組合せ高校数学

たむかい学習教室
6月16日
読了時間: 13分

更新日：6月21日

組合せ高校数学

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　高校数学では、場合の数の単元に入っています。組合せは、「異なるｎ個のものからｒ個を選んで作る組合せ」のことで、その場合の数は、「nＣr」や「！（階乗）」を使って求めます。※Ｃ：Combination

組合せの総数

異なるｎ個のものから、異なるｒ個を取り出してつくる組合せ

nＣr

　 nＰr

＝ ━━━

　ｒ！

　　ｎ（ｎ－１）...（ｎ－ｒ＋１）

＝ ━━━━━━━━━━━━━━

　　ｒ（ｒ－１）...・３・２・１

nＣr

　　　　ｎ！

＝ ━━━━━━━━

　 ｒ！（ｎ－ｒ）！

（０！＝１、nＣ₀＝１）

nＣ₁＝ｎ、nＣn＝１

同じものを含む順列の総数

ａがｐ個、ｂがｑ個、ｃがｒ個あるとき、それら全部を１列に並べる順列の総数

nＣp × n－pＣq

　　　ｎ！

＝ ━━━━━━

　 ｐ！ｑ！ｒ！

（ｐ＋ｑ＋ｒ＝ｎ）

ｎ個のもののうち、ｐ個は同じもの、ｑ個は別の同じもの、ｒ個はまた別の同じもの、・・・であるとき

　　　ｎ！

━━━━━━━━━

ｐ！ｑ！ｒ！・・・

（ｐ＋ｑ＋ｒ＋・・・＝ｎ）

問題１

次の値を求めよ。

1）₇Ｃ₂

2）₈Ｃ₃

3）₉Ｃ₇

4）₄Ｃ₁

5）₆Ｃ₆

6）16Ｃ15

1）

₇Ｃ₂

＝7・6 / 2・1

＝21

2）

₈Ｃ₃

＝8・7・6 / 3・2・1

＝56

3）

₉Ｃ₇

＝₉Ｃ₂

＝9・8 / 2・1

＝36

９個の対象から７個を選ぶ

＝９個の対象から２個を選ばない

＝９個の対象から選ばない２個を選ぶ

4）

₄Ｃ₁＝４

5）

₆Ｃ₆＝１

6）

16Ｃ15

＝16Ｃ1

＝16

問題２

次のような選び方の総数を求めよ。

1）異なる９冊の雑誌の中から３冊を選ぶ

2）15人の生徒の中から４人を選ぶ

1）

₉Ｃ₃

＝9・8・7 / 3・2・1

＝84　84通り

2）

15Ｃ₄

＝15・14・13・12 / 4・3・2・1

＝1365　1365通り

問題３

正七角形について、次の数を求めよ。

1）３個の頂点を結んでできる三角形の個数

2）対角線の本数

3）正七角形と２辺を共有する三角形の個数

1）

７つの頂点から３つの頂点を選ぶ組合せ

₇Ｃ₃

＝7・6・5 / 3・2・1

＝35　35個

2）

７つの頂点から２つの頂点を選ぶ組合せ

₇Ｃ₂

＝7・6 / 2・1

＝14　14本

3）

正七角形の隣り合う２辺を共有

頂点をＡＢＣＤＥＦＧとする

隣り合う２辺は

ＡＢとＢＣ　ＢＣとＣＤ　ＣＤとＤＥ　ＤＥとＥＦ　ＥＦとＦＧ　ＦＧとＧＡ　ＧＡとＡＢ　の７通り

よって、７個

問題４

大人８人、子ども４人の計12人から５人を選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。

1）すべての選び方

2）大人３人、子ども２人を選ぶ

1）

12人から５人を選ぶ組合せ

12Ｃ₅

＝12・11・10・9・8 / 5・4・3・2・1

＝792　792通り

2）

大人８人から３人選ぶ

₈Ｃ₃

＝8・7・6 / 3・2・1

＝56通り

子ども４人から２人選ぶ

₄Ｃ₂

＝4・3 / 2・1

＝６通り

積の法則より、

56×６

＝336　336通り

問題５

次の場合に、並べ方は何通りあるか。

1）ａ４個、ｂ２個、ｃ２個の８文字すべてを１列に並べる。

2）ＳＷＥＥＴＳの６文字すべてを１列に並べる。

1）

　 8！

━━━━

4！2！2！

　8・7・6・5・4・3・2・1

＝━━━━━━━━━━━

　4・3・2・1・2・1・2・1

＝420　420通り

2）

Ｅ２個、Ｓ２個、Ｔ１個、Ｗ１個

