連立方程式の文章題⑤

たむかい学習教室
7月25日
読了時間: 10分

連立方程式の文章題⑤

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中２数学では、連立方程式の加減法や代入法の計算学習から、文章題の学習に入っています。問題文を式にするときには、文を区切りながら等しい関係を見つけ出すことがポイントになります。

方程式のつくり方

例題

50円硬貨と100円硬貨があわせて12枚あります。合計金額は900円です。50円硬貨と100円硬貨はそれぞれ何枚ありますか。

問題文（文末）にある

「○○はそれぞれいくつあるか」

「○○をそれぞれ求めなさい」

👉求める○○の数量を文字で表す

50円をｘ枚、100円をｙ枚とする。

枚数の式

ｘ＋ｙ＝12（枚）

金額の式

50ｘ＋100ｙ＝900（円）

👉表や式を作るときは「単位」を付けて書く。文字式が何を求めるための式かをはっきりさせる。

演習問題

問題

家から2.8km離れた駅へ行くのに、はじめは分速80ｍで歩いていたが、途中から２倍の速さで走ったので、20分で着いた。歩いた時間をｘ分、走った時間をｙ分として、それぞれにかかった時間を求めなさい。

歩いた場合

分速80ｍで、ｘ分歩く。

歩いた道のりは、

80×ｘ＝80ｘ（ｍ）

走った場合

分速80×２ｍで、ｙ分歩く。

走った道のりは、

160×ｙ＝160ｙ（ｍ）

道のりの合計は、

2.8km＝2800ｍだから、

80ｘ＋160ｙ＝2800　①

かかった時間の合計は20分だから、

ｘ＋ｙ＝20　②

①÷80－②

　　ｘ＋２ｙ＝35

－）ｘ＋　ｙ＝20

　　　　　ｙ＝15

②に代入

ｘ＋15＝20

ｘ＝５

よって、

歩いた時間　５分

走った時間　15分

問題

家を出発し、７分歩いて６分走ると、1500ｍ離れた公園に着く。また、13分歩いて４分走っても、同じ公園に着く。このとき、歩く速さと走る速さをそれぞれ求めなさい。ただし、歩く速さ、走る速さはそれぞれ一定とする。

歩く速さを分速ｘｍ、

走る速さを分速ｙｍとする。

７分歩いて６分走る場合

分速ｘｍで、７分歩く。

歩いた道のりは、

ｘ×７＝７ｘ（ｍ）

分速ｙｍで、６分走る。

走った道のりは、

ｙ×６＝６ｙ（ｍ）

道のりの合計は1500ｍだから、

７ｘ＋６ｙ＝1500　①

13分歩いて４分走る場合

1500ｍ先の同じ公園に着くから、

13ｘ＋４ｙ＝1500　②

①×２－②×３

　　14ｘ＋12ｙ＝3000

－）39ｘ＋12ｙ＝4500

　－25ｘ　　　＝－1500

　　　　　　ｘ＝60

①に代入

420＋６ｙ＝1500

６ｙ＝1080

ｙ＝180

よって、

歩く速さ　分速60ｍ

走る速さ　分速180ｍ

問題

周囲１kmの池のまわりを、Ａ、Ｂ２人がそれぞれ一定の速さで歩くとき、同時に同じ場所を出発して、反対の方向にまわると６分後に出会い、同じ方向にまわると30分後にＡがＢを１周追いぬく。２人の歩く速さをそれぞれ求めなさい。

