関数グラフのとらえ方

たむかい学習教室
11月18日
読了時間: 8分

関数グラフのとらえ方

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

11月の中高生は期末考査対策に取り組みました。２学期後半は、各学年ともに「関数」の学習があり、出題範囲となりました。グラフを利用した出題では、座標の読み取り方や式の求め方が基本になります。

中１数学・比例

問題

下の図の比例のグラフ（1）、（2）について、比例の式を求めなさい。

原点を通る直線の式

👉ｙ＝ａｘ（ａは比例定数）

”ａ”の求め方（下図）

①直線上で、ｘとｙが整数になる点を見つける。👉点（１，－５）

②原点Ｏから、右にいくつ移動させて、上下にいくつ移動させるかを数える。👉右に１、下に５

上下に移動させた数　－５

━━━━━━━━━＝━━

右に移動させた数　　１

ａ＝－５

右に移動した数：ｘの増加量

上下に移動した数：ｙの増加量

　　ｙの増加量

ａ＝━━━━━

　　ｘの増加量

1）

ａ＝－５／１＝－５

よって、ｙ＝－５ｘ

2）

ａ＝２／５

よって、ｙ＝（2/5）ｘ

問題

下の図で、四角形ＯＡＢＣは平行四辺形である。原点と点Ｂを通る比例のグラフについて、比例の式を求めなさい。

ＯＡ＝６、ＯＡ＝ＣＢだから

ＣＢ＝６

点Ｂのｘ座標は、２＋６＝８

ｘ軸と直線ＣＢは平行だから

点Ｂのｙ座標は、Ｃと同じ４

直線の式だから、

求める式をｙ＝ａｘとする。

（８，４）を通るから

４＝ａ×８

ａ＝1/2

よって、ｙ＝（1/2）ｘ

中２数学・一次関数

問題

下の図において、２直線ℓ、mの交点の座標を求めたい。あとの問いに答えなさい。

1）直線ℓの式を求めなさい。

2）直線mの式を求めなさい。

3）２直線ℓ、mの交点の座標を求めなさい。

1）

傾きａ＝３／３＝１

ｙ切片　３

よって、ｙ＝ｘ＋３

2）

傾きａ＝－６／２＝－３

ｙ切片　６

よって、ｙ＝－３ｘ＋６

3）

交点の座標

👉２つの式のｘとｙの値がそれぞれ同じ

👉連立方程式により求める

ｘ＋３＝－３ｘ＋６

４ｘ＝３

ｘ＝3/4

ｙ＝（3/4）＋３＝15/4

よって、（3/4，15/4）

問題

下の図で、直線ℓの式はｙ＝３ｘ＋２、直線mの式はｙ＝－２ｘ＋12である。ここに直線ｎをひき、ℓ、m、nで囲まれた三角形をつくりたい。㋐～㋒のｎの式で、三角形ができないものをすべて選びなさい。

㋐　ｙ＝－２ｘ＋４

㋑　ｙ＝－３ｘ＋２

㋒　ｙ＝２ｘ＋４

ｎの式で三角形ができないとき

①　ℓ、mのどちらかと平行な直線

②　ℓ、mの交点を通る直線

①のとき

平行な直線は傾きが同じだから、㋐

②のとき

ℓとmの交点を求める

３ｘ＋２＝－２ｘ＋12

ｘ＝２

ｙ＝３×２＋２＝８

（２，８）を通る直線の式は、㋒

※ｙ＝２ｘ＋４

　８＝２×２＋４（両辺が等しい）

よって、㋐・㋒

問題

はるきさんは９時に家を出発し、９時13分に1000mはなれた駅に到着した。下のグラフは、そのときのようすを表したものである。あとの問いに答えなさい。

1）家を出発してから５分間は、分速何mで進んだか、求めなさい。

2）家から400mの店で２分間買い物をしたあと、駅に到着するまで分速何mで進んだか、求めなさい。

3）はるきさんの姉は、はるきさんが家を出発した何分かあとに家を出発し、自転車ではるきさんを追いかけた。姉が分速200mで進み、９時11分にはるきさんに追いついたとすると、姉が家を出発したのは９時何分か、求めなさい。

