立体の体積と表面積 練習問題
２学期がスタートしました。夏休み期間の夏期講習では、受験生が入試対策に取り組みました。
立体の体積と表面積を求める問題では、公式を押さえておくことが必要になりますが、自分で立体を描いたり、展開図を描いたりしながら勉強していくことが基本になります。
問題
下の図の立体について、あとの問いに答えなさい。
1）六角柱の体積を求めなさい。
2）三角柱の表面積と体積を求めなさい。
1）
柱の体積＝底面積×高さ
21×12
＝（20＋１）×12
＝240＋12
＝252cm³
2）
表面積＝底面積＋側面積
底面は直角三角形
２つ分の面積
（1/2）×３×４×２＝12cm²
側面は縦12cm、横３＋４＋５＝12cmの長方形
側面積 12²＝144cm²
求める表面積は
12＋144＝156cm²
柱の体積は
（1/2）×３×４×12＝72cm³
問題
次の問いに答えなさい。
1）半径４cmで高さ８cmの円柱の体積と表面積を求めなさい。
2）底面が１辺３cmの正方形で、高さが６cmの四角錐の体積を求めなさい。
3）底面積が40cm²の五角形で、体積が80cm³の五角錐の高さを求めなさい。
4）半径２cmで高さ９cmの円錐の体積を求めなさい。
1）
円柱の体積
π×４²×８＝128π cm³
円柱の表面積
底面は円
２つ分の面積は、π×４²×２＝32π cm²
側面は長方形
縦は柱の高さと同じ８cm
横は底面の円周と同じだから
２π×４＝８π cm
円柱の側面積は、８×８π＝64π cm²
よって、求める表面積は
32π＋64π＝96π cm²
2）
錐の体積＝（1/3）×底面積×高さ
底面積は、３²＝９cm²
よって、求める体積は
（1/3）×９×６＝18cm³
3）
求める高さをｘcmとする
（1/3）×40×ｘ＝80
ｘ＝80×（3/40）＝６
よって、６cm
4）
底面積は、π×２²＝４π cm²
よって、求める体積は
（1/3）×４π×９＝12π cm³
問題
底面の半径４cm、高さ27cmの円柱状の容器に水がいっぱい入っている。この水を底面の半径６cmの円柱状の容器に移しかえると、水の深さは何cmになりますか。
２つの容器は高さが同じ
体積は高さと底面積に比例するから
体積は高さと半径の２乗に比例する
半径の２乗の比は
４²：６²＝16：36＝４：９
よって、
移しかえたあとの容器に入る水の深さは、もとの容器の深さの4/9倍になるから
27×（4/9）＝12cm
※別解
求める高さをａcmとする
底面の半径４cmの柱の体積は
π×４²×27＝432π cm³
底面の半径６cmの柱に入る水の体積は
π×６²×ａ＝36πａ cm³
よって、
36πａ＝432π
ａ＝12
したがって、12cm
問題
次の立体の表面積と体積をそれぞれ求めなさい。
1）
球の表面積 ４π×半径²
半径は12÷２＝６cmだから
求める表面積は
４π×６²＝144π cm²
球の体積 （4/3）π×半径³
（4/3）π×６³＝288π cm³
2）
半球の表面積
球の1/2の表面積＋切り口の円の面積
球の1/2の表面積
４π×９²×（1/2）＝162π cm²
円の面積
π×９²＝81π cm²
求める表面積は
162π＋81π＝243π cm²
半球の体積＝球の1/2の体積
（4/3）π×９³×（1/2）
＝２π×243
＝486π cm³
問題
底面の半径が３cm、母線の長さが10cmである円錐の表面積を求めなさい。
展開図は、おうぎ形の弧に円が接する形
円錐の表面積＝おうぎ形＋底面の円
側面のおうぎ形の面積
円錐の母線の長さが分かっているときは
（1/2）×おうぎの弧×母線で求められる
おうぎの弧の長さは底面の円周と同じ
２π×３＝６π cm
側面積は
（1/2）×６π×10＝30π cm²
底面積は
π×３²＝９π cm²
よって、求める表面積は
30π＋９π＝39π cm²
※別解
おうぎの弧の長さは底面の円周と同じ
２π×３＝６π cm
おうぎは半径10cmの円の一部
半径10cmの円周の長さは、
２π×10＝20π cm
おうぎは20πのうちの６πの部分だから
円の6π/20π＝3/10の部分
円の面積は、π×10²＝100π cm²
よって、側面積は
100π×（3/10）＝30π cm²
底面積は
π×３²＝９π cm²
よって、求める表面積は
30π＋９π＝39π cm²
問題
下の図の正四角錐の表面積を求めなさい。
底面の正方形と側面の二等辺三角形４つ分
正方形の面積 ６²＝36cm²
二等辺三角形４つ分の面積
（1/2）×６×10×４＝120cm²
よって、求める表面積は
36＋120＝156cm²
問題
下の図の円錐について、あとの問いに答えなさい。
1）表面積を求めなさい。
2）展開図のおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。
1）
側面のおうぎ形
弧の長さ ２π×８＝16π cm
母線の長さ 10cm
おうぎ形の面積は
（1/2）×16π×10＝80π cm²
底面の円の面積は
π×８²＝64π cm²
よって、求める表面積は
80π＋64π＝144π cm²
2）
円錐の母線の長さが分かっているとき
おうぎの中心角は
360°×（底面の半径）/（母線の長さ）
で求められる
360°×（8/10）＝288°
※別解
おうぎは半径10cmの円の一部
半径10cmの円周は、２π×10＝20π cm
おうぎの弧の長さは、底面の円周と同じ
２π×８＝16π cm
おうぎは円の16π/20π＝4/5にあたる部分
よって、求める中心角は
360°×（4/5）＝288°
問題
下の図は、直方体や円柱を１つの平面で切断してできた立体である。それぞれの体積を求めなさい。
1）
この立体を切断面に合わせて上につけ足すと
高さ８cmの直方体ができる
この直方体の半分の体積だから
６²×８×（1/2）＝144cm³
2）
この立体を切断面に合わせて上につけ足すと
高さ10cmの円柱ができる
この円柱の半分の体積だから
π×２²×10×（1/2）＝20π cm³
2026年・青森県立高校入試
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