同じ場所を出発して

「反対方向に回ると６分後に出会う」

👉ＡとＢの進んだ時間は同じ（６分間）

さらに、

👉（Ａの道のり）＋（Ｂの道のり）＝1km

「同じ方向に回ると30分後にＡが追い抜く」

👉ＡとＢの進んだ時間は同じ（30分間）

さらに、

👉（Ａの道のり）－（Ｂの道のり）＝1km

Ａの速さを時速ｘkm、

Ｂの速さを時速ｙkmとする。

反対方向に回る場合

Ａは時速ｘkmで、６分＝6/60時間進む

進んだ道のりは、

ｘ×6/60＝1/10ｘ（km）

Ｂは時速ｙkmで、６分＝6/60時間進む

進んだ道のりは、

ｙ×6/60＝1/10ｙ（km）

２人の道のりの合計が１周分だから、

1/10ｘ＋1/10ｙ＝１　①

同じ方向に回る場合

Ａは時速ｘkmで、30分＝30/60時間進む

進んだ道のりは、

ｘ×30/60＝1/2ｘ（km）

Ｂは時速ｙkmで、30分＝30/60時間進む

進んだ道のりは、

ｙ×30/60＝1/2ｙ（km）

Ａの道のりからＢの道のりをひいた分が１周分だから、

1/2ｘ－1/2ｙ＝１　②

①×10－②×２

　　ｘ＋ｙ＝10

－）ｘ－ｙ＝２

　　　２ｙ＝８

　　　　ｙ＝４

ｘ－ｙ＝２にｙ＝４を代入

ｘ－４＝２

ｘ＝６

よって、

Ａの速さ　時速６km

Ｂの速さ　時速４km

別解

Ａの速さを分速ｘｍ、

Ｂの速さを分速ｙｍとすると、

６ｘ＋６ｙ＝1000　①

30ｘ－30ｙ＝1000　②

①÷２－②÷10

　　３ｘ＋３ｙ＝500

－）３ｘ－３ｙ＝100

　　　　　６ｙ＝400

ｙ＝200/3

代入して、ｘ＝100

よって、

Ａの速さ　分速100 ｍ

Ｂの速さ　分速200/3 ｍ

問題

２つの地点Ａ、Ｂがあり、Ａ地点からＢ地点までの道のりは800ｍである。太郎さんはＡ地点からＢ地点へ向かって歩き出し、その３分後に花子さんがＢ地点からＡ地点へ向かって歩き出した。太郎さんは分速80ｍ、花子さんは分速60ｍで歩くとき、２人がそれぞれ歩き出してから出会うまでに歩いた道のりを求めなさい。

太郎がＡから、花子がＢから出発し出会う。

👉太郎の道のり＋花子の道のり＝800ｍ

太郎の３分後に花子が出発

👉太郎の歩いた時間＝花子の歩いた時間＋３分

太郎さんが歩いた道のりをｘｍ、

花子さんが歩いた道のりをｙｍとする。

出会うときは、２人が歩いた道のりの合計が、ＡＢ間の道のりになるから、

ｘ＋ｙ＝800　①

太郎さんの場合

分速80ｍで、ｘｍの道のりを歩くから、

歩いた時間は、

ｘ÷80＝ｘ／80（分）

花子さんの場合

分速60ｍで、ｙｍの道のりを歩くから、

歩いた時間は、

ｙ÷60＝ｙ／60（分）

花子さんは、太郎さんが出発した３分後に出発するから、

ｘ／80＝ｙ／60＋３　②

②×240

３ｘ＝４ｙ＋720　②’

①より

３ｘ＝2400－３ｙ　①’

②’＝①’

４ｙ＋720＝2400－３ｙ

７ｙ＝1680

ｙ＝240

①に代入

ｘ＋240＝800

ｘ＝560

よって、

太郎さん　560ｍ

花子さん　240ｍ

問題

Ａさんは、100円硬貨と50円硬貨を合わせて2000円持っている。これらをすべて10円硬貨に両替したところ、硬貨の枚数が両替する前より174枚増えた。このとき、両替する前の100円硬貨と50円硬貨の枚数をそれぞれ求めなさい。

すべて10円硬貨に両替

👉100円1枚が10枚、50円1枚が5枚になる。

両替後は両替前より174枚増えた

👉両替後の枚数－両替前の枚数＝174

100円の枚数をｘ枚、

50円の枚数をｙ枚とする。

100円がｘ枚あると、100ｘ（円）

50円がｙ枚あると、50ｙ（円）

合計2000円だから、

100ｘ＋50ｙ＝2000　①

100円を両替する場合

1枚につき、10枚に替わるから、

ｘ×10＝10ｘ（枚）

50円を両替する場合

1枚につき、５枚に替わるから、

ｙ×５＝５ｙ（枚）

両替後の枚数は、

10ｘ＋５ｙ（枚）

両替前の枚数は、ｘ＋ｙ（枚）

前後の差が174枚だから、

（10ｘ＋５ｙ）－（ｘ＋ｙ）＝174　②

①÷50

２ｘ＋ｙ＝40

ｙ＝40－２ｘ　①’

②より

９ｘ＋４ｙ＝174

ｙに40－２ｘを代入

９ｘ＋４（40－２ｘ）＝174

９ｘ＋160－８ｘ＝174

ｘ＝14

①’に代入

ｙ＝40－28

　＝12

よって、

100円硬貨　14枚

50円硬貨　 12枚

問題

２けたの自然数がある。この自然数の十の位の数の３倍は、一の位の数より２大きい。また、この自然数の２倍は、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数より１大きくなる。もとの自然数を求めなさい。

２けたの自然数

十の位をｘ、一の位をｙとすると、

👉（10ｘ＋ｙ）で表せる

位の数を入れかえた２けたの数

👉（10ｙ＋ｘ）

十の位の数の３倍は、一の位の数より２大きいから、

３ｘ＝ｙ＋２　①

位の入れかえ前の２倍の数は、入れかえ後の数より１大きいから、

２（10ｘ＋ｙ）＝（10ｙ＋ｘ）＋１　②

②より

20ｘ＋２ｙ＝10ｙ＋ｘ＋１

19ｘ－８ｙ＝１　②’

