- たむかい学習教室
- 3 日前
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軸と頂点 高校数学 二次関数
二次関数のグラフの軸と頂点は、最大値・最小値やｘ軸との共有点を求めるときに利用します。日ごろから作図を通して、グラフのイメージを具体的にもつことを心がけます。
問題
２次関数ｙ＝ｘ²－２ａｘ＋ｂ＋５・・①（ａ、ｂは定数であり、ａ＞０）のグラフが点（－２，16）を通っている。
1）ｂをａを用いて表せ。
2）関数①のグラフの頂点の座標をａを用いて表せ。
3）関数①のグラフがｘ軸と接するとき、ａの値を求めよ。
4）3）のとき、０≦ｘ≦ｋ（ｋは正の定数）における関数①の最大値と最小値の和が５となるようなｋの値を求めよ。
1）
グラフは（－２，16）を通るから
16＝（－２）²－２ａ・（－２）＋ｂ＋５
16＝４＋４ａ＋ｂ＋５
ｂ＝－４ａ＋７
2）
①にｂ＝－４ａ＋７を代入
ｙ＝ｘ²－２ａｘ－４ａ＋７＋５
＝ｘ²－２ａｘ－４ａ＋12
平方完成すると
ｙ＝（ｘ－ａ）²－ａ²－４ａ＋12
よって、
（ａ，－ａ²－４ａ＋12）
3）
グラフがｘ軸と接するとき
頂点のｙ座標は０だから
－ａ²－４ａ＋12＝０
ａ²＋４ａ－12＝０
（ａ＋６）（ａ－２）＝０
ａ＞０より、ａ＝２
4）
ｙ＝ｘ²－２ａｘ－４ａ＋12より
ａ＝２を代入
ｙ＝ｘ²－４ｘ＋４
＝（ｘ－２）²
軸はｘ＝２、頂点は（２，０）
０≦ｘ≦ｋより
ｘ＝０のとき、ｙ＝４（ｙ切片）
ｙ＝４のとき、ｘ＝０，４
よって、最大値は
① ｘが０から２の間は、ｙ＝４
② ｘが２から４の間は、ｙ＝４
③ ｘが４より大きいとき、ｙ＝（ｋ－２）²
また、最小値は
① ｘが０から２の間は、ｙ＝（ｋ－２）²
ただしｘ＝２は含まない
② ｘが２から４の間は、ｙ＝０
③ ｘが４より大きいとき、ｙ＝０
👉軸の位置とｙの値の高低で捉える
① ０＜ｋ＜２のとき
最大値はｘ＝０のときで
ｙ＝（０－２）²＝４
最小値はｘ＝ｋのときで
ｙ＝（ｋ－２）²
和が５となるから
（ｋ－２）²＋４＝５
（ｋ－２）²＝１
ｋ－２＝±１
０＜ｋ＜２より ｋ＝１
② ２≦ｋ≦４のとき
最大値はｘ＝４のときで
ｙ＝（４－２）²＝４
最小値はｘ＝２のときで
ｙ＝（２－２）²＝０
４+０＝４だから不適
③ ｋ＞４のとき
最大値はｘ＝ｋのときで
ｙ＝（ｋ－２）²
最小値はｘ＝２のときで
ｙ＝０
和が５となるから
（ｋ－２）²＝５
ｋ－２＝±√５
ｋ＞４より ｋ＝２＋√５
以上から、
ｋ＝１，２＋√５
問題
放物線ｙ＝ｘ²－４ａｘ＋２ｂ・・①がｘ軸と異なる２点Ａ、Ｂで交わっている。（ただし、ａ、ｂは定数とする）。
1）放物線①の頂点の座標を求めよ。また、ａとｂの関係式を求めよ。
2）放物線①が点（1/4，1/16）を通るとき、ｂをａを用いて表せ。さらに、ＡＢ＝２√３であるとき、ａの値を求めよ。
3）２点Ａ、Ｂのｘ座標がともに０＜ｘ＜８を満たすような整数ａ、ｂの組の数を求めよ。このとき、Ａ、Ｂのｘ座標をそれぞれα、βとすると、α＋β＞８を満たすような整数ａ、ｂの値を求めよ。
