空間図形の対角線と高さ

たむかい学習教室
3月10日
読了時間: 8分

空間図形の対角線と高さ

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中学数学の空間図形では三平方の定理、または相似を応用する出題があります。空間内の対角線の長さや高さを求めるときには、直角三角形や相似な三角形を見つけていきます。

問題

下の図のような立体ＡＢＣ－ＤＥＦがあり、四角形ＡＢＥＤは、ＢＡ＝５cm、ＢＥ＝10cmの長方形であり、△ＡＢＣと△ＤＥＦは正三角形である。また、辺ＢＥと辺ＣＦは平行であり、ＣＦ＝５cmである。点Ｃから辺ＢＥにひいた垂線と辺ＢＥとの交点をＰとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）線分ＣＰの長さを求めなさい。

2）５点Ｃ、Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｄを結んでできる四角錐の体積を求めなさい。

1）

ＢＥ//ＣＦより、四角形ＣＢＥＦは台形

ＦからＢＥへの垂線をＦＱとすると

ＰＱ＝ＣＦ＝５cm

ＰＢ＝ＱＥだから（△CBP≡△FEQ）

ＰＢ＝（10－５）÷２＝5/2cm

△ＣＢＰで三平方の定理より

ＣＰ²＝ＣＢ²－ＰＢ²

ＣＢ＝ＢＡ＝５cmだから

ＣＰ²＝５²－（5/2）²＝75/4

ＣＰ＞より

ＣＰ＝５√３/２cm

2）

線分ＢＡに平行なＰＲをひく

ＣからＰＲへの垂線をＣＳとする

👉ＣＳは四角錐ＣＡＢＥＤの高さ

△ＣＰＲはＣＰ＝ＣＲの二等辺三角形だから

ＰＳ＝ＳＲ、

ＰＲ＝ＢＡ＝５cmだから

ＰＳ＝５×（1/2）＝5/2cm

△ＣＰＳで三平方の定理より

ＣＳ²＝ＣＰ²－ＰＳ²

　　＝75/4－（5/2）²＝50/4

ＣＳ＝５√２/２cm（ＣＳ＞０）

錐の底面積は、

ＡＢ×ＢＥ＝５×10＝50cm²

よって、求める体積は、

（1/3）×50×（5√2/2）

＝125√2/3 cm³

問題

下の図のように、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあり、ＡＢ＝ＡＤ＝４cm、ＡＥ＝２√３cmである。また、２辺ＥＦ、ＥＨの中点をそれぞれＩ、Ｊとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）線分ＩＪの長さを求めなさい。

