- たむかい学習教室
- 8月12日
- 読了時間: 6分
等積変形 高校受験対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
夏休みも中盤を迎えましたが、中学・高校の受験生は、この夏から入試対策に取り組んでいます。入試問題では、中2数学で学習する「等積変形」に関する出題がよくあり、一次関数のグラフや平面図形の問題で応用します。共通の底辺をもち高さが等しい三角形は、面積が等しくなる(等積になる)性質を使います。
等積変形の利用
問題
下の図で、曲線は関数y=1/2x²のグラフである。曲線上にx座標が-1、3である2点A、Bをとり、曲線上を、x座標がx<-1の範囲で動く点をPとする。△PABと△POBの面積が等しくなるとき、点Pの座標を求めなさい。

△PAB=△POB
👉底辺と高さが等しくなるとき
△PABと△POBの底辺を、
PBとする(共通の底辺)
2つの三角形の高さが等しくなるのは、
AO//PBのとき
すなわち、
直線AOとPBの傾きが等しいとき
点Aはy=1/2x²上にあるから
そのy座標は、
y=1/2×(-1)²
=1/2
直線AOは、
(0,0)と(-1,1/2)を通るから
y=axに、
x=-1、y=1/2を代入
a=-1/2
よって、
直線AOの傾きは-1/2
点Bはy=1/2x²上にあるから
そのy座標は、
y=1/2×3²
=9/2
直線PBの切片をbとする
AOと傾きが等しいから
y=-1/2x+b
(3,9/2)を通るから
x=3、y=9/2を代入
-1/2×3+b=9/2
b=6
よって、直線PBの式は
y=-1/2x+6
求める点Pは、
y=1/2x²とy=-1/2x+6との交点(共有点)だから、
1/2x²=-1/2x+6
x²=-x+12
x²+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
x=-4,3
x=3は点Bの値だから、
x=-4
これを、y=1/2x²に代入
y=1/2×(-4)²
=8
よって、点Pの座標は、
(-4,8)


高さの等しい三角形
問題
下の図のように、AB=ACの二等辺三角形ABCがある。2点D、Eは、辺BCを3等分する点である。また、四角形ADCFが平行四辺形となるように点Fをとる。このとき、あとの問いに答えなさい。

1)△ABE≡△ACDであることを証明しなさい。
2)∠DAE=30°のとき、∠AFCの大きさを求めなさい。
3)△ABCの面積は平行四辺形ADCFの面積の何倍か、求めなさい。
1)
〔証明〕
△ABEと△ACDについて
仮定より
AB=AC ①
△ABCの底角は等しいから
∠ABE=∠ACD ②
また、
BD=DE=ECより
BE=2BD
CD=2BD
よって、
BE=CD ③
①、②、③から
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABE≡△ACD
2)
AB=AC、
BD=DE=ECより
AD=AE
△ADEは二等辺三角形だから
その底角は、
(180°-∠DAE)÷2
=(180°-30°)÷2
=75°
よって、
∠ADC=75°
平行四辺形ADCFにおいて、
対角は等しいから、
∠ADC=∠AFC
よって、
∠AFC=75°
3)
△ADEと△AECにおいて、
DE=EC
AF//DCより、高さが等しいから、
△ADE=△AEC
ADCFは平行四辺形だから、
△ADE+△AEC=△AFC
よって、
▱ADCF=4ADE ①
また、
△ABCの面積は、
△ADE+△AEC+△ABD
よって、
△ABC=3△ADE ②
①、②より
3△ADE÷4△ADE
=3/4倍


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今年度塾生28名(2025年4月現在)
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苦手意識から「自信」へ
(中学3年)

今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。
3年間の積み重ねで受験合格
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4年生の時から通い始めました。3年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。6年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。
苦手の克服が高得点に
(高校1年)

苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。
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2025.8.12 等積変形 高校受験対策