- たむかい学習教室
- 5 時間前
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連立方程式の文章題 練習問題
新学期を迎えています。塾生からは、連立方程式の「文章題」に関する質問が多く、文の読み解き方と式の立て方のコツについて解説しています。
問題
Ａさんはドライブに出かけた。目的地まで、高速道路は時速80km、ふつうの道路は時速40kmで走り、全体では３時間かかった。走った道のりが全部で200kmとすると、高速道路とふつうの道路は、それぞれ何kmか、求めなさい。
走行した高速道路の距離をｘkm、
ふつうの道路の距離をｙkmとする
合わせて200kmだから
ｘ＋ｙ＝200 ①
高速道路を走行した時間は
ｘkmを時速80kmで進むから
ｘ/80 時間
ふつうの道路を走行した時間は
ｙkmを時速40kmで進むから
ｙ/40 時間
合わせて３時間かかるから
（ｘ/80）＋（ｙ/40）＝３ ②
②×80
ｘ＋２ｙ＝240 ②’
②’－①
ｘ＋２ｙ＝240
－）ｘ＋ ｙ＝200
ｙ＝40
①に代入
ｘ＋40＝200 ｘ＝160
よって、
高速道路 160km
ふつうの道路 40km
問題
あるお店の特売日に、お弁当とお茶を１つずつ買った。お弁当は定価の10％引き、お茶は定価の20％引きだった。代金の合計は528円で、定価で買うより72円安くなった。お弁当とお茶の定価は、それぞれ何円か、求めなさい。
定価をお弁当ｘ円、お茶ｙ円とする
定価のときの合計は、528＋72＝600 円
よって、
ｘ＋ｙ＝600 ①
定価ｘ円の10％引きは
ｘ×｛（100/100）－（10/100）｝
＝（90/100）ｘ 円
定価ｙ円の20％引きは
ｙ×｛（100/100）－（80/100）｝
＝（80/100）ｙ 円
割引のときの合計は528円だから
（90/100）ｘ＋（80/100）ｙ＝528 ②
② 左辺を10で約分
（9/10）ｘ＋（8/10）ｙ＝528
両辺×10
９ｘ＋８ｙ＝5280 ②’
②’－①×８
９ｘ＋８ｙ＝5280
－）８ｘ＋８ｙ＝4800
ｘ ＝480
①に代入
480＋ｙ＝600 ｙ＝120
よって、
お弁当 480円
お茶 120円
※別解
割引した分の金額で立式する
ｘ円の10％にあたる金額は
ｘ×（10/100）＝（10/100）ｘ 円
ｙ円を20％にあたる金額は
ｙ×（20/100）＝（20/100）ｙ 円
合わせて72円だから
（10/100）ｘ＋（20/100）ｙ＝72 ②
②より
ｘ＋２ｙ＝720 ②’
②’－①
ｘ＋２ｙ＝720
－）ｘ＋ ｙ＝600
ｙ＝120
①に代入
ｘ＋120＝600 ｘ＝480
問題
Ａさんの家では、毎日500円硬貨か100円硬貨のどちらか１枚を貯金箱に入れている。貯金を始めて４週間でちょうど10000円ためるには、500円硬貨、100円硬貨をそれぞれ何日入れればよいか、求めなさい。
500円を入れる日数をｘ日、
100円を入れる日数をｙ日とする
合わせて４週間＝28日だから
ｘ＋ｙ＝28 ①
500円をｘ日間入れたときの額は
500×ｘ＝500ｘ 円
100円をｙ日間入れたときの額は
100×ｙ＝100ｙ 円
合わせて10000円のときだから
500ｘ＋100ｙ＝10000 ②
②÷100
５ｘ＋ｙ＝100 ②’
②’－①
５ｘ＋ｙ＝100
－） ｘ＋ｙ＝28
４ｘ ＝72
ｘ＝18
①に代入
18＋ｙ＝28 ｙ＝10
よって、
500円硬貨 18日
100円硬貨 10日
問題
ある博物館の大人１人の入館料は、中学生１人の入館料より150円高い。この博物館に大人４人と中学生６人で入ったら、入館料の合計は2500円だった。大人１人と中学生１人の入館料をそれぞれ求めなさい。
大人１人をｘ円、中学生１人をｙ円とする
大人は（＝）中学生より150円高い（＋150）
よって、
ｘ＝ｙ＋150 ①
大人４人で４ｘ円、中学生６人で６ｙ円
合わせて2500円だから
４ｘ＋６ｙ＝2500 ②
①の ｙ＋150 を、②のｘに代入
４（ｙ＋150）＋６ｙ＝2500
４ｙ＋600＋６ｙ＝2500
10ｙ＝1900 ｙ＝190
①に代入
ｘ＝190＋150＝340
よって、
大人 340円
中学生 190円
問題
連立方程式
５ｘ－３ｙ＝18
ａｘ－６ｙ＝－６
の解の比が、ｘ：ｙ＝３：２であるとき、ａの値を求めなさい。
ｘ：ｙ＝３：２より
３ｙ＝２ｘ
５ｘ－３ｙ＝18 の３ｙに２ｘを代入
５ｘ－２ｘ＝18
３ｘ＝18 ｘ＝６
５ｘ－３ｙ＝18 のｘに６を代入
５×６－３ｙ＝18
30－３ｙ＝18
－３ｙ＝－12 ｙ＝４
ａｘ－６ｙ＝－６ に
ｘ＝６、ｙ＝４を代入
ａ×６－６×４＝－６
６ａ－24＝－６
６ａ＝18
よって、ａ＝３
問題
次の連立方程式を解きなさい。
0.4ｘ－0.1ｙ＝1.3
４ｘ－１＝－ｙ/３
0.4ｘ－0.1ｙ＝1.3 ①
４ｘ－１＝－ｙ/３ ②
①×10
４ｘ－ｙ＝13 ①’
②×３
12ｘ－３＝－ｙ ②’
①’の－ｙに 12ｘ－３ を代入
４ｘ＋（12ｘ－３）＝13
16ｘ＝16 ｘ＝１
①’に代入
