連立方程式の文章題

たむかい学習教室
7月9日
読了時間: 9分

連立方程式の文章題

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

連立方程式では、加減法や代入法の計算学習から文章題の学習に入っています。問題文を式にするときには、文を区切りながら等しい関係を見つけ出すことがポイントになります。

連立方程式の前に

方程式のつくり方

問題

同じ値段のドーナツ３個と、120円の缶ジュースを１本買うと、全部で510円だった。ドーナツ１個の値段を求めなさい。

「〇〇を求めなさい」

→ 〇〇を”ｘ”にする

ドーナツ１個の値段をｘ円とする

ドーナツ３個の合計金額

３×ｘ＝３ｘ（円）

ジュースの合計金額

120×1＝120（円）

合わせて510円だから、

３ｘ＋120＝510

３ｘ＝390

ｘ＝130

よって、130円

問題

家から駅へ行くのに、毎分90mの速さで歩くと、毎分80mの速さで歩くより５分早く到着する。家から駅までの道のりを求めなさい。

家から駅までの道のりをｘｍとする

※分速○ｍとあるから、道のりの単位はｍにする。

毎分90mでかかる時間

ｘ÷90＝ｘ／90（分）

毎分80mでかかる時間

ｘ÷80＝ｘ／80（分）

かかった時間は、毎分80mのほうが多い

→ 多い－少ない＝５

ｘ／80－ｘ／90＝５

９ｘ－８ｘ＝3600

ｘ＝3600

よって、3600m

※別解

毎分90mでかかる時間をｘ分とする

毎分80mでかかる時間は（ｘ＋５）分

毎分90mで進む道のり

90×ｘ＝90ｘ（m）

毎分80mで進む道のり

80×（ｘ＋５）

＝80（ｘ＋５）（m）

進む道のりは同じだから、

90ｘ＝80（ｘ＋５）

９ｘ＝８ｘ＋40

ｘ＝40

毎分90mで40分かかるから、

90×40＝3600

よって、3600m

問題

ある数に５を加えて３倍しようとしたが、ある数から５をひいて６倍したので計算の結果が15大きくなった。ある数を求めなさい。

ある数をｘとする

５加えて３倍した数

（ｘ＋５）×３

５ひいて６倍した数

（ｘ－５）×６

６（ｘ－５）のほうが大きい

→ 大きい－小さい＝15

６（ｘ－５）－３（ｘ＋５）＝15

両辺÷３

２（ｘ－５）－（ｘ＋５）＝５

２ｘ－10－ｘ－５＝５

ｘ＝20

よって、20

連立方程式の文章題

問題

２つの自然数がある。２つの自然数の和は25である。また、小さいほうの自然数を２倍すると、大きいほうの自然数より２大きくなる。小さいほうの自然数をｘ、大きいほうの自然数より２大きくなる。小さいほうの自然数をｘ、大きいほうの自然数をｙとして、次の問いに答えなさい。

1）２つの自然数についての連立方程式をつくりなさい。

2）２つの自然数を求めなさい。

ポイント

☆２つの自然数はｘとｙ

☆２つの自然数の和は25

☆小さい自然数の２倍は、大きい自然数より２大きい。

1）

ｘとｙの和は25だから、

ｘ＋ｙ＝25

小さい自然数を２倍した数　２ｘ

大きい自然数より２大きい数　ｙ＋２

２ｘ＝ｙ＋２

よって、

ｘ＋ｙ＝25

２ｘ＝ｙ＋２

2）

ｘ＋ｙ＝25　①

２ｘ＝ｙ＋２　②

②より

ｙ＝２ｘ－２

①のｙに代入

ｘ＋（２ｘ－２）＝25

３ｘ＝27

ｘ＝９

①に代入

９＋ｙ＝25

ｙ＝16

よって、９と16

※自然数：０以外の正の整数

問題

２つの自然数がある。小さいほうの自然数を４倍すると、大きいほうの自然数より８大きくなる。また、小さいほうの自然数を６倍すると、大きいほうの自然数の２倍より10小さくなる。小さいほうの自然数をｘ、大きいほうの自然数をｙとして、次の問いに答えなさい。

