関数
ｙをｘの式で表す関数は、どちらかの値が１つに決まると、もう一方の値も１つに決まるというｘとｙの値の関係のことです。おもに中学から高校までの６年間の数学で学習します。
問題
次の比例を表す式ア～エについて、次の問いに答えなさい。
ア ｙ＝（2/3）ｘ
イ ｙ＝（－2/3）ｘ
ウ ｙ＝２ｘ
エ ｙ＝－２ｘ
1）ｘの値が１増加するとｙの値が２減少するものを選びなさい。
2）グラフが右下がりであるものをすべて選びなさい。
1）
ｙ＝ａｘ
ａ＝ｙの増加量/ｘの増加量
－2/1＝－２
よって、エ
2）
直線の傾きが負だから
イ、エ
問題
はじめに250Ｌの水が入っているお風呂から、水を毎分ｘＬの割合でぬいていくと、空になるまでｙ分かかるとする。このとき、ｙをｘの式で表しなさい。
毎分：１分ごと、１分ずつ
仮に、250Ｌを１分毎に10Ｌで抜くと
250÷10＝25分かかる
ｘが10で、ｙが25のことだから
250÷ｘ＝ｙ
ｙ＝250/ｘ
問題
下の直線は、ｙ＝ａｘのグラフで、点Ａ（－４，２）を通っている。また、Ｂ（－４，０）、Ｃ（０，２）のとき、あとの問いに答えなさい。
1）ａの値を求めなさい。
2）４点Ａ、Ｂ、Ｏ、Ｃを結んでできる四角形ＡＢＯＣの面積を求めなさい。
1）
原点と（－４，２）を通る直線だから
ａ＝－2/4＝－1/2
👉ａ＝ｙの増加量/ｘの増加量
2）
点ＡとＢのｘ座標は同じだから
ＡＢはｙ軸に平行
点ＡとＣのｙ座標は同じだから
ＡＣはｘ軸に平行
ｘ軸とｙ軸は垂直に交わるから
ＡＢ⊥ＡＣ、ＢＯ⊥ＣＯ
また、
ＡＢ＝ＣＯ、ＡＣ＝ＢＯ
よって、四角形ＡＢＯＣは長方形
ＡＢ＝２－０＝２、
ＡＣ＝０－（－４）＝４だから
２×４＝８
問題
次のとき、ｘとｙの関係を式で表しなさい。
1）ｙはｘに比例し、ｘ＝２のときｙ＝６
2）ｙはｘに反比例し、ｘ＝２のときｙ＝６
3）ｙはｘの１次関数で、ｘ＝２のときｙ＝６で、ｘ＝５のときｙ＝０
1）
ｙはｘに比例👉ｙ＝ａｘ
ｘ＝２、ｙ＝６を代入
６＝２ａ ａ＝３
ｙ＝３ｘ
2）
ｙはｘに反比例👉ｙ＝ａ/ｘ
ａはｘとｙの積
２×６＝12
ｙ＝12/ｘ
3）
ｙはｘの１次関数👉ｙ＝ａｘ＋ｂ
ｘの増加量 ５－２＝３
ｙの増加量 ０－６＝－６
ａ＝－6/3＝－２
ｙ＝－２ｘ＋ｂ
ｘ＝５、ｙ＝０を代入
０＝－10＋ｂ ｂ＝10
ｙ＝－２ｘ＋10
問題
1）ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝２のときｙ＝－８である。ｙ＝－18のとき、ｘの値を求めなさい。
2）ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝３のときｙ＝－36である。ｙ＝－81のとき、ｘの値を求めなさい。
1）
ｙはｘの２乗に比例👉ｙ＝ａｘ²
ｘ＝２、ｙ＝－８を代入
－８＝４ａ ａ＝－２
ｙ＝－２ｘ²にｙ＝－18を代入
－18＝－２ｘ²
ｘ²＝９
ｘ＝±３
2）
ｙ＝ａｘ²に
ｘ＝３、ｙ＝－36を代入
－36＝９ａ ａ＝－４
ｙ＝－４ｘ²にｙ＝－81を代入
－81＝－４ｘ²
ｘ²＝81/4
ｘ＝±9/2
問題
方程式ａｘ＋５ｙ＝１のグラフと直線ｙ＝３ｘ＋４が平行であるとき、ａの値を求めなさい。
ａｘ＋５ｙ＝１より
５ｙ＝－ａｘ＋１
傾き －ａ/５
ｙ＝３ｘ＋４の傾き３と同じだから
－ａ/５＝３
ａ＝－15
問題
下の図のように、直線ｙ＝２ｘ－４と直線ℓが点Ｐで交わっている。あとの問いに答えなさい。
1）直線ℓの式を求めなさい。
2）２直線の交点Ｐの座標を求めなさい。
1）
グラフから
ｘの増加量は５、ｙの増加量は－５だから
傾き －5/5＝－１
切片は５だから
ｙ＝－ｘ＋５
2）
ｙ＝２ｘ－４ ①
ｙ＝－ｘ＋５ ②
２つの式の連立方程式により
２ｘ－４＝－ｘ＋５
３ｘ＝９ ｘ＝３
②に代入
ｙ＝－３＋５＝２
よって、（３，２）
問題
ｙ＝（2/3）ｘ－２のグラフが、ｘ軸と点Ａで交わっている。点Ａの座標を求めなさい。
点Ａはｙ＝０だから
