連立方程式の文章問題

たむかい学習教室
6 日前
読了時間: 8分

連立方程式の文章問題

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　中２数学では、連立方程式の学習があります。求める２つの値をｘとｙの文字を使って解きます。文章題を式にするときには、文を区切りながら等しい関係を見つけ出すことがポイントになります。

例題

50円硬貨と100円硬貨があわせて12枚あります。合計金額は900円です。50円硬貨と100円硬貨はそれぞれ何枚ありますか。

方程式のつくり方

1.連立を使う（文字2つ　二元一次方程式）

50円をｘ枚、100円をｙ枚とする。

枚数の式

ｘ＋ｙ＝12　①

金額の式

50ｘ＋100ｙ＝900　②

2.連立を使わない（文字1つ　一元一次方程式）

50円をｘ枚とし、金額について方程式をつくる。

50ｘ＋100（12ーｘ）＝900

問題

1）２つの数の組（ａ，ｂ）、（ｃ，ｄ）について、「※」の記号は、（ａ，ｂ）※（ｃ，ｄ）＝（ａｃ－ｂｄ，ａｄ＋ｂｃ）のように計算するものとする。

（ｘ，ｙ）※（２，３）＝（ー17，７）のとき、ｘ、ｙの値を求めなさい。

（ａ，ｂ）※（ｃ，ｄ）

＝（ａｃ－ｂｄ，ａｄ＋ｂｃ）より、

（ｘ，ｙ）※（２，３）

＝（２ｘ－３ｙ，３ｘ＋２ｙ）

よって、

２ｘ－３ｙ＝ー17　①

３ｘ＋２ｙ＝７　　②

①×３ー②×２より、

ｘ＝ー１，ｙ＝５

2）ある中学校の生徒数は180人である。このうち、男子の16％と女子の20％の生徒が自転車で通学しており、自転車で通学している男子と女子の人数は等しい。このとき、自転車で通学している生徒は全部で何人か、求めなさい。

全校の男子をｘ人、女子をｙ人とすると、

ｘ＋ｙ＝180　①

男子の16％は、

ｘ×16／100＝16ｘ／100

女子の20％は、

ｙ×20／100＝20ｙ／100

自転車通学生徒の人数は等しいから、

16ｘ／100＝20ｙ／100　②

②×100より、

16ｘ＝20ｙ

16ｘ－20ｙ＝０

両辺÷４　※

４ｘー５ｙ＝０　②’

①×４ー②’より

ｘ＝100，ｙ＝80

よって、

自転車通学の男子の人数は、

100×16／100＝16人

自転車通学の女子の人数は、

80×20／100＝16人

16＋16＝32人

※

16ｘ／100＝20ｙ／100

両辺に100をかけて分母をはらう

16ｘ＝20ｙ

両辺を４で割る

４ｘ＝５ｙ

両辺は同じ数でかけたり、割ったりすることができます。方程式では、できるだけ小さい数で計算しやすくする工夫ができます。

3）ある小学校で、工場見学のために電車を利用することになった。通常は児童15人と先生２人の運賃の合計が9100円になる。しかし、児童が10人以上いるとき、児童の運賃のみが４割引きになるため、児童15人と先生２人の運賃の合計は6100円になった。割引きされた後の児童１人分の運賃を求めなさい。

児童の通常運賃をｘ円、先生の運賃をｙ円とする。

児童　15×ｘ円＝15ｘ円

先生　２×ｙ円＝２ｙ円

通常運賃の合計

15ｘ＋２ｙ＝9100　①

児童１人の割引運賃

通常の４割引きになるから、通常ｘ円の６割で利用できる。

15人分の料金は、

ｘ × 6/10 × 15＝９ｘ円

割引後の合計

９ｘ＋２ｙ＝6100　②

①ー②より、

ｘ＝500　※

児童の通常運賃が500円だから、割引後は、

500 × 6/10＝300円

※

割引後の児童の運賃を求めるから、先生の運賃（ｙ円）まで求めなくてよい。

また、問題（2）（3）のように、連立方程式の解を利用して答えを出す問題があります。何を求めるのか、問題文を最後まで正確に読み解くことを心がけます。

問題（一次関数の応用）

グラフが２点（２，１）、（４，５）を通る一次関数の式を、連立方程式を利用して求めなさい。

一次関数だから、求める式をｙ＝ａｘ＋ｂとする

（２，１）を通るから、

ｘ＝２，ｙ＝１を代入

２ａ＋ｂ＝１　①

（４，５）を通るから、

ｘ＝４，ｙ＝５を代入

４ａ＋ｂ＝５　②

①ー②より、

ａ＝２、ｂ＝ー３

よって、

ｙ＝２ａー３

※２点を通る式は、基本的に「変化の割合」を使って求めるようにします。

ｘの増加量　４－２＝２

ｙの増加量　５－１＝４

変化の割合　４／２＝２←傾きａ

切片の値をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂに、ｘ＝２，ｙ＝１を代入

４＋ｂ＝１

ｂ＝ー３

問題

下の表は、Ａ市とＢ市の１か月の下水道使用量と料金の関係を、使用量が50ｍ³までの範囲でまとめたものである。

１か月の使用量がｘｍ³のときの料金をｙ円として、次の問いに答えなさい。

1）Ｂ市について、使用量が20ｍ³をこえて50ｍ³までのときのｘとｙの関係を式に表し、ｘの変域を求めなさい。

20ｍ³をこえた後は、１ｍ³につき150円ずつ加算される。料金は一定の割合で増えることになるから、一次関数の式である。

表から、

ｘ＝20のとき、ｙ＝1000

ｘ＝21のとき、ｙ＝1150

求める式をｙ＝ａｘ＋ｂとし、それぞれの値を代入する。

20ａ＋ｂ＝1000　①

21ａ＋ｂ＝1150　②

①ー②より、

ａ＝150、ｂ＝ー2000

よって、

ｙ＝150ｘー2000

ｘ（使用量）の変域は、「20ｍ³をこえ50ｍ³まで」とあるから、

20＜ｘ≦50

2）使用量が20ｍ³をこえて50ｍ³までの範囲で、Ａ市とＢ市の料金が等しくなる使用量は何ｍ³になるか、求めなさい。

それぞれｘとｙの関係をグラフにしたとき、ＡとＢの交点のｘ座標が求める値になる。

Ａ市の式

比例の関係だから、ｙ＝ａｘ

Ｘ＝１、ｙ＝100を代入

ａ＝100

ｙ＝100ｘ　①

Ｂ市の式は、ｙ＝150ｘ－2000　②

①＝②より、

100ｘ＝150ｘー2000　※

ｘ＝40

よって、40ｍ³

※

２つの式が「ｙ＝」の形で表されているとき、連立方程式の代入法を使うと計算しやすくなります。

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