連立方程式の文章問題

たむかい学習教室
10月7日
読了時間: 7分

連立方程式の文章問題

考査解説

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

９月下旬の中学校では、中間テストがありました。連立方程式の文章問題では、短時間のうちに情報を整理しながら式を立てる力が必要になります。ふだんから問題文をていねいに読み解く積み重ねが、処理速度を高めていくことにつながります。

問題

ＡさんとＢさんが20回じゃんけんを行い、１回ごとに次の得点を与える。

・勝った人には、３点

・あいこのときには、２人に１点ずつ

・負けた人には、得点なし

ポイントの合計は、Ａさんが22点、Ｂさんが31点であった。Ａさんが勝った回数、あいこの回数、負けた回数を求めなさい。

Ａが勝った回数をｘ回、

Ｂが勝った回数をｙ回とする。

Ａの場合

勝ち　ｘ回👉ｘ×３＝３ｘ点

負け　ｙ回👉ｙ×０＝０点

（Ｂが勝った回数と同じ）

あいこ　20－（ｘ＋ｙ）回

👉（20－ｘ－ｙ）×１

　＝（20－ｘ－ｙ）点

よって、

３ｘ＋（20－ｘ－ｙ）＝22　①

Ｂの場合

勝ち　ｙ回👉ｙ×３＝３ｙ点

負け　ｘ回👉ｘ×０＝０点

（Ａが勝った回数と同じ）

あいこ　20－（ｙ＋ｘ）回

👉（20－ｘ－ｙ）×１

　＝（20－ｘ－ｙ）点

よって、

３ｙ＋（20－ｘ－ｙ）＝31　②

①より

２ｘ－ｙ＝２　①’

②より

－ｘ＋２ｙ＝11　②’

①’＋②’

　　　２ｘ－　ｙ＝２

＋）－２ｘ＋４ｙ＝22

　　　　　　３ｙ＝24

　　　　　　　ｙ＝８

①’に代入

２ｘ－８＝２

ｘ＝５

よって、

Ａが勝った回数　５回

あいこの回数　　７回

※20－５－８＝７

Ａが負けた回数　８回

問題

ある中学校の吹奏楽部では、去年の部員数は男女あわせて36人だった。今年の部員数は去年と比べて、男子が25％増えて、女子が10％減ったため、全体で２人増えた。今年の男子と女子の部員数を、それぞれ求めなさい。

去年の男子をｘ人、女子をｙ人とする。

あわせて36人だったから

ｘ＋ｙ＝36　①

男子の増えた分の人数は、

ｘ×（＋25/100）

＝（25/100）ｘ人

女子の減った分の人数は、

ｙ×（－10/100）

＝（－10/100）ｙ人

あわせて２人増えたから

（25/100）ｘ－（10/100）ｙ＝２　②

②×100

25ｘ－10ｙ＝200

両辺÷５

５ｘ－２ｙ＝40　②’

①×２＋②’

　　２ｘ＋２ｙ＝72

＋）５ｘ－２ｙ＝40

　　７ｘ　　　＝112

　　　　　　ｘ＝16

①に代入

16＋ｙ＝36

ｙ＝20

よって、

今年の男子の人数は、

（100/100＋25/100）×16

＝（5/4）×16

＝20人

今年の女子の人数は、

（100/100－10/100）×20

＝（9/10）×20

＝18人

問題

２けたの自然数がある。この自然数の十の位の数は一の位の数より４小さい。また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる自然数は、もとの数の２倍より１小さい。もとの自然数を求めなさい。

十の位の数をｘ、

一の位の数をｙとする。

ｘは、ｙより４小さいから

ｘ＝ｙ－４　①

もとの２けたの数は、

10ｘ＋ｙ

位の数を入れかえた２けたの数は、

10ｙ＋ｘ

（10ｙ＋ｘ）は、（10ｘ＋ｙ）の２倍より１小さいから

10ｙ＋ｘ＝２（10ｘ＋ｙ）－１　②

②より

10ｙ＋ｘ＝20ｘ＋２ｙ－１

19ｘ－８ｙ＝１　②’