０＝（2/3）ｘ－２
２ｘ－６＝０
２ｘ＝６ ｘ＝３
よって、（３，０）
問題
下の図について、あとの問いに答えなさい。
1）直線ℓの式を求めなさい。
2）直線mの式を求めなさい。
3）２直線ℓ、mの交点の座標を求めなさい。
1）
ｘの増加量は３、ｙの増加量は３だから
傾き ３/３＝１
切片は３だから
ｙ＝ｘ＋３
2）
ｘの増加量は２、ｙの増加量は－６だから
傾き －６/２＝－３
切片は６だから
ｙ＝－３ｘ＋６
3）
ｙ＝ｘ＋３ ①
ｙ＝－３ｘ＋６ ②
２つの連立方程式により
ｘ＋３＝－３ｘ＋６
４ｘ＝３ ｘ＝3/4
①に代入
ｙ＝（3/4）＋（12/4）＝15/4
よって、（3/4，15/4）
問題
下の図のように、点（４，０）と点（０，８）を通る直線をℓ、点（－3/2，３）を通り、傾きが2/3である直線をmとする。ℓとmの交点をＰとするとき、あとの問いに答えなさい。
1）直線mの式を求めなさい。
2）点Ｐの座標を求めなさい。
1）
ｙ＝（2/3）ｘ＋ｂとする
（－3/2，３）を通るから
３＝－１＋ｂ ｂ＝４
よって、ｙ＝（2/3）ｘ＋４
2）
直線ℓ
ｘの増加量は４、ｙの増加量は－８だから
傾き －８/４＝－２
切片は８だから
ｙ＝－２ｘ＋８ ①
ｙ＝（2/3）ｘ＋４ ②
２つの式の連立方程式により
（2/3）ｘ＋４＝－２ｘ＋８
２ｘ＋12＝－６ｘ＋24
８ｘ＝12 ｘ＝3/2
②に代入
ｙ＝１＋４＝５
よって、（3/2，５）
問題
ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝２のときｙ＝－12である。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）ｘ＝－４のときのｙの値を求めなさい。
3）ｙ＝－75のときのｘの値を求めなさい。
1）
ｙ＝ａｘ²とする
ｘ＝２、ｙ＝－12を代入
－12＝４ａ ａ＝－３
よって、ｙ＝－３ｘ²
2）
ｙ＝－３ｘ²にｘ＝－４を代入
ｙ＝－３×16＝－48
よって、ｙ＝－48
3）
ｙ＝－３ｘ²にｙ＝－75を代入
－75＝－３ｘ²
ｘ²＝25
よって、ｘ＝±５
問題
関数ｙ＝ａｘ²のグラフは点（３，３）を通る。
1）ａの値を求めなさい。
2）この関数のグラフが点（－６，ｍ）を通るとき、ｍの値を求めなさい。
1）
ｙ＝ａｘ²に
ｘ＝３、ｙ＝３を代入
３＝９ａ
ａ＝1/3
2）
ｙ＝（1/3）ｘ²に
ｘ＝－６、ｙ＝ｍを代入
ｍ＝（1/3）×36＝12
よって、ｍ＝12
問題
ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝－４のときｙ＝－８である。ｘ＝６のときのｙの値を求めなさい。
ｙ＝ａｘ²に
ｘ＝－４、ｙ＝－８を代入
－８＝16ａ ａ＝－1/2
ｙ＝（－1/2）ｘ²にｘ＝６を代入
ｙ＝（－1/2）×36＝－18
よって、－18
問題
下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上に、２点Ａ、Ｂがあり、点Ａの座標は（－４，８）、点Ｂのｘ座標は２である。
1）ａの値を求めなさい。
2）直線ＡＢの式を求めなさい。
3）△ＡＯＢの面積を求めなさい。
1）
Ａ（－４，８）はｙ＝ａｘ²上にあるから
８＝16ａ
ａ＝1/2
2）
点Ｂはｙ＝（1/2）ｘ²上にありｘ＝２だから
ｙ＝（1/2）×４＝２
Ａ（－４，８）とＢ（２，２）を通る直線
ｘの増加量 ２－（－４）＝６
ｙの増加量 ２－８＝－６
傾き －６/６＝－１
ｙ＝－ｘ＋ｂとする
（２，２）を通るから
２＝－２＋ｂ ｂ＝４
よって、ｙ＝－ｘ＋４
3）
直線ＡＢとｙ軸の交点をＣとする
△ＯＡＣと△ＯＢＣの底辺をＯＣとする
点Ｃはｙ＝４、点Ｏはｙ＝０だから
ＯＣ＝４－０＝４
２つの三角形の高さの和は
点Ａがｘ＝－４、点Ｂがｘ＝２だから
２－（－４）＝６
よって、求める面積は
（1/2）×４×６
＝12
問題