　　　６！

━━━━━━━━

２！２！１！１！

＝180　180通り

問題６

1）10チームが総当たり戦（リーグ戦）を行うと、試合総数は何通りあるか。

2）１枚の100円硬貨を７回投げるとき、表がちょうど５回出る場合は何通りあるか。

1）

対戦２チームずつの組合せ

10Ｃ₂

＝10・9 / 2・1

＝45　45通り

2）

２回「裏」が出る組合せ

₇Ｃ₂

＝7・6 / 2・1

＝21　21通り

問題７

４桁の自然数ｎの千の位、百の位、十の位、一の位の数字を、それぞれａ、ｂ、ｃ、ｄとする。次の条件を満たすｎは何個あるか。

1）ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ

2）ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄ

1）

不等号が「＞」だから、４つそれぞれ異なる数があてはまる。

条件を満たすには、０～９の10個から４個を選べばよいから、

10Ｃ₄

＝10・9・8・7 / 4・3・2・1

＝210　210通り

2）

ａ＝０では条件を満たさないので、ａには１～９があてはまる。

また、ｂ、ｃ、ｄが０である場合も条件を満たさないので、ｂ、ｃ、ｄには１～９のいずれかがあてはまる。

１～９の９個から４個を選べばよいから、

₉Ｃ₄

＝9・8・7・6 / 4・3・2・1

＝126　126通り

問題８

５本の平行線とそれらに交わる４本の平行線がある。これらによってできる平行四辺形は、全部で何個あるか。

５本の平行線から２本を選ぶ組合せ

₅Ｃ₂

＝5・4 / 2・1

＝10個

４本の平行線から２本を選ぶ組合せ

₄Ｃ₂

＝4・3 / 2・1

＝6個

積の法則より、

10×6＝60　60個

問題９

Ａチーム６人、Ｂチーム４人の中から４人のメンバーを選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。

1）すべての選び方

2）Ａチーム、Ｂチームともに２人ずつ選ぶ

3）Ｂチームから少なくとも１人選ばれる

4）特定の２人ａ、ｂがともに選ばれる

5）特定の２人ａ、ｂについて、ａは選ばれるがｂは選ばれない

1）

10人から４人を選ぶ組合せ

10Ｃ₄

＝10・9・8・7 / 4・3・2・1

＝210　210通り

2）

Ａチーム

６人から２人選ぶ組合せ

₆Ｃ₂

＝6・5 / 2・1

＝15通り

Ｂチーム

４人から２人選ぶ組合せ

₄Ｃ₂

＝4・3 / 2・1

＝６通り

積の法則より、

15×６＝90　90通り

3）

Ｂから４人　Ａから０人

₄Ｃ₄×６Ｃ₀

＝１×１

＝１通り

Ｂから３人　Ａから１人

₄Ｃ₃×₆Ｃ₁

＝４×６

＝24通り

Ｂから２人　Ａから２人

2）より、90通り

Ｂから１人　Ａから３人

₄Ｃ₁×₆Ｃ₃

＝４×20

＝80通り

以上から、

１＋24＋90＋80

＝195　195通り

4）

ａ、ｂが選ばれるので、残り８人から２人を選ぶ組合せ

₈Ｃ₂

＝8・7 / 2・1

＝28　28通り

5）

ａが選ばれ、ｂが選ばれない

ａとｂを除いた８人から３人を選ぶ組合せ

₈Ｃ₃

＝8・7・6 / 3・2・1

＝56　56通り

問題10

正八角形の３個の頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるか。

８個の頂点から３個の頂点を選ぶ組合せ

₈Ｃ₃

＝8・7・6 / 3・2・1

＝56

全部で56個できる

全部の△－２辺を共有する△－１辺を共有する△で求める

正八角形の２辺を共有する

正八角形の２辺が隣り合う必要があるから、８個　※問題３参照

正八角形の１辺を共有する

１辺の両端から引く対角線が２本で、１辺につき４個ずつ三角形ができるから、８×４＝32個

以上から、

