連立方程式 高校入試対策⑤
２学期がスタートしました。夏休み期間には「夏期講習」があり、多くの生徒さんが受講しました。
この夏から、受験生は入試に向けて対策を始めています。高校入試では、連立方程式を応用する出題があります。以下では、練習問題を掲載しています。
式の立て方
問題
Ａ班の５人とＢ班の４人がクイズに参加したところ、得点は、Ａ班は２人がａ点、３人がｂ点、Ｂ班は１人がａ点、３人がｂ点であった。Ａ班の得点の平均は、Ｂ班の得点の平均より何点高いか。もっとも簡単な式で表しなさい。
Ａ班の合計点
ａ×２＋ｂ×３＝２ａ＋３ｂ
Ａ班の平均点
（２ａ＋３ｂ）÷５
２ａ＋３ｂ
＝━━━━━ ①
５
Ｂ班の合計点
ａ×１＋ｂ×３＝ａ＋３ｂ
Ｂ班の平均点
（ａ＋３ｂ）÷４
ａ＋３ｂ
＝━━━━ ②
４
①－②より
２ａ＋３ｂ ａ＋３ｂ
━━━━━－━━━━
５ ４
４（２ａ＋３ｂ）－５（ａ＋３ｂ）
＝━━━━━━━━━━━━━━━━
20
８ａ＋12ｂ－５ａ－15ｂ
＝━━━━━━━━━━━
20
３ａ－３ｂ
＝━━━━━
20
ｘとｙの方程式を１つだけ使う
問題
サッカークラブの部員124人でキャンプに行く。次の条件にしたがって、５人用と８人用のテントの張数を求めなさい。
・どのテントも定員人数ぴったりで利用する。
・すべての部員が余ることなくテントに入る。
・テントの張数の合計をできるだけ少なくする。
５人用をｘ個、８人用をｙ個とする
定員ぴったりで、部員が余らないから
５人用は、全部で５ｘ 人
８人用は、全部で８ｙ 人
よって、
５ｘ＋８ｙ＝124
ｙについて解くと
８ｙ＝－５ｘ＋124
ｙ＝（－5/8）ｘ＋（31/2）
ｘとｙがともに正の整数になるときだから
ｘ＝４を代入
ｙ＝（－5/2）＋（31/2）＝13
５人用 ４個
８人用 13個 計17個
ｘ＝12を代入
ｙ＝（－15/2）＋（31/2）＝８
５人用 12個
８人用 ８個 計20個
ｘ＝20を代入
ｙ＝（－25/2）＋（31/2）＝３
５人用 20個
８人用 ３個 計23個
ｘ＝28を代入すると、ｙは負となり不適
張数ができるだけ少ないときだから
５人用 ４個
８人用 13個
👉切片ｂの分母が２だから、傾きａの分母も２になるときを考える。
問題
箱入り菓子Ａ、Ｂの小、大の個数と代金は、下の表のようになっている。
1）Ａ１個の値段をｘ円、Ｂ１個の値段をｙ円として、連立方程式をつくりなさい。
2）菓子Ａ１個、Ｂ１個の値段をそれぞれ求めなさい。
1）
小についての方程式
ｘ×６＋ｙ×９＝1560
６ｘ＋９ｙ＝1560
大についての方程式
ｘ×12＋ｙ×12＝2400
12ｘ＋12ｙ＝2400
よって、
６ｘ＋９ｙ＝1560
12ｘ＋12ｙ＝2400
2）
６ｘ＋９ｙ＝1560 ①
12ｘ＋12ｙ＝2400 ②
①÷３－②÷６
２ｘ＋３ｙ＝520
２ｘ＋２ｙ＝400
ｙ＝120
②÷12より
ｘ＋ｙ＝200
ｙ＝120を代入して、ｘ＝80
よって、
Ａ１個 80円
Ｂ１個 120円
問題
家から駅までの道のりは1200mである。家を９時に出発して、はじめは分速60mで歩き、途中から分速180mで走ったら、９時12分に駅に着いた。歩いた時間と走った時間をそれぞれ求めなさい。
歩いた時間をｘ分、走った時間をｙ分とする
合わせて12分だから
ｘ＋ｙ＝12 ①
分速60mでｘ分歩いた距離は
60×ｘ＝60ｘm
分速180mでｙ分走った距離は
180×ｙ＝180ｙm
合わせて1200mだから
60ｘ＋180ｙ＝1200 ②
②÷60－①
ｘ＋３ｙ＝20
ｘ＋ ｙ＝12
２ｙ＝８ ｙ＝４
①に代入して、ｘ＝８
よって、
歩いた時間 ８分
走った時間 ４分
問題
太郎さんの中学校では、毎月、アルミ缶とスチール缶の回収を行っている。６月に回収したアルミ缶とスチール缶は両方合わせて60kgであった。７月は６月に比べ、アルミ缶は30％増え、スチール缶は20％減り、全体で68kgであった。このとき、次の問いに答えなさい。
1）６月に回収したアルミ缶とスチール缶の重さをそれぞれ求めなさい。
