連立方程式 高校入試対策③
２学期がスタートしました。この夏から、受験生は入試に向けて対策を始めています。
高校入試では、連立方程式を応用する出題があります。以下では、練習問題を掲載しています。
問題
２つの自然数の和が210で、一方の数は他方の数の３倍より10大きい。この２つの自然数をｘ、ｙとして、２つの自然数を求めなさい。ただし、ｘ＜ｙとする。
２つの自然数の和が210だから
ｘ＋ｙ＝210 ①
ｘ＜ｙで、一方の数は他方の数の３倍より10大きいから
ｙ＝３ｘ＋10 ②
②を①に代入
ｘ＋３ｘ＋10＝210
４ｘ＝200 ｘ＝50
①に代入して、ｙ＝160
よって、
ｘ＝50、ｙ＝160
問題
現在、お父さんの年齢は、弟の年齢の３倍より２歳上で、13年後には、お父さんの年齢は弟の年齢の２倍になる。現在の弟とお父さんの年齢をそれぞれ求めなさい。
現在の弟の年齢をｘ歳、
現在の父の年齢をｙ歳とする
現在は、父が弟の３倍より２多いから
ｙ＝３ｘ＋２ ①
13年後の弟は、（ｘ＋13）歳
13年後の父は、（ｙ＋13）歳
13年後は、父が弟の２倍になるから
ｙ＋13＝２（ｘ＋13） ②
②より
ｙ＋13＝２ｘ＋26
ｙ＝２ｘ＋13 ②’
①、②’より
３ｘ＋２＝２ｘ＋13
ｘ＝11
①に代入して、ｙ＝33＋２＝35
よって、
現在の弟 11歳
現在の父 35歳
問題
陽子さんの住む町の面積は630km²であり、Ａ地区とＢ地区の２つの地区に分かれている。陽子さんが町の森林について調べたところ、Ａ地区の面積の70％、Ｂ地区の面積の90％が森林であり、町全体の森林面積は519km²だった。このとき、Ａ地区の森林面積は何km²か求めなさい。
Ａ全体をｘkm²、Ｂ全体をｙkm²とする
合わせて630km²だから
ｘ＋ｙ＝630 ①
Ａの森林はｘの70％だから
ｘ×（70/100）
＝（70/100）ｘkm²
Ｂの森林はｙの90％だから
ｙ×（90/100）
＝（90/100）ｙkm²
合わせて519km²だから
（70/100）ｘ＋（90/100）ｙ＝519 ②
②×100
70ｘ＋90ｙ＝51900
÷10
７ｘ＋９ｙ＝5190 ②’
②’－①×７
７ｘ＋９ｙ＝5190
７ｘ＋７ｙ＝4410
２ｙ＝780 ｙ＝390
①に代入して、ｘ＝240
ｘはＡ地区の面積だから
240×（70/100）＝168km²
問題
ある文房具店では，鉛筆６本とノート３冊を定価で買うと，代金は840円である。その日は，同じ鉛筆が定価の２割引き，同じノートが定価の３割引きになっていたので，鉛筆を10本とノートを５冊買ったところ，代金は，定価で買うときよりも340円安くなった。鉛筆１本とノート１冊の定価を，それぞれ求めなさい。
それぞれの定価
鉛筆１本ｘ円、ノート１冊ｙ円とする
鉛筆６本を定価ｘ円で買うと、６ｘ円
ノート３冊を定価ｙ円で買うと、３ｙ円
合わせて840円だから
６ｘ＋３ｙ＝840 ①
鉛筆の定価ｘ円の２割引き分は
ｘ×（2/10）＝（2/10）ｘ円
この10本分は、（2/10）ｘ×10＝２ｘ円
ノートの定価ｙ円の３割引き分は
ｙ×（3/10）＝（3/10）ｙ円
この５冊分は、（3/10）ｙ×５＝（3/2）ｙ円
合わせて340円だから
２ｘ＋（3/2）ｙ＝340 ②
②×２
４ｘ＋３ｙ＝680 ②’
①－②’
６ｘ＋３ｙ＝840
４ｘ＋３ｙ＝680
２ｘ＝160 ｘ＝80
①÷３
２ｘ＋ｙ＝280
ｘ＝80を代入
160＋ｙ＝280 ｙ＝120
よって、
鉛筆１本の定価 80円
ノート１冊の定価 120円
※別解
鉛筆の定価ｘ円の２割引きは
ｘ×（10－2）/10
＝（8/10）ｘ円
ノートの定価ｙ円の３割引きは
ｙ×（10－3）/10
＝（7/10）ｙ円
２割引きの鉛筆を10本買うと
（8/10）ｘ×10＝８ｘ円
３割引きのノートを５冊買うと
（7/10）ｙ×５＝（7/2）ｙ円
鉛筆を定価で10本買うと、10ｘ円
ノートを定価で５冊買うと、５ｙ円
合わせて（10ｘ＋５ｙ）－340円だから
８ｘ＋（7/2）ｙ＝（10ｘ＋５ｙ）－340 ②
②×２
16ｘ＋７ｙ＝20ｘ＋10ｙ－680
４ｘ＋３ｙ＝680 ②’
①－②’
６ｘ＋３ｙ＝840
４ｘ＋３ｙ＝680
２ｘ＝160 ｘ＝80
①÷３
２ｘ＋ｙ＝280