56－８－32＝16　16個

問題11

1から20までの20個の整数から、異なる３個を選んで組を作る。

1）奇数だけを含んでいる組は何通りできるか。

2）奇数も偶数も含んでいる組は何通りできるか。

1）

奇数は10個

10個の奇数から３個選ぶ組合せ

10Ｃ₃

＝10・9・8 / 3・2・1

＝120　120通り

2）

全部の組合せ－３個とも奇数－３個とも偶数で求める

20個から３個を選ぶ組合せ

20Ｃ₃

＝20・19・18 / 3・2・1

＝1140通り

1）より、３個とも奇数、３個とも偶数の組合せは120通りずつ

以上から、

1140－120－120

＝900　900通り

問題12

異なる色の９個の玉を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。

1）４個、３個、２個の３つの組に分ける。

2）Ａ、Ｂ、Ｃの３つの組に３個ずつ分ける。

3）３個ずつの３つの組に分ける。

4）２個、２個、２個、３個の４つの組に分ける。

1）

９個から４個選ぶ組合せ

₉Ｃ₄

＝9・8・7・6 / 4・3・2・1

＝126通り

残り５個から３個選ぶ組合せ

₅Ｃ₃

＝5・4・3 / 3・2・1

＝10通り

残り２個から２個選ぶ組合せ　1通り

積の法則より、

126×10×1

＝1260　1260通り

2）

９個から３個選ぶ組合せ

₉Ｃ₃

＝9・8・7 / 3・2・1

＝84通り

残り６個から３個選ぶ組合せ

₆Ｃ₃

＝6・5・4 / 3・2・1

＝20通り

残り３個から残り３個選ぶ組合せ　1通り

積の法則より、

84×20×1

＝1680　1680通り

3）

2）より、区別のある３組に分ける組合せは、1680通り。

区別のない組合せの場合、区別のある組合せを順列ｎ！で割ると求められる。

1680÷３！

＝1680÷６

＝280　280通り

4）

９個から２個選ぶ組合せ

₉Ｃ₂

＝9・8 / 2・1

＝36通り

残り７個から２個選ぶ組合せ

₇Ｃ₂

＝7・6 / 2・1

＝21通り

残り５個から２個選ぶ組合せ

₅Ｃ₂

＝5・4 / 2・1

＝10通り

残り３個から３個選ぶ組合せ

₃Ｃ₃＝1通り

区別のない組合せ（２個の組）が３つあるから、

36・21・10 / ３！

＝1260　1260通り

問題13

下の図のような道のある町で、ＰからＱまで遠回りをしないで行くのに、次の場合の道順の総数を求めよ。

1）Ｒを通って行く

2）ｘ印の箇所は通らないで行く

3）Ｒを通り、ｘ印の箇所は通らないで行く

1）

ＰからＲまで

縦に合計２、横に合計２移動する組合せ

₄Ｃ₂

＝4・3 / 2・1

＝６通り

ＲからＱまで

縦に合計３、横に合計４移動する組合せ

₇Ｃ₃

＝7・6・5 / 3・2・1

＝35通り

積の法則より、

６×35＝210　210通り

2）

（全ての行き方）－（ｘを通る行き方）で求める

ＰからＱまですべての行き方

縦に合計５、横に合計６移動する組合せ

11Ｃ₅

＝11・10・9・8・7 / 5・4・3・2・1

＝462通り

ｘを通る行き方

①

Ｐからｘの左側の点（交差点）まで

縦に合計２、横に合計３

₅Ｃ₂

＝5・4 / 2・1

＝10通り

②

ｘの左側から右側の点まで　1通り

③

ｘの右側の点からＱまで

縦に合計３、横に合計２

₅Ｃ₂＝10通り

ｘを通るのは、①かつ②かつ③の行き方だから

10×1×10＝100通り

以上から、

462－100＝362　362通り

3）

（Ｒを通るすべての行き方）－（Ｒを通りｘを通る行き方）で求める

1）より、Ｒを通るすべての行き方は、210通り

Ｒを通りｘを通る行き方

①

ＰからＲまで

₄Ｃ₂＝６通り

②

Ｒからｘの右側の点まで　1通り

③

ｘの右側の点からＱまで