2）四角形ＢＤＪＩの面積を求めなさい。

3）２点Ａ、Ｇを通る直線と四角形ＢＤＪＩとの交点をＫとするとき、四角錐ＫＥＦＧＨの体積を求めなさい。

1）

△ＩＥＪで

∠ＩＥＪ＝90°、ＩＥ＝ＪＥだから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＩＪ：ＩＥ＝√２：１

ＥＦ＝ＡＢ＝４cmだから

ＩＥ＝４÷２＝２cm

よって、

ＩＪ：２＝√２：１より

ＩＪ＝２√２cm

※別解

△ＥＦＨでＩとＪは、ＥＦとＥＨの中点だから

中点連結定理より

ＩＪ＝（1/2）ＦＨ

ＦＨは正方形の対角線だから４√２cm

よって、

ＩＪ＝（1/2）×４√２＝２√２cm

2）

ＢＤ//ＩＪより、四角形ＢＤＪＩは台形

Ｉ、ＪからＢＤへの垂線をＩＭ、ＪＬとする

ＭＬ＝ＩＪ＝２√２cm、ＢＭ＝ＤＬだから

ＢＭ＝２√２÷２＝√２cm

△ＢＩＦで∠ＢＦＩ＝90°だから

三平方の定理より

ＢＩ²＝ＢＦ²＋ＦＩ²

ＢＦ＝ＡＥ＝２√３cm、

ＦＩ＝（1/2）ＥＦ＝２cmだから

ＢＩ²＝（2√3）²＋２²＝16

ＢＩ＝４cm（ＢＩ＞０）

△ＩＢＭで三平方の定理より

ＩＭ²＝ＩＢ²－ＢＭ²

　　＝16－（√2）²＝14

ＩＭ＝√14cm（ＩＭ＞０）

また、1）よりＢＤ＝ＦＨ＝４√２cm

よって、求める面積は、

（1/2）×（ＢＤ＋ＩＪ）×ＩＭ

＝（1/2）×（4√2＋2√2）×√14

＝６√７cm²

3）

線分ＡＣの中点をＮ、

ＩＪとＥＧとの交点をＯとする

ＡＮ＝２ＥＯだから

ＡＣ＝ＥＧ＝４ＥＯ

ＯＧ＝４ＥＯ－ＥＯ＝３ＥＯだから

点ＫからＡＮへの垂線をＫＰ、

点ＫからＯＧへの垂線をＫＱとすると

平行線の比の性質より

ＫＰ：ＫＱ＝２：３

ＰＱ＝ＡＥ＝２√３cmだから

ＫＱ＝２√３×（3/5）＝6√3/5 cm

👉ＫＱが錐の高さ

底面ＥＦＧＨの面積は、４²＝16cm²

よって、求める体積は、

（1/3）×16×（6√3/5）

＝32√3/5 cm³

問題

図１、図２のように、ＡＢ＝３cm、ＡＤ＝１cm、ＡＥ＝４cmの直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。辺ＤＨ上、辺ＢＦ上にそれぞれＤＰ＝ＱＦ＝１cmとなる点Ｐ、Ｑをとる。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）図１において、辺ＡＢと平行な辺をすべて答えなさい。

2）図２のように、４点Ｃ、Ｐ、Ｅ、Ｑを通る平面でこの直方体を切断したとき、切り口の四角形ＣＰＥＱの面積を求めなさい。

3）図３は、2）で切断してできた２つの立体のうち、頂点Ｇをふくむ方を、さらに４点Ｐ、Ｈ、Ｆ、Ｑを通る平面で切断してできた立体である。このとき、立体ＣＰＱ－ＧＨＦの体積を求めなさい。

