

∠ＥＢＤ＝∠ＦＤＣ　①

∠ＥＤＡ＝∠ＣＡＤ

錯角が等しいから

ＥＤ//ＡＣ

同位角は等しいから

∠ＥＤＢ＝∠ＦＣＤ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＥＢＤ∽△ＦＤＣ

3）ＥＢ＝２cm、ＥＤ＝４cmのとき、ＦＣの長さを求めなさい。

△ＥＢＤ∽△ＦＤＣより

ＥＢ：ＦＤ＝ＥＤ：ＦＣ

ＦＤ＝ＥＤ＝４cmだから

２：４＝４：ＦＣ

１：２＝４：ＦＣ

ＦＣ＝８cm

平行線と相似

問題

下の図は、ＢＣ＝４cm、ＡＣ＝８cm、∠ＡＣＢ＝90°の直角三角形ＡＢＣである。辺ＡＢ上に点Ｄを、辺ＡＣ上に点Ｅを、ＡＥ＝６cm、ＢＣ//ＤＥとなるようにとる。

1）線分ＤＥの長さを求めなさい。

2）台形ＢＣＥＤを、辺ＣＥを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

1）

△ＡＢＣと△ＡＤＥにおいて

ＢＣ//ＤＥより

同位角は等しいから

∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ

∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ

２組の角が等しいから

△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ

よって、

ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥ

８：６＝４：ＤＥ

４：３＝４：ＤＥ

１：３＝１：ＤＥ

ＤＥ＝３cm

2）

△ＡＢＣによる円錐をＰ、

△ＡＤＥによる円錐をＱ、

台形ＢＣＥＤによる立体をＲとする。

ＰとＱの相似比は４：３だから

体積比は、64：27

よって、

円錐Ｐと立体Ｒの体積比は、64：37

円錐Ｐの体積は、

（1/3）×π×４²×８

＝（128/3）π cm³

立体Ｒの体積は、Ｐの37/64倍だから

（128/3）π ×（37/64）

＝（74/3）π cm³

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