立体の体積 高校入試対策③
高校入試では空間図形の出題があります。立体の体積を求める問題では、公式を押さえておくことが必要になりますが、立体や展開図の作図など手を動かしながら勉強していくことが基本になります。
問題
下の図は、ＡＢ＝５cm、ＢＣ＝３cmの直角三角形である。辺ＡＢを軸として１回転させてできる円錐Ｐと、辺ＢＣを軸として１回転させてできる円錐Ｑの体積を比較すると、円錐Ｐの体積は、円錐Ｑの体積の何倍になりますか。
円錐Ｐの底面の半径はＢＣ＝３cm
高さはＡＢ＝５cm
円錐Ｐの体積は
（1/3）×π×３²×５
＝15π cm³
円錐Ｑの底面の半径はＡＢ＝５cm
高さはＢＣ＝３cm
円錐Ｑの体積は
（1/3）×π×５²×３
＝25π cm³
よって、
15π÷25π＝3/5倍
問題
下の図のように、底面の半径がｒcm、高さがｈcmの円柱Ｐの容器と、底面の半径が２ｒcm、高さが（1/4）ｈcmの円柱Ｑの容器がある。円柱Ｐと円柱Ｑの容積について、あとの㋐～㋒から正しいものを１つ選びなさい。
㋐ 円柱Ｐの容積のほうが大きい
㋑ 円柱Ｑの容積のほうが大きい
㋒ 円柱Ｐと円柱Ｑの容積は等しい
円柱Ｐの容積
π×ｒ²×ｈ
＝πｒ²ｈ cm³
円柱Ｑの容積
π×（２ｒ）²×（1/4）ｈ
＝πｒ²ｈ cm³
よって、㋒
問題
下の図は、ＡＢ＝６cm、ＡＤ＝10cm、ＢＦ＝４cmの直方体であり、辺ＢＣの中点をＭとする。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）この直方体の表面積を求めなさい。
2）三角錐ＭＣＧＤの体積を求めなさい。
3）辺ＢＦ上に点Ｐを、四角錐ＰＥＦＧＨの体積と三角錐ＭＣＧＤの体積が等しくなるようにとるとき、線分ＰＦの長さを求めなさい。
1）
底面積（２つ分）
６×10×２＝120cm²
側面を展開すると
縦 ４cm
横 ６×２＋10×２＝32cm
側面積
４×32＝128cm²
よって、
120＋128＝248cm²
2）
△ＧＭＣと辺ＤＣは垂直の関係
底面を△ＧＭＣ、高さをＤＣとする
△ＧＭＣにおいて
∠ＧＣＭ＝90°
ＭＣ＝（1/2）ＢＣ＝（1/2）ＡＤ＝５cm
ＣＧ＝ＢＦ＝４cm
△ＧＭＣ＝（1/2）×ＭＣ×ＣＧ
＝（1/2）×５×４＝10cm²
ＤＣ＝ＡＢ＝６cm
よって、求める体積は
（1/3）×10×６＝20cm³
3）
長方形ＥＦＧＨと辺ＰＦは垂直の関係
底面を長方形ＥＦＧＨ、高さをＰＦ＝ｘcmとする
長方形ＥＦＧＨの面積は
６×10＝60cm²
四角錐の体積は20cm³だから
（1/3）×60×ｘ＝20
20ｘ＝20 ｘ＝１
よって、１cm
問題
図１は、１辺の長さが４cmの立方体で、点Ｐ、Ｑはそれぞれ辺ＡＢ、ＡＤの中点である。図２は、図１の立方体を３点Ｐ、Ｑ、Ｅをふくむ平面で切り分けたときの、点Ｃをふくむ立体である。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）図２の立体において、面ＢＣＧＦと垂直な辺をすべて答えなさい。
2）図２の立体の体積を求めなさい。
3）図１の立方体を３点Ｐ、Ｑ、Ｅをふくむ平面で切り分けたときの、点Ａをふくむ立体の表面積は16cm²である。このとき、図２の立体の表面積を求めなさい。
1）
辺ＢＰ、辺ＣＤ、辺ＦＥ、辺ＧＨ
2）
三角錐ＱＡＥＰの底面を△ＡＥＰ、高さをＱＡとする
△ＡＥＰで∠ＥＡＰ＝90°
ＡＰ＝（1/2）ＡＢ＝２cm
ＡＥ＝４cmだから
△ＡＥＰ＝（1/2）×２×４＝４cm²
ＱＡ＝（1/2）ＤＡ＝２cmだから
三角錐ＱＡＥＰの体積は
（1/3）×４×２＝8/3 cm³
よって、求める体積は
４³－（8/3）
＝（192/3）－（8/3）
＝184/3 cm³
3）
△ＥＰＱの面積
錐の表面積16cm²から頂点をＡとする三角錐ＡＥＰＱの側面積をひいて求める
側面△ＡＥＰ
＝（1/2）×ＡＥ×ＡＰ
＝（1/2）×４×２＝４cm²
側面△ＡＥＱは△ＡＥＰと合同だから
△ＡＥＱ＝４cm²
側面△ＡＰＱ
＝（1/2）×ＡＰ×ＡＱ
＝（1/2）×２×２＝２cm²
錐の側面積は
４＋４＋２＝10cm²
よって、△ＥＰＱの面積は
16－10＝６cm²
図２の立体の表面積
立方体の表面積から錐の側面積をひいて、△ＥＰＱの面積をたして求める
４²×６－10＋６
＝96－４
＝92cm²
2026年・青森県立高校入試
2025年・青森県立高校入試
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八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
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八戸東高 八戸北高 八戸西高 八戸聖ウルスラ学院高 仙台育英学園高ＩＬＣ
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2026.10.17 立体の体積 高校入試対策③