ｘ＝80を代入
160＋ｙ＝280 ｙ＝120
よって、
鉛筆１本の定価 80円
ノート１冊の定価 120円
問題
ある列車が、580mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに35秒かかる。また、この列車が、同じ速さで、880mのトンネルに入り始めてから出てしまうまでに50秒かかる。この列車の長さと速さ（秒速）をそれぞれ求めなさい。
列車の長さをｘm、速さを秒速ｙmとする
鉄橋を渡るとき
秒速ｙmで35秒進むときの距離は
ｙ×35＝35ｙm
これが鉄橋と列車の長さを合わせた距離だから
35ｙ＝580＋ｘ ①
トンネルを通過するとき
秒速ｙmで50秒進むときの距離は
ｙ×50＝50ｙm
これがトンネルと列車の長さを合わせた距離だから
50ｙ＝880＋ｘ ②
①より
35ｙ－580＝ｘ ①’
②より
50ｙ－880＝ｘ ②’
①’、②’より
50ｙ－880＝35ｙ－580
15ｙ＝300 ｙ＝20
①’に代入
700－580＝ｘ ｘ＝120
よって、
列車の長さ 120m
列車の速さ 秒速20m
問題
ある町で全住宅の太陽光発電システムの設置状況について調査をしたところ、設置している住宅戸数は設置していない住宅戸数より2160戸少なかった。また設置している住宅戸数は全住宅戸数の５%であった。設置している住宅戸数を求めなさい。
設置している住宅をｘ戸、していない住宅をｙ戸とする
ｘ＝ｙ－2160 ①
ｘ＝（5/100）（ｘ＋ｙ） ②
②×100
100ｘ＝５ｘ＋５ｙ
20ｘ＝ｘ＋ｙ
19ｘ＝ｙ ②’
①に代入
ｘ＝19ｘ－2160
18ｘ＝2160 ｘ＝120
よって、120戸
2023年・青森県立高校入試
連立方程式と一次関数
1）〔あ〕
りんごとなし合わせて50個だから
りんごをａ個とすると
なしは、50－ａ個
1）〔い〕
りんごａ個、なしｂ個とすると
合わせて50個だから
ａ＋ｂ＝50
120円をａ個で、120ａ円
150円をｂ個で、150ｂ円
箱代40円
合わせて6700円だから
120ａ＋150ｂ＋40＝6700
よって、
ａ＋ｂ＝50
120ａ＋150ｂ＋40＝6700
2）〔う〕
りんご（ｘ＋18）個、なし（ｙ＋18）個とするから
120（ｘ＋18）＋150（ｙ＋18）＋40＝6700
2）〔え〕
４ｘ＋５ｙ＝60 より
５ｙ＝－４ｘ＋60
ｙ＝（－4/5）ｘ＋12
ｘ、ｙが正の整数となる組み合わせは
ｘが０または５の倍数になるとき
ｘ＝０のとき、ｙ＝12
ｘ＝５のとき、ｙ＝８
ｘ＝10のとき、ｙ＝４
ｘ＝15のとき、ｙ＝０
ｘ＝20以上では、ｙは負になるから不適
よって、
（０，12）（５，８）（10，４）（15，０）
2）〔え〕〔お〕
りんごとなしの合計が50個より多くなるのは
（15，０）のとき
ｘ＋18より、15＋18＝33個
ｙ＋18より、０＋18＝18個
よって、
りんご 33個
なし 18個
2026年・青森県立高校入試
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
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分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
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入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
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通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
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入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
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