1）

辺ＤＣ、辺ＥＦ、辺ＨＧ

2）

ＡＢ＝３cmより、ＣＤ＝ＥＦ＝３cm

ＡＥ＝４cmより、ＤＨ＝ＢＦ＝４cm

ＤＰ＝ＱＦ＝１cmより

ＰＨ＝ＱＢ＝４－１＝３cm

よって、

ＣＤ＝ＥＦ＝ＰＨ＝ＱＢ　①

ＡＤ＝１cmより、ＨＥ＝ＣＢ＝１cm

よって、

ＤＰ＝ＱＦ＝ＨＥ＝ＣＢ　②

∠ＣＤＰ＝∠ＥＦＱ＝∠ＰＨＥ＝∠ＱＢＣ＝90°　③

①、②、③より

△ＣＰＤ≡△ＥＱＦ≡△ＰＥＨ≡△ＱＣＢ

よって、

ＣＰ＝ＥＱ＝ＰＥ＝ＱＣ

四角形ＣＰＥＱは４辺がそれぞれ等しいから、ひし形

👉対角線ＣＥとＰＱの長さを求める

△ＧＥＦで∠ＧＦＥ＝90°だから

三平方の定理より

ＧＥ²＝ＧＦ²＋ＦＥ²

ＧＦ＝ＡＤ＝１cmだから

ＧＥ²＝１²＋３²＝10

ＧＥ＝√10cm（ＧＥ＞０）

△ＣＥＧで∠ＣＧＥ＝90°だから

三平方の定理より

ＣＥ²＝ＣＧ²＋ＧＥ²

ＣＧ＝ＡＥ＝４cmだから

ＣＥ²＝４²＋10＝26

ＣＥ＝√26cm（ＣＥ＞０）

点ＱからのＧＥに平行な線分とＤＨとの交点をＲとする

△ＰＱＲで∠ＰＲＱ＝90°だから

三平方の定理より

ＰＱ²＝ＰＲ²＋ＱＲ²

ＰＲ＝ＤＨ－ＤＰ－ＲＨ＝２cm、

ＱＲ＝ＧＥ＝√10cmだから

ＰＱ²＝２²＋（√10）²＝14

ＰＱ＝√14cm（ＰＱ＞０）

よって、求める面積は

（1/2）×ＣＥ×ＰＱ

＝（1/2）×√26×√14

＝（1/2）×√2×√13×√2×√7

＝√91cm²

3）

四角錐ＱＣＧＨＰ＋三角錐ＱＦＧＨにより求める

四角錐ＱＣＧＨＰにおいて

ＣＧ//ＰＨより、底面ＣＧＨＰは台形

ＧＨ＝ＡＢ＝３cm

底面積は、

（1/2）×（ＣＧ＋ＰＨ）×ＧＨ

＝（1/2）×（４＋３）×３＝21/2cm²

高さは、点ＱからＣＧへの垂線でＦＧの長さと同じ１cm

よって、四角錐ＱＣＧＨＰの体積は、

（1/3）×（21/2）×1＝7/2cm³

三角錐ＱＦＧＨにおいて

∠ＱＦＨ＝90°だから

底面は△ＦＧＨ、高さはＱＦになる。

△ＦＧＨの面積は、

（1/2）×ＧＨ×ＦＧ

＝（1/2）×３×１＝3/2cm

よって、三角錐ＱＦＧＨの体積は、

（1/3）×（3/2）×1＝1/2cm³

よって、求める体積は、

（7/2）＋（1/2）＝４cm³

問題

下の図１のように、頂点がＡ、高さが12cmの円錐の形をした容器がある。この容器の中に半径ｒcmの小さい球を入れると、容器の側面に接し、Ａから小さい球の最下部までの長さが３cmのところで止まった。次に、半径２ｒcmの大きい球を容器に入れると、小さい球と容器の側面に接して止まり、大きい球の最上部は底面の中心Ｂにも接した。また、図２は、図１を正面から見た図である。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、円周率はπとし、容器の厚さは考えないものとする。

1）ｒの値を求めなさい。

2）容器の底面の半径を求めなさい。

3）大きい球が容器の側面に接している部分の長さを求めなさい。

1）

小球の最下部をＰとする

ＡＰ＝３cmだから

ＰＢ＝12－３＝９cm

ＰＢの長さは２つの球の直径の和だから

（ｒ×２）＋（２ｒ×２）＝６ｒcm

よって、

６ｒ＝９より

ｒ＝3/2cm

2）

図２の大きい円の中心をＯとし、

二等辺三角形の等しい辺の１つをＡＣとする。

また、ＡＣと円Ｏとの接点をＱとする。

円の接線の性質より

ＯＱ⊥ＡＣだから、∠ＯＱＡ＝90°

△ＯＡＱで三平方の定理より

ＡＱ²＝ＯＡ²－ＯＱ²

ＯＡ＝３＋ｒ＋ｒ＋２ｒ＝９cm、

ＯＱ＝２ｒ＝３cmだから

ＡＱ²＝９²－３²＝72

ＡＱ＝６√２cm（ＡＱ＞０）

△ＯＡＱと△ＣＡＢにおいて

Ｂは二等辺三角形の底辺の中点だから

∠ＣＢＡ＝90°

よって、∠ＯＱＡ＝∠ＣＢＡ＝90°

また、∠ＯＡＱ＝∠ＣＡＢ（共通）

２組の角が等しいから

△ＯＡＱ∽△ＣＡＢ

よって、

ＯＱ：ＣＢ＝ＡＱ：ＡＢ

３：ＣＢ＝６√２：12

１：ＣＢ＝２√２：12

１：ＣＢ＝√２：６

ＣＢ＝３√２cm

ＣＢの長さは円錐の底面の半径と同じだから

３√２cm

3）

ＱからＡＢへの垂線をＱＨとする

点Ｈを中心とする半径ＱＨの円周を求める

△ＯＱＨと△ＯＡＱにおいて

∠ＯＨＱ＝∠ＯＱＡ＝90°

∠ＱＯＨ＝∠ＡＯＱ（共通）

２組の角が等しいから

△ＯＱＨ∽△ＯＡＱ

よって、

ＱＨ：ＡＱ＝ＯＱ：ＯＡ

ＱＨ：６√２＝３：９

ＱＨ：６√２＝１：３

ＱＨ：２√２＝１：１

ＱＨ＝２√２cm

よって、求める円周は、

２π×２√２＝４√２π cm

👉空間図形の対角線

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