1）２つの自然数についての連立方程式をつくりなさい。

2）２つの自然数を求めなさい。

1）

小さい自然数を４倍した数　４ｘ

大きい自然数より８大きい数　ｙ＋８

４ｘ＝ｙ＋８

小さい自然数を６倍　６ｘ

大きい自然数の２倍より10小さい　２ｙ－10

６ｘ＝２ｙ－10

よって、

４ｘ＝ｙ＋８

６ｘ＝２ｙ－10

2）

４ｘ＝ｙ＋８　①

６ｘ＝２ｙ－10　②

①より

ｙ＝４ｘ－８　①’

②の両辺÷２

３ｘ＝ｙ－５

ｙに４ｘ－８を代入

３ｘ＝（４ｘ－８）－５

ｘ＝13

①’に代入

ｙ＝４×13－８

ｙ＝44

よって、13と44

問題

２けたの自然数がある。この自然数の十の位の数は、一の位の数より２小さい。また、この自然数を２倍すると、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数より６大きくなる。もとの自然数の十の位の数をｘ、一の位の数をｙとして、もとの自然数を求めなさい。

ポイント

☆十の位の数がｘ、一の位の数がｙ

☆２けたの自然数は、10ｘ＋ｙ

☆位を入れかえた自然数は、10ｙ＋ｘ

ｘはｙより２小さいから

ｘ＝ｙ－２　①

位を入れかえる前の数は、

十の位がｘ、一の位がｙだから

10×ｘ＋1×ｙ＝10ｘ＋ｙ

位を入れかえた後の数は、

十の位がｙ、一の位がｘだから

10×ｙ＋1×ｘ＝10ｙ＋ｘ

問題文より

２（10ｘ＋ｙ）＝（10ｙ＋ｘ）＋６　②

②より

20ｘ＋２ｙ＝10ｙ＋ｘ＋６

19ｘ－８ｙ＝６

ｘにｙ－２を代入

19（ｙ－２）－８ｙ＝６

19ｙ－38－８ｙ＝６

11ｙ＝44

ｙ＝４

①に代入

ｘ＝４－２

ｘ＝２

もとの自然数は10ｘ＋ｙだから、

10×２＋４＝24

よって、24

問題

２けたの自然数がある。この自然数の十の位の数の３倍は、一の位の数より２大きい。また、この自然数の２倍は、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数より１大きくなる。もとの自然数を求めなさい。

もとの自然数の、十の位の数をｘ、一の位の数をｙとする。

３ｘ＝ｙ＋２　①

２（10ｘ＋ｙ）＝（10ｙ＋ｘ）＋１　②

①より

ｙ＝３ｘ－２　①’

②より

20ｘ＋２ｙ＝10ｙ＋ｘ＋１

19ｘ－８ｙ＝１

ｙに３ｘ－２を代入

19ｘ－８（３ｘ－２）＝１

19ｘ－24ｘ＋16＝１

－５ｘ＝－15

ｘ＝３

①’に代入

ｙ＝９－２

ｙ＝７

もとの自然数を10ｘ＋ｙとしたから、

10×３＋７＝37

よって、37

途中の計算では、代入法で求めた方が手間が省けることもある。

連立方程式では、筆算型の加減法でない計算手順があることも押さえておく。

問題

花子さんの家から学校までの道のりは1200mである。ある朝、花子さんは、学校の始業時刻の17分前に家を出て、途中のＡ地点までは分速100mで走り、Ａ地点から学校までは分速60mで歩いたところ、始業時刻の２分前に学校に到着した。花子さんの家からＡ地点までの道のりは何mか、求めなさい。

家からＡ地点までをｘm、Ａ地点から学校までをｙmとする。

道のりの合計は1200mだから、

ｘ＋ｙ＝1200　①

ｘmの道のりを分速100mで進んだから、かかる時間は、

ｘ÷100＝ｘ／100（分）

ｙmの道のりを分速60mで進んだから、かかる時間は、

ｙ÷60＝ｙ／60（分）

時間の合計は15分（17－2）だから、

ｘ／100＋ｙ／60＝15　②

②より

３ｘ＋５ｙ＝4500　②’

①×３－②’

　　３ｘ＋３ｙ＝3600

－）３ｘ＋５ｙ＝4500

　　　　－２ｙ＝－900

　　　　　　ｙ＝450

①に代入

ｘ＋450＝1200

ｘ＝750

家からＡ地点までの距離をｘmとしたから、

750m

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