確率 高校入試対策①
中学数学では、確率の求め方に関する学習があり、高校入試にも出題される内容になります。樹形図や表に書き出すことが確実なやり方ですが、すべての場合の数を求める場合には、かけ算（積の法則）を使う方法もあります。
問題
１から５までの整数が１つずつ書かれた５枚のカードがある。この５枚のカードから１枚取り出したあと、カードをもどし、もう一度よくきって１枚取り出す。１回目と２回目に取り出したカードに書かれた数の積が５の倍数になる確率を求めなさい。
１回目は５通り
２回目も５通り
全部で５×５＝25通り
５の倍数になるのは、×５のときだから
１×５、２×５、３×５、４×５、５×１～５で、計９通り
よって、
求める確率は、９/25
問題
100円硬貨、50円硬貨、10円硬貨が１枚ずつある。この３枚の硬貨を同時に投げるとき、表が出た硬貨の金額の合計が100円以下になる確率を求めなさい。
100円 表裏の２通り
50円 同じく２通り
10円 同じく２通り
全部で２³＝８通り
あてはまる組み合わせは
100＋０＋０
０＋50＋10
０＋50＋０
０＋０＋10
０＋０＋０
計５通りだから
求める確率は、５/８
問題
赤玉２個、白玉１個が入っている箱Ａと、赤玉２個，白玉２個，青玉１個が入っている箱Ｂがある。箱Ａと箱Ｂからそれぞれ１個ずつ玉を取り出すときの確率を考える。
1）起こりうる場合は全部で何通りありますか。
2）２個とも異なる色の玉である確率を求めなさい。
1）
箱Ａ３通り、箱Ｂ５通りだから
３×５＝15通り
2）
Ａの赤玉を赤１、赤２
Ｂの赤玉を赤３、赤４
Ａの白玉を白５
Ｂの白玉を白６、白７とする
あてはまる組み合わせは
赤１と白６、赤１と白７、赤１と青
赤２と白６、赤２と白７、赤２と青
白５と赤３、白５と赤４、白５と青
計９通りだから
求める確率は、９/15＝３/５
※別解
２個とも同色を求めて全体からひく
赤１と赤３、赤１と赤４
赤２と赤３、赤２と赤４
白５と白６、白５と白７
計６通りだから
異なるのは15－６＝９通り
問題
運動会のリレーで、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人の走る順番をくじびきで決める。このとき、Ｂが２番目で、Ｃが３番目となる確率を求めなさい。
ＡとＤが１番目になるとき１通りずつで、計２通り
ＡーＢ－ＣーＤ
Ｄ－Ｂ－Ｃ－Ａ
Ａが１番目のとき、２番目以降は
Ｂ－Ｃ－Ｄ
Ｂ－Ｄ－Ｃ
Ｃ－Ｂ－Ｄ
Ｃ－ＤーＢ
Ｄ－Ｂ－Ｃ
Ｄ－Ｃ－Ｂ 計６通り
他のＢ、Ｃ、Ｄが１番目になるときも同じ組み合わせの数になるから、全体で24通り
よって、求める確率は
2/24＝1/12
※
異なる４個をばらばらに並べる場合
４から１まで、１つずつ下げた数の積になる
４×３×２×１＝24通り
他の個数でも同じ計算ができる（ｎ！ 階乗）
問題
下の図のように、正方形の頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。●は正方形の周上を動くコマで、はじめにＡの位置にある。さいころを投げ、偶数（ぐうすう）の目が出たときは右回りに、奇数（きすう）の目が出たときは左回りに出た目の数だけ、コマは頂点を順に１つずつ移動する。さいころを２回投げるとき、コマが頂点Ｃの位置に移動する確率を求めなさい。
頂点Ｃに来るのは
２つの和が２、６、10のときで
奇数＋奇数＝偶数
偶数＋偶数＝偶数の場合になる
右回りでも左回りでも和が２、６、10のときＣに来る
和が２になるとき
（１，１）
和が６になるとき
（１，５）（２，４）（３，３）（４，２）（５，１）
和が10になるとき
（４，６）（５，５）（６，４）
あてはまるのは計９通りだから
求める確率は、9/36＝1/4
問題
下の図のように、座標平面上に点Ａ（３，４）、Ｂ（５，０）がある。大、小２つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとし、点Ｐ（ａ，ｂ）を座標平面上にかく。
1）点Ｐが△ＯＡＢの内部にある確率を求めなさい。ただし、△ＯＡＢの辺上の点は内部にふくめないものとする。
2）点Ｐが直線ＡＢ上にない確率を求めなさい。
1）
直線ＯＡは、ｙ＝（4/3）ｘ
ｘ＝１のとき、ｙ＝4/3＝1.3...だから
（１，１）をふくむ
ｘ＝２のとき、ｙ＝8/3＝2.6...だから
（２，１）（２，２）をふくむ
ｘ＝３のとき、ｙ＝４だから
（３，１）（３，２）（３，３）を含む
直線ＡＢの式を求める
（３，４）と（５，０）を通る直線
ｘの増加量 ５－３＝２
ｙの増加量 ０－４＝－４
傾き －４/２＝－２
ｙ＝－２ｘ＋ｂとする
（５，０）を通るから
０＝－10＋ｂ ｂ＝10
よって、ｙ＝－２ｘ＋10
ｘ＝４のとき、ｙ＝２だから
（４，１）をふくむ
計７通りとなるから
求める確率は、７/36
2）
直線ＡＢ上にある点を求める
ｙ＝－２ｘ＋10より
ｘ＝１のとき、ｙ＝８（不適）
ｘ＝２のとき、ｙ＝６
ｘ＝３のとき、ｙ＝４
ｘ＝４のとき、ｙ＝２
ｘ＝５のとき、ｙ＝０（不適）
計３点あるから、直線上にないのは
36－３＝33点
よって、求める確率は
33/36＝11/12
2025年・青森県立高校入試
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2026.10.14 確率 高校入試対策①