４×１－ｙ＝13
－ｙ＝９ ｙ＝－９
よって、
ｘ＝１、ｙ＝－９
問題
ある中学校では、去年の美術部と吹奏楽部の部員数の合計は、80人だった。今年は、美術部が10％増え、逆に吹奏楽部が10％減ったため、全体で２人減った。今年の美術部と吹奏楽部、それぞれの部員数を求めなさい。
昨年の美術部員をｘ人、
吹奏楽部員をｙ人とする
合わせて80人だったから
ｘ＋ｙ＝80 ①
昨年と比べた増減分は
美術部が、昨年ｘ人の＋10％分
ｘ×（10/100）
＝（10/100）ｘ 人
吹奏楽部が、昨年ｙ人の－10％分
ｙ×（－10/100）
＝（－10/100）ｙ 人
合わせて－２人だから
（10/100）ｘ＋（－10/100）ｙ＝－２ ②
②左辺を10で約分、両辺×10
ｘ－ｙ＝－20 ②’
①＋②’
ｘ＋ｙ＝80
＋） ｘ－ｙ＝－20
２ｘ ＝60
ｘ＝30
①に代入
30＋ｙ＝80 ｙ＝50
美術部の昨年と比べた増加分は
（10/100）ｘ
＝（10/100）×30＝３人
今年の美術部員は、30＋３＝33人
吹奏楽部の昨年と比べた減少分は
（－10/100）ｙ
＝（－10/100）×50＝－５人
今年の吹奏楽部員は、50－５＝45人
よって、
今年の美術部員 33人
今年の吹奏楽部員 45人
問題
周囲が3600mの池がある。この池を、Ａは自転車で、Ｂは徒歩でまわる。同じところを同時に出発して、反対の方向にまわると、15分後にはじめて出会う。また、同じ方向にまわると、ＡはＢに30分後にはじめて追いつく。Ａ、Ｂそれぞれの速さは分速何mか、求めなさい。
それぞれの速さを、
Ａを分速ｘm、Ｂを分速ｙmとする
反対方向にスタートしたとき
それぞれ進んだ道のりは、
Ａは分速ｘmで15分進むから
ｘ×15＝15ｘ m
Ｂは分速ｙmで15分進むから
ｙ×15＝15ｙ m
合わせて3600mだから
15ｘ＋15ｙ＝3600 ①
同じ方向にスタートしたとき
それぞれ進んだ道のりは
Ａは分速ｘmで30分進むから
ｘ×30＝30ｘ m
Ｂは分速ｙmで30分進むから
ｙ×30＝30ｙ m
Ａは、Ｂより30ｙm多く進んだから
Ａの距離からＢの距離を引くと池１周分になる
30ｘ－30ｙ＝3600 ②
①÷15
ｘ＋ｙ＝240 ①’
②÷30
ｘ－ｙ＝120 ②’
①’＋②’
ｘ＋ｙ＝240
＋）ｘ－ｙ＝120
２ｘ ＝360
ｘ＝180
①’に代入
180＋ｙ＝240 ｙ＝60
よって、
Ａ 分速180m
Ｂ 分速60m
問題
８％の食塩水ｘｇと３％の食塩水ｙｇを混ぜて、６％の食塩水を500ｇつくる。ｘ、ｙの値をそれぞれ求めなさい。
食塩水の重さの式は
ｘ＋ｙ＝500 ①
「食塩」の重さの式をつくる
ｘｇの８％分は
ｘ×（8/100）＝（8/100）ｘｇ
ｙｇの３％分は
ｙ×（3/100）＝（3/100）ｙｇ
500ｇの６％分は
500×（6/100）＝30ｇ
（8/100）ｘ＋（3/100）ｙ＝30 ②
②×100
８ｘ＋３ｙ＝3000 ②’
②’－①×３
８ｘ＋３ｙ＝3000
－）３ｘ＋３ｙ＝1500
５ｘ ＝1500
ｘ＝300
①に代入
300＋ｙ＝500 ｙ＝200
よって、
ｘ＝300、ｙ＝200
問題
Ａさんは、カルシウムが多くとれる副菜を考えた。副菜「こまつなとしらす干しの和え物」50ｇでカルシウムを112 mｇとるには、こまつなとしらす干しをそれぞれ何ｇにすればよいか、下の表をもとに求めなさい。
こまつなをｘg、しらす干しをｙgとする
ｘgとｙgを和えて50gになるから
ｘ＋ｙ＝50 ①
こまつな100gあたりのカルシウム量は
150mg÷100＝1.5mg
こまつなｘgでは、1.5ｘ mg
しらす干し100gあたりのカルシウム量は
520mg÷100＝5.2mg
しらす干しｙgでは、5.2ｙ mg
合わせて112mgだから
1.5ｘ＋5.2ｙ＝112 ②
②×10
15ｘ＋52ｙ＝1120 ②’
②’－①×15
15ｘ＋52ｙ＝1120
－）15ｘ＋15ｙ＝750
37ｙ＝370
ｙ＝10
①に代入
ｘ＋10＝50 ｘ＝40
よって、
こまつな 40ｇ
しらす干し 10ｇ
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
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通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
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入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
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苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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