下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²のグラフと、関数ｙ＝ｘ＋４のグラフが、２点Ａ、Ｂで交わっている。Ａ、Ｂのｘ座標がそれぞれ－２、４のとき、ａの値を求めなさい。
点Ａはｙ＝ａｘ²上にある
ｘ＝－２だから
ｙ＝ａ×（－２）²＝４ａ
ｙ＝ｘ＋４上にあるから
４ａ＝－２＋４
４ａ＝２
ａ＝1/2
※別解
点Ｂはｙ＝ａｘ²上にある
ｘ＝４だから
ｙ＝ａ×４²＝16ａ
ｙ＝ｘ＋４上にあるから
16ａ＝４＋４
16ａ＝８
ａ＝1/2
問題
下の図のように、関数ｙ＝－２ｘ²のグラフ上に、２点Ａ、Ｂがある。Ａ、Ｂのｘ座標がそれぞれ－１、３のとき、あとの問いに答えなさい。
1）２点Ａ、Ｂの座標を求めなさい。
2）２点Ａ、Ｂを通る直線の式を求めなさい。
3）△ＯＡＢの面積を求めなさい。
1）
点Ａはｙ＝－２ｘ²上にありｘ＝－１だから
ｙ＝－２×（－１）²＝－２
点Ｂはｙ＝－２ｘ²上にありｘ＝３だから
ｙ＝－２×３²＝－18
よって、
Ａ（－１，－２） Ｂ（３，－18）
2）
ｘの増加量 ３－（－１）＝４
ｙの増加量 －18－（－２）＝－16
傾き －16/4＝－４
ｙ＝－４ｘ＋ｂとする
（－１，－２）を通るから
－２＝４＋ｂ ｂ＝－６
よって、ｙ＝－４ｘ－６
3）
直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする
点Ｃはｙ＝－４ｘ－６の切片だからｙ＝－６
△ＯＡＣと△ＯＢＣの底辺をＯＣとする
点Ｏはｙ＝０だから
ＯＣ＝０－（－６）＝６
△ＯＡＣの高さは点Ａとｙ軸との距離
点Ａはｘ＝－１、ｙ軸はｘ＝０だから
高さ ０－（－１）＝１
△ＯＢＣの高さは点Ｂとｙ軸との距離
点Ｂはｘ＝３、ｙ軸はｘ＝０だから
高さ ３－０＝３
△ＯＡＢの面積は高さの和で求められるから
（1/2）×６×（１＋３）
＝12
問題
下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、ｘ座標はそれぞれ－６、４である。直線ＡＢの傾きが－1/2であるとき、ａの値を求めなさい。
点Ａはｙ＝ａｘ²上にありｘ＝－６だから
ｙ＝ａ×（－６）²＝36ａ
点Ｂはｙ＝ａｘ²上にありｘ＝４だから
ｙ＝ａ×４²＝16ａ
（－６，36ａ）と（４，16ａ）を通る直線
ｘの増加量 ４－（－６）＝10
ｙの増加量 16ａ－36ａ＝－20ａ
傾き －20ａ/10＝－２ａ
よって、
－２ａ＝－1/2
ａ＝1/4
※別解
ｙ＝ａｘ²で、ｘの値が－６から４に増加する
変化の割合は
ａ×（－６＋４）＝－２ａ
よって、
－２ａ＝－1/2
ａ＝1/4
👉放物線ＡＢ間の変化率は、直線ＡＢ間の変化率と同じ。
問題
関数ｙ＝（1/2）ｘ²について、ｘの変域が次のときのｙの変域を求めなさい。
1）２≦ｘ≦４
2）－２≦ｘ≦４
1）
放物線は上開き
ｘの値が原点から遠ざかるほど、ｙの値は大きくなる。
ｘ＝４のとき、ｙは最大
ｘ＝４を代入して、ｙ＝８
ｘ＝２のとき、ｙは最小
ｘ＝２を代入して、ｙ＝２
よって、２≦ｙ≦８
2）
ｘ＝－２とｘ＝４では、原点から遠いのはｘ＝４
ｘ＝４のとき、ｙは最大
原点（ｘ＝０）のとき、ｙは最小
ｘ＝０を代入して、ｙ＝０
よって、０≦ｙ≦８
問題
関数ｙ＝３ｘ²について、ｘの変域が－１≦ｘ≦３のときのｙの変域を求めなさい。
グラフは上開き
ｘ＝－１とｘ＝３では、原点から遠いのはｘ＝３
ｘ＝３のとき、ｙは最大
ｘ＝３を代入して、ｙ＝27
ｘ＝０のとき、ｙは最小
ｘ＝０を代入して、ｙ＝０
よって、０≦ｙ≦27
問題
関数ｙ＝ａｘ²について、ｘの変域が－１≦ｘ≦２のとき、ｙの変域は０≦ｙ≦３である。ａの値を求めなさい。
０≦ｙ≦３より、グラフは上開き
ｘ＝２のとき、ｙは最大でｙ＝３
ｙ＝ａｘ²は（２，３）を通るから
３＝４ａ
ａ＝3/4
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