空間図形体積と表面積②

たむかい学習教室
2 日前
読了時間: 7分

空間図形体積と表面積②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

空間図形には柱や錐があり、錐の体積は柱の1/3、表面積は底面積と側面積の和になります。また、球の体積は（4/3）πr³、表面積は４πr²で求めます。

問題

次の立体の表面積を求めなさい。

1）

底面は台形

１つ分の面積は、

（1/2）×（３＋６）×４＝18cm²

２つ分の面積は、18×２＝36cm²

側面４つはそれぞれ長方形

縦２cm、横６＋５＋３＋４＝18cmだから

２×18＝36cm²

よって、表面積は、

36＋36＝72cm²

2）

底面は円

１つ分の面積は、半径が５cmだから

π×５²＝25π cm²

２つ分の面積は、25π×２＝50π cm²

側面は長方形

横は円周の長さと同じだから

２π×５＝10π cm

側面積は、５×10π＝50π cm²

よって、表面積は、

50π＋50π＝100π cm²

問題

下の円錐について、あとの問いに答えなさい。

1）側面となるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

2）側面積を求めなさい。

3）表面積を求めなさい。

1）

おうぎ形の中心角は、

360°×（底面の半径／母線の長さ）で求められる

360°×（6/18）＝120°

※別解

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周と同じだから

２π×６＝12π cm

半径18cmの円周は、

２π×18＝36π cm

おうぎ形は半径18cmの円の 12π/36π＝1/3 にあたるから

360°×（1/3）＝120°

2）

おうぎ形の面積は、

（1/2）×弧の長さ×半径で求められる

（1/2）×12π×18＝108π cm²

※別解

半径18cmの円の1/3にあたるから

π×18²×（1/3）＝108π cm²

3）

底面積は、π×６²＝36π cm²

側面積（おうぎ形の面積）との和だから

36π＋108π＝144π cm²

問題

半径６cmの球について、あとの問いに答えなさい。

1）表面積を求めなさい。

2）体積を求めなさい。

1）

球の表面積の公式より

４π×６²＝144π cm²

2）

球の体積の公式より

（4/3）π×６³＝288π cm³

問題

半径２cmの半球について、あとの問いに答えなさい。

1）表面積を求めなさい。

2）体積を求めなさい。

1）

球の表面は

（1/2）×４π×２²＝８π cm²

円の面積は

π×２²＝４π cm²

よって、

８π＋４π＝12π cm²

2）

球の体積の1/2だから

（1/2）×（4/3）π×２³

＝（16/3）π cm³

問題

下の図は、半径７cmの半球を半分にしたものである。あとの問いに答えなさい。

1）この立体は、半径が７cmの球を何分の一にしたものですか。

2）表面積を求めなさい。

3）体積を求めなさい。

1）

半球を半分にしたから

（1/2）×（1/2）＝1/4

2）

球の表面の1/4の面積と

半径７cmの円の面積の和になる

（1/4）×４π×７²＋π×７²

＝49π＋49π

＝98π cm²

3）

球の体積の1/4だから

（1/4）×（4/3）π×７³

＝（343/3）π cm³

問題

下の図は、半径が６cmの半球の上に、半径が３cmの半球を重ねたものである。あとの問いに答えなさい。

1）表面積を求めなさい。

2）体積を求めなさい。

1）

半径６cmの半球の表面は

（1/2）×４π×６²＝72π cm²

半径３cmの半球の表面は

（1/2）×４π×３²＝18π cm²

下の半球の円の一部は

π×６²－π×３²＝27π cm²

よって、

72π＋18π＋27π＝117π cm²

2）

半径６cmの半球の体積は

（1/2）×（4/3）π×６³

＝144π cm³

半径３cmの半球の体積は

（1/2）×（4/3）π×３³

＝18π cm³

よって、

144π＋18π＝162π cm³

問題

下の図は、１辺が５cmの正方形と、半径が５cmで、中心角が90°のおうぎ形を組み合わせた図形である。この図形を、直線ℓを軸として１回転させてできる立体について、あとの問いに答えなさい。

1）表面積を求めなさい。

2）体積を求めなさい。

1）

半球と円柱を合わせた立体になる

半球の表面積

球の表面のみだから

（1/2）×４π×５²＝50π cm²

円の表面積

側面の長方形と底面の円１つ分

長方形の横は底面の円周と同じだから

２π×５＝10π cm

側面積は、５×10π＝50π cm²

底面積は、π×５²＝25π cm²

よって、

50π＋50π＋25π＝125π cm²

2）

半球の体積

（1/2）×（4/3）×５³

＝（250/3）π cm³

円柱の体積

π×５²×５＝125π cm³

よって、

（250/3）π＋125π

＝（625/3）π cm³

問題

下の図のような、直径が18cmの球と、底面の円の半径が12cmの円錐がある。球の体積が、円錐の体積のちょうど２倍になるときの円錐の高さを求めなさい。

球の体積は、半径９cmだから

（4/3）π×９³＝972π cm³

円錐の高さをｘcmとする

円錐の体積の２倍分は、

（1/3）×π×12²×ｘ×２＝96πｘcm³

よって、

96πｘ＝972π

ｘ＝81/8

求める高さは、81/8cm

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