1）
①を平方完成する
ｙ＝ｘ²－４ａｘ＋２ｂ
＝（ｘ－２ａ）²－４ａ²＋２ｂ
頂点は（２ａ，－４ａ²＋２ｂ）
頂点のｙ座標が０より小さいと、
放物線がｘ軸と異なる２点をもつから
－４ａ²＋２ｂ＜０
２ｂ＜４ａ²
ｂ＜２ａ²
2）
①に（1/4，1/16）を代入
ｙ＝ｘ²－４ａｘ＋２ｂ
1/16＝（1/4）²－4ａ・（1/4）＋2ｂ
1/16＝1/16－ａ＋2ｂ
2ｂ＝ａ
ｂ＝（1/2）ａ
このとき、ｂ＜２ａ²より
（1/2）ａ＜２ａ²
２ａ²－（1/2）ａ＞０
４ａ²－ａ＞０
ａ（４ａ－１）＞０
ａ＜０、ａ＞1/4 ②
①にｂ＝（1/2）ａを代入
ｙ＝ｘ²－４ａｘ＋２ｂ
＝ｘ²－４ａｘ＋２・（1/2）ａ
＝ｘ²－４ａｘ＋ａ
ｘ軸上の異なる２点を求める
ｘ軸上はｙ＝０だから
ｘ²－４ａｘ＋ａ＝０
解の公式より
ｘ＝２ａ±√（４ａ²－ａ）
よって、
点Ａは、ｘ＝２ａ－√（４ａ²－ａ）
点Ｂは、ｘ＝２ａ＋√（４ａ²－ａ）
ＡＢ＝（Ｂのｘ座標）－（Ａのｘ座標）
２ａ＋√（４ａ²－ａ）－｛２ａ－√（４ａ²－ａ）｝
＝２√（４ａ²－ａ）
ＡＢ＝２√３より
２√（４ａ²－ａ）＝２√３
４ａ²－ａ＝３
４ａ²－ａ－３＝０
（４ａ＋３）（ａ－１）＝０
②より
ａ＝－3/4，１
3）
２点が０＜ｘ＜８にあるとき
ⅰ）
軸ｘ＝２ａが０＜ｘ＜８の範囲内
ⅱ）
ｘ＝０のとき、ｙは０より大きい
ｘ＝８のとき、ｙは０より大きい
👉これ以外の場合は、ｘ軸との共有点が１個または０個
ⅲ）
頂点のｙ座標が０より小さい
👉放物線がｘ軸と異なる２点をもつ
ⅰ）より
０＜２ａ＜８
よって、０＜ａ＜４ ③
ⅱ）より
ｘ＝０のとき
ｙ＝ｘ²－４ａｘ＋２ｂ
＝２ｂ＞０
よって、ｂ＞０ ④
ｘ＝８のとき
ｙ＝ｘ²－４ａｘ＋２ｂ
＝８²－４ａ・８＋２ｂ
＝64－32ａ＋２ｂ＞０ ⑤
ⅲ）と1）より
ｂ＜２ａ² ➅
③から
ａ＝１，２，３
ａ＝１のとき
ｂ＞０ ④
64－32ａ＋２ｂ＞０ ⑤より
64－32＋２ｂ＞０
ｂ＞－16 ⑤’
ｂ＜２ａ² ➅より
ｂ＜２・１²
ｂ＜２ ➅’
④、⑤’、➅’より
０＜ｂ＜２だから ｂ＝１
よって、ａ＝１、ｂ＝１の１組
ａ＝２のとき
ｂ＞０ ④
64－32ａ＋２ｂ＞０ ⑤より
64－32・2＋２ｂ＞０
ｂ＞０ ④に同じ
ｂ＜２ａ² ➅より
ｂ＜２・２²
ｂ＜８ ➅’
④、➅’より
０＜ｂ＜８だから
ｂ＝１，２，３，４，５，６，７
よって、ａ＝２、ｂ＝１～７の７組
ａ＝３のとき
ｂ＞０ ④
64－32ａ＋２ｂ＞０ ⑤より
64－32・3＋２ｂ＞０
ｂ＞16 ⑤’
ｂ＜２ａ² ➅より
ｂ＜２・３²
ｂ＜18 ➅’
④、⑤’、➅’より
16＜ｂ＜18だから ｂ＝17
よって、ａ＝３、ｂ＝17の１組
以上から、
１＋７＋１＝９組
ｙ＝０の解は、
ｘ＝２ａ±√（４ａ²－２ｂ）
α＋β＞８より
２ａ＋√（４ａ²－２ｂ）＋２ａ－√（４ａ²－２ｂ）＞８
４ａ＞８
ａ＞２
これを満たすのは、ａ＝３のとき
よって、ａ＝３、ｂ＝17
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