①を②’に代入

19（ｙ－４）－８ｙ＝１

19ｙ－76－８ｙ＝１

11ｙ＝77

ｙ＝７

①に代入

ｘ＝７－４

　＝３

もとの２けたの数を10ｘ＋ｙとしたから

10×３＋７＝37

問題

３けたの自然数がある。この自然数は百の位の数と一の位の数が等しく、すべての位の数を加えると20になる。また、一の位の数はそのままにして、百の位の数と十の位の数を入れかえてできる自然数は、もとの自然数より180大きい。もとの自然数を求めなさい。

百と一の位の数をそれぞれｘ、

十の位の数をｙとする。

すべての位の数の和が20だから

２ｘ＋ｙ＝20　①

入れかえてできる自然数は、

100ｙ＋10ｘ＋ｘ

＝11ｘ＋100ｙ

もとの自然数は、

100ｘ＋10ｙ＋ｘ

＝101ｘ＋10ｙ

よって、

11ｘ＋100ｙ＝101ｘ＋10ｙ＋180　②

②より

－90ｘ＋90ｙ＝180

両辺÷90

－ｘ＋ｙ＝２　②’

①－②’

　　２ｘ＋ｙ＝20

－）－ｘ＋ｙ＝２

　　３ｘ　　＝18

ｘ＝６

②’に代入

－６＋ｙ＝２

ｙ＝８

よって、もとの自然数は、

101ｘ＋10ｙ

＝101×６＋10×８

＝686

問題

Ａ町からＢ町を経てＣ町までの道のりは16kmである。Ａ町を出発してＣ町に向かった人が、途中のＢ町までは毎時４kmの速さで、Ｂ町からＣ町までは毎時３kmの速さで歩いて合計４時間半かかった。Ａ町からＢ町、Ｂ町からＣ町までの道のりをそれぞれ求めなさい。

Ａ町からＢ町までをｘkm、

Ｂ町からＣ町までをｙkmとする。

合わせて16kmだから

ｘ＋ｙ＝16　①

ｘkmを毎時４km進む時間は、

ｘ÷４＝ｘ／４時間

ｙkmを毎時３km進む時間は、

ｙ÷３＝ｙ／３時間

合わせて４時間半かかるから

（ｘ/４）＋（ｙ/３）＝4と1/2　②

②より

（ｘ/４）＋（ｙ/３）＝9/2

両辺×12

３ｘ＋４ｙ＝54　②’

①×３－②’

　　３ｘ＋３ｙ＝48

－）３ｘ＋４ｙ＝54

　　　　　－ｙ＝－６

　　　　　　ｙ＝６

①に代入

ｘ＋６＝16

ｘ＝10

よって、

Ａ町からＢ町まで　10km

Ｂ町からＣ町まで　６km

問題

次の２組のｘ、ｙについての連立方程式が同じ解をもつとき、ａ、ｂの値を求めなさい。

１組目

６＋２（ｘ－ｙ）＝ｘ

ａｘ－ｂｙ＝－６

２組目

３ｘ－２ｙ＝２

ｂｘ＋２ｙ＝２

６＋２（ｘ－ｙ）＝ｘ　①

ａｘ－ｂｙ＝－６　②

３ｘ－２ｙ＝２　③

ｂｘ＋２ｙ＝２　④

①より

６＋２ｘ－２ｙ＝ｘ

ｘ－２ｙ＝－６　①’

①’－③より

　　　ｘ－２ｙ＝－６

－）３ｘ－２ｙ＝２

　－２ｘ　　　＝－８

　　　　　　ｘ＝４

①’に代入

４－２ｙ＝－６

ｙ＝５

④に、ｘ＝４、ｙ＝５を代入

４ｂ＋10＝２

ｂ＝－２

②に、

ｂ＝－２、ｘ＝４、ｙ＝５を代入

４ａ＋10＝－６

ａ＝－４

よって、

ａ＝－４、ｂ＝－２

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苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

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（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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