2）７月に回収したアルミ缶とスチール缶の重さをそれぞれ求めなさい。
1）
６月に回収したアルミ缶をｘkg、スチール缶をｙkgとする
合わせて60kgだから
ｘ＋ｙ＝60 ①
７月の６月と比べた増減分
ｘkgの30％分増えたから
ｘ×（30/100）＝（30/100）ｘkg
ｙkgの20％分減ったから
ｙ×（－20/100）＝（－20/100）ｙkg
合わせて68－60＝８kgだから
（30/100）ｘ＋（－20/100）ｙ＝８ ②
②×100
30ｘ－20ｙ＝800
÷10
３ｘ－２ｙ＝80 ②’
①×２＋②’
２ｘ＋２ｙ＝120
３ｘ－２ｙ＝80
５ｘ＝200 ｘ＝40
①に代入して、ｙ＝20
よって、
アルミ缶 40kg
スチール缶 20kg
2）
７月のアルミ缶は６月の130％だから
40×（130/100）＝52kg
７月のスチール缶は６月の80％だから
20×（80/100）＝16kg
よって、
アルミ缶 52kg
スチール缶 16kg
問題
容器Ａには濃度９％の食塩水、容器Ｂには濃度３％の食塩水が入っている。容器Ａに入っている食塩水の2/3を取り出し、容器Ｂに入れて混ぜたら、５％の食塩水が600ｇできた。容器Ａ、Ｂには、はじめ食塩水がそれぞれ何ｇありましたか。
はじめの食塩水の量
Ａに入っていた食塩水をｘｇ、Ｂに入っていた食塩水をｙｇとする
Ａの食塩水ｘｇの2/3は
ｘ×（2/3）＝（2/3）ｘｇ
これをＢの食塩水ｙｇに足すと600ｇだから
（2/3）ｘ＋ｙ＝600 ①
Ａの食塩水に含まれる食塩は
ｘ×（9/100）＝（9/100）ｘｇ
この2/3の量は
（9/100）ｘ×（2/3）＝（6/100）ｘｇ
Ｂの食塩水に含まれる食塩は
ｙ×（3/100）＝（3/100）ｙｇ
混ぜた後の食塩水に含まれる食塩は
600×（5/100）＝30ｇ
よって、
（6/100）ｘ＋（3/100）ｙ＝30 ②
①×３
２ｘ＋３ｙ＝1800 ①’
②×100
６ｘ＋３ｙ＝3000 ②’
②’－①’
６ｘ＋３ｙ＝3000
２ｘ＋３ｙ＝1800
４ｘ＝1200 ｘ＝300
①’に代入して
600＋３ｙ＝1800
３ｙ＝1200 ｙ＝400
したがって、
容器Ａ 300ｇ
容器Ｂ 400ｇ
2023年・青森県立高校入試
連立方程式と一次関数
1）〔あ〕
りんごとなし合わせて50個だから
りんごをａ個とすると
なしは、50－ａ個
1）〔い〕
りんごａ個、なしｂ個とすると
合わせて50個だから
ａ＋ｂ＝50
120円をａ個で、120ａ円
150円をｂ個で、150ｂ円
箱代40円
合わせて6700円だから
120ａ＋150ｂ＋40＝6700
よって、
ａ＋ｂ＝50
120ａ＋150ｂ＋40＝6700
2）〔う〕
りんご（ｘ＋18）個、なし（ｙ＋18）個とするから
120（ｘ＋18）＋150（ｙ＋18）＋40＝6700
2）〔え〕
４ｘ＋５ｙ＝60 より
５ｙ＝－４ｘ＋60
ｙ＝（－4/5）ｘ＋12
ｘ、ｙが正の整数となる組み合わせは
ｘが０または５の倍数になるとき
ｘ＝０のとき、ｙ＝12
ｘ＝５のとき、ｙ＝８
ｘ＝10のとき、ｙ＝４
ｘ＝15のとき、ｙ＝０
ｘ＝20以上では、ｙは負になるから不適
よって、
（０，12）（５，８）（10，４）（15，０）
2）〔え〕〔お〕
りんごとなしの合計が50個より多くなるのは
（15，０）のとき
ｘ＋18より、15＋18＝33個
ｙ＋18より、０＋18＝18個
よって、
りんご 33個
なし 18個
2026年・青森県立高校入試
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英語と数学は
これからもこの塾で！
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理数への意識が変わり
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2026.9.13 連立方程式 高校入試対策⑤