₅Ｃ₂＝10通り

Ｒを通りｘを通るのは、①かつ②かつ③の行き方だから

6×1×10＝60通り

以上から、

210－60＝150　150通り

問題14

ＹＯＫＯＨＡＭＡの８文字すべてを１列に並べる。

1）Ｙ、Ｋ、Ｈ、Ｍがこの順にある並べ方は何通りあるか。

2）ＯとＡが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。

1）

８個の場所に、２つのＯが入る組合せ

₈Ｃ₂

＝8・7 / 2・1

＝28通り

残り６個の場所に、２つのＡが入る組合せ

₆Ｃ₂

＝6・5 / 2・1

＝15通り

ＹＫＨＭの並び方は、1通り

積の法則より、

28×15×1＝420　420通り

2）

Ｙ、Ｋ、Ｈ、Ｍの並び方は、４！＝24通り

４個の場所に、２つのＯが入る組合せ

₄Ｃ₂

＝4・3 / 2・1

＝6通り

残り２個の場所に、２つのＡが入る組合せ

₂Ｃ₂

＝1通り

積の法則より、

24×6×1＝144　144通り

問題15

赤玉４個、白玉３個、青玉１個がある。この中から４個を取って作る組合せおよび順列の総数を求めよ。

「順列」なので、特定の色がどの位置に入る場合があるかを考える。

　◌ ◌ ◌ ◌

　白赤赤赤

　赤白赤赤

　赤赤白赤

　赤赤赤白

①赤４個、1通り

②赤３個、白１個

　白は４か所の中の１か所に入る

　₄Ｃ₁＝4通り

③赤３個、青１個

　青は４か所の中の１か所に入る

　₄Ｃ₁＝4通り

④赤２個、白２個

　白は４か所の中の２か所に入る

　₄Ｃ₂＝6通り

⑤赤２個、白１個、青１個

　白は４か所の中の１か所に入る

　青は残り３か所の１か所に入る

　₄Ｃ₁×₃Ｃ₁＝12通り

➅白３個、赤１個

　赤は４か所の中の１か所に入る

　₄Ｃ₁＝4通り

　※白が３か所に入ると同じ　₄Ｃ₃＝₄Ｃ₁

⑦白３個、青１個

　青は４か所の中の１か所に入る

　₄Ｃ₁＝4通り

⑧白２個、赤１個、青１個

　赤は４か所の中の１か所に入る

　青は残り３か所の１か所に入る

　₄Ｃ₁×₃Ｃ₁＝12通り

以上から、

組合せ８通り

順列は、1+4×4+6+12×2=47　

順列47通り

問題16

りんご、みかん、バナナの３種類の果物がそれぞれたくさんある。この中から７個を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、選ばない果物があってもよい。

異なるｎ個のものから、重複を許してｒ個取る組合せ

ｎ＋ｒ－１Ｃｒ

₃+₇-₁Ｃ₇

＝₉Ｃ₇

＝₉Ｃ₂

＝9・8 / 2・1

＝36　36通り

問題17

Ａ、Ｂ、Ｃの３種類の商品を合わせて12個買うものとする。次のような買い方はそれぞれ何通りあるか。

1）買わない商品があってもよい

2）どの商品も少なくとも１個買う

1）

重複を許して12個買うから

₃+12-₁Ｃ12

＝14Ｃ12

＝14Ｃ₂

＝14・13 / 2・1

＝91　91通り

2）

Ａ・Ｂ、Ｃを最低１個ずつ買う。

残り９個は重複して買ってもよいから、

₃+₉-₁Ｃ₉

＝11Ｃ₉

＝11Ｃ₂

＝11・10 / 2・1

＝55　55通り

問題18

大中小３個のさいころを投げて、出る目の数をそれぞれａ、ｂ、ｃとするとき、ａ≦ｂ≦ｃとなる場合は何通りあるか。

ａ＝ｂ＝ｃの場合があるから、

６つの目から重複を許して、ａｂｃ３つの目を選ぶ。

₆+₃-₁Ｃ₃

＝₈Ｃ₃

＝8・7・6 / 3・2・1

＝56　56通り

👉順列 nＰr

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　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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