①より

ｙ＝３ｘ－２　①’

②’のｙに（３ｘ－２）を代入

19ｘ－８（３ｘ－２）＝１

19ｘ－24ｘ＋16＝１

－５ｘ＝－15

ｘ＝３

①’に代入

ｙ＝９－２

　＝７

よって、求める自然数は、37

問題

ある中学校３年生のＡ組とＢ組の生徒全員が同じ試験を受けた。その結果、Ａ組の平均点は61.6点、Ｂ組の平均点は63.1点で、２学級の生徒全員の平均点は62.4点であった。また、Ｂ組の生徒の人数はＡ組の生徒の人数より５人多い。このとき、Ａ組とＢ組の生徒の人数をそれぞれ求めなさい。

（全員の合計点）÷（人数）＝（平均点）

Ａ組の人数をｘ人、

Ｂ組の人数をｙ人とする。

Ａ組全員の合計点は、

61.6×ｘ＝61.6ｘ（点）

Ｂ組全員の合計点は、

63.1×ｙ＝63.1ｙ（点）

２学級全員の合計点は、

62.4×（ｘ＋ｙ）

＝62.4（ｘ＋ｙ）（点）

以上から、

61.6ｘ＋63.1ｙ＝62.4（ｘ＋ｙ）　①

Ｂ組の人数はＡ組より５人多いから、

ｙ＝ｘ＋５　②

①×100

616ｘ＋631ｙ＝624ｘ＋624ｙ

８ｘ－７ｙ＝０

ｙに（ｘ＋５）を代入

８ｘ－７（ｘ＋５）＝０

８ｘ－７ｘ－35＝０

ｘ＝35

②に代入

ｙ＝35＋５

　＝40

よって、

Ａ組　35人

Ｂ組　40人

問題

Ａ中学校の３年前の生徒は、男女合わせて560人であった。今年は、３年前の生徒数と比べて男子は18％の減少、女子は10％の増加で、男女合わせると５％の減少であった。今年のＡ中学校の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。

３年前の男子の人数をｘ人、

３年前の女子の人数をｙ人とする。

３年前は男女合わせて560人だから、

ｘ＋ｙ＝560　①

男子

３年前から減少した分は18％

実際に減少した分の人数は、

ｘ×（－18/100）

＝－18/100ｘ（人）

女子

３年前から増加した分は10％

実際に増加した分の人数は、

ｙ×（＋10/100）

＝10/100ｙ（人）

全体

３年前から減少した分は５％

実際に減少した分の人数は、

560×（－5/100）

＝－20（人）

よって、

－18/100ｘ＋10/100ｙ＝－28　②

②×（－100）

18ｘ－10ｙ＝2800

両辺÷２

９ｘ－５ｙ＝1400　②’

①×５＋②’

　　５ｘ＋５ｙ＝2800

＋）９ｘ－５ｙ＝1400

　　14ｘ　　　＝4200

　　　　　　ｘ＝300

①に代入

300＋ｙ＝560

ｙ＝260

よって、

今年の男子の人数は、

300×（100/100－18/100）

＝300×82/100

＝246（人）

今年の女子の人数は、

260×（100/100＋10/100）

＝260×110/100

＝286（人）

体験学習受付中！

【たむかい学習教室】

完全1対1 個別指導

教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！

追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！

全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！

多くの生徒さんや親御さんのご期待に、本当の意味でお応えできるよう、当塾では「生徒一人に教師一人」の授業で、塾生の学習を本格的にサポートしております。

塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」

「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」

「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

完全１対１授業でホンネを解決！

★苦手の克服に最適★

★受験に強い個別指導★

★経験豊富な講師の一貫指導★

★安心の授業料で全力サポート★

★苦手の克服に最適★

　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。

★受験に強い個別指導★

　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。

★経験豊富な講師の一貫指導★

　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。

★安心の授業料で全力サポート★

　入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。

　＜１か月授業料（税込）＞

　90分授業：14,800円（月4回）

120分授業：17,600円（月4回）

　(例)１回・90分授業の場合

　教師１名・生徒３名の複数指導

　→１名につき30分の個別指導

　指導時間3分の1、実質料金は割高に。

　　↕

　教師1名・生徒1名の完全個別指導

　⇒完全90分の個別指導（当塾）

　生徒1名に100％の指導時間

親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小

今年度塾生28名（2025年4月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

保護者面談の日程調整

↓

保護者面談（40分程度）

お子様の受講に関わるご説明

保護者の方からのご相談・ご要望

↓

受講開始手続き

体験学習・実施日時はこちら

塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

受講に関するお問い合わせ

ご相談はお気軽にお尋ねください