立体の体積 高校入試対策②
高校入試では空間図形の出題があります。立体の体積を求める問題では、公式を押さえておくことが必要になりますが、立体や展開図の作図など手を動かしながら勉強していくことが基本になります。
立体の切断
問題
下の図は、∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＣ＝90°、ＯＡ＝ＡＢ＝８cm、ＣＡ＝９cmの三角錐ＯＡＢＣである。点Ｄ、Ｅはそれぞれ辺ＯＡ、ＡＢの中点である。あとの問いに答えなさい。
1）△ＡＤＥの面積を求めなさい。
2）三角錐ＯＡＢＣの体積を求めなさい。
3）三角錐ＯＡＢＣを、３点Ｃ、Ｄ、Ｅを通る平面で２つの立体に分けたときの、点Ｏをふくむ立体の体積を求めなさい。
1）
∠ＯＡＢ＝90°だから
△ＡＤＥ＝（1/2）×ＡＤ×ＡＥ
ＡＤ＝ＡＥ＝４cmだから
（1/2）×４×４＝８cm²
2）
錐の底面を△ＯＡＢとする
△ＯＡＢ＝（1/2）×ＯＡ×ＯＢ
＝（1/2）×８×８＝32cm²
∠ＢＡＣ＝90°より、底面と垂直な辺はＣＡだから
錐の高さはＣＡ＝９cm
よって、求める体積は
（1/3）×32×９＝96cm³
3）
点Ｏをふくまない立体は三角錐ＣＡＤＥ
三角錐ＯＡＢＣの体積から三角錐ＣＡＤＥの体積をひいて求める
三角錐ＣＡＤＥの底面を△ＡＤＥとする
1）より
△ＡＤＥ＝８cm²
∠ＢＡＣ＝90°より、底面と垂直な辺はＣＡだから
錐の高さはＣＡ＝９cm
三角錐ＣＡＤＥの体積は
（1/3）×８×９＝24cm³
よって、求める体積は
96－24＝72cm³
問題
下の図は、三角柱であり、∠ＡＣＢ＝90°、ＡＢ＝ＢＥ＝10cm、ＢＣ＝８cm、ＡＣ＝６cmとする。辺ＢＣ、ＢＥの中点をそれぞれＰ、Ｑとする。あとの問いに答えなさい。
1）この三角柱の表面積を求めなさい。
2）四角錐ＰＡＣＦＤの体積を求めなさい。
3）この三角柱を３点Ａ、Ｐ、Ｑを通る平面で２つの立体に分ける。このとき、点Ｃをふくむ立体の体積を求めなさい。
1）
側面の長方形はそれぞれ縦の長さが10cm
よって、側面積は
（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）×10
＝（10＋８＋６）×10
＝240cm²
底面の直角三角形１つ分の面積は
（1/2）×ＢＣ×ＡＣ
＝（1/2）×８×６
＝24cm²
これが２つ分だから、48cm²
よって、求める表面積は
240＋48＝288cm²
2）
頂点をＰとし、底面を長方形ＡＣＦＤとする
高さは底面と垂直の辺ＰＣ
長方形ＡＣＦＤの面積は、10×６＝60cm²
辺ＰＣはＢＣの半分だから４cm
よって、求める体積は
（1/3）×60×４＝80cm³
3）
三角柱の体積から点Ｂをふくむ立体の体積をひいて求める
三角柱の体積は、24×10＝240cm³
点Ｂをふくむ立体は三角錐
頂点をＡとし、底面を△ＢＰＱとする
高さは底面と垂直の辺ＡＣ
👉高さがＡＢでないことに注意。点Ａから△ＢＰＱと同じ平面上に下ろした垂線、すなわりＡＣが高さ。
△ＢＰＱの面積は
∠ＰＢＱ＝90°、ＰＢ＝４cm、ＱＢ＝５cmだから
（1/2）×ＰＢ×ＱＢ
＝（1/2）×４×５＝10cm²
高さＡＣ＝６cmだから
この三角錐の体積は
（1/3）×10×６＝20cm³
よって、求める体積は
240－20＝220cm³
表面積の利用
問題
図１は、底面の円の半径が12cm、高さが９cm、母線の長さが15cmの円錐である。あとの問いに答えなさい。
1）この円錐の体積を求めなさい。
2）図２は、底面の円の半径が９cmの円柱である。図１の円錐の表面積が、図２の円柱の表面積より２π cm²大きいとき、図２の円柱の体積を求めなさい。
1）
円錐の体積の公式より
（1/3）×π×12²×９
＝144π×３
＝432π cm³
2）
円錐の表面積
底面積 π×12²＝144π cm²
円錐の側面はおうぎ形
（1/2）×弧の長さ×母線の長さ
弧の長さは底面の円周だから
２π×12＝24π cm
円錐の側面積
（1/2）×24π×15＝180π cm²
よって、円柱の表面積は
144π＋180π－２π＝322π cm² ①
円柱の底面積（上下２つ）
π×９²×２＝162π cm²
円柱の高さをｘcmとする
円柱の側面は長方形
縦は柱の高さと同じｘcm
横は底面の円周だから
２π×９＝18π cm
円柱の側面積
ｘ×18π＝18πｘ cm²
よって、円柱の表面積は
162π＋18πｘ cm² ②
①、②より
162π＋18πｘ＝322π
18πｘ＝160π
ｘ＝80/9
したがって、円柱の体積は
π×９²×（80/9）
＝９π×80
＝720π cm³
2026年・青森県立高校入試
2025年・青森県立高校入試
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