1）

とらえ方①

出発後５分間は、原点を通る直線だから

式は、ｙ＝ａｘ

時間をｘ分、道のりをｙmとするから

ｙ＝ａｘの「ａ」は、速さを表す。

ｘ＝５分のとき、ｙ＝400mだから

400＝ａ×５

ａ＝80

よって、分速80m

とらえ方②

　　　　ｙの増加量

速さａ＝━━━━━

　　　　ｘの増加量

（０，０）（５，400）を通るから

400－０

━━━━＝80

５－０

よって、分速80m

2）

　　　　ｙの増加量

速さａ＝━━━━━

　　　　ｘの増加量

（７，400）（13，1000）を通るから

1000－400

━━━━━＝100

13－７

よって、分速100m

※別解

店を９時７分に出発し、

駅に９時13分に着いたから

かかった時間は、

13－７＝６分

店は家から400mの地点、

駅は家から1000mの地点だから

進んだ道のりは、

1000－400＝600m

道のり÷時間＝速さだから

600÷６＝100

よって、分速100m

3）

姉についての式を、ｙ＝ａｘ＋ｂとする。

分速200mで進むから

ｙ＝200ｘ＋ｂ

（11，800）のときに追いつくから

800＝200×11＋ｂ

ｂ＝－1400

よって、ｙ＝200ｘ－1400

姉が出発するのはｙ＝０のときだから

０＝200ｘ－1400

ｘ＝７

よって、９時７分

※別解

追いつくのは家から800mの地点

分速200mで進むから、かかる時間は、

800÷200＝４分

９時11分に追いついたから

出発したのは、９時７分

中３数学

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²・・①のグラフと、関数ｙ＝（－1/2）ｘ²・・②のグラフがある。関数①のグラフ上にあり、ｘ座標が正である点Ａからｘ軸に垂線をひき、関数②のグラフと交わる点をＢとする。また、点Ａ、Ｂからそれぞれｙ軸に垂線をひき、これらが関数①、②のグラフと再び交わる点をそれぞれＣ、Ｄとする。関数①のグラフが点（２，12）を通るとき、あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）四角形ＡＣＤＢが正方形になるとき、点Ａの座標を求めなさい。

1）

ｙ＝ａｘ²は、（２，12）を通るから

12＝ａ×２²

ａ＝３

2）

とらえ方①

ＡＢ＝ＤＢだから、直線ＡＤの傾きは１

点ＡとＤの座標から

ｙの増加量

━━━━━＝１

ｘの増加量

として求める

点Ａのｘ座標をｔとする

ｙ＝３ｘ²上の点だから

ｙ座標は、３ｔ²

点Ｂのｘ座標は、Ａと同じｔ

点ＤはＢとｙ軸について対称だから

ｘ座標は、－ｔ

ｙ＝（－1/2）ｘ²上の点だから

ｙ座標は、（－1/2）ｔ²

Ａ（ｔ，３ｔ²）

Ｄ（－ｔ，（－1/2）ｔ²）

ｘの増加量

ｔ－（－ｔ）＝２ｔ

ｙの増加量

３ｔ²－｛（－1/2）ｔ²｝＝（7/2）ｔ²

よって、

（7/2）ｔ²÷２ｔ＝１

（7/4）ｔ＝１

ｔ＝4/7

よって、（4/7，48/49）

とらえ方②

ＡＢ＝ＢＤを利用して求める

点Ａのｘ座標をｔとすると

Ａのｙ座標は、３ｔ²

点Ｂのｘ座標は、Ａと同じｔ

ｙ＝（－1/2）ｘ²上の点だから

Ｂのｙ座標は、－1/2ｔ²

ＡＢは２点のｙの値の差だから

ＡＢ＝３ｔ²－｛（－1/2）ｔ²｝

　　＝（7/2）ｔ²

点ＤはＢとｙ軸について対称だから

ｘ座標は、－ｔ

ＢＤは２点のｘの値の差だから

ＢＤ＝ｔ－（－ｔ）

　　＝２ｔ

ＡＢ＝ＢＤだから

（7/2）ｔ²＝２ｔ

７ｔ²－４ｔ＝０

ｔ（７ｔ－４）＝０

ｔ＞０より、ｔ＝4/7

よって、（4/7，48/49）

高校数学・２次関数

問題

２次関数ｙ＝ｘ²－２ｍｘ－ｍ＋６のグラフとｘ軸の正の部分が、異なる２点で交わるとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。

ｘ軸の正の部分が異なる２点で交わる

1）軸の値が０より大きい

2）ｙ切片の値が０より大きい

3）ｙ＝０のとき、Ｄ＞０（異なる２つの実数解）

ｙ＝ｘ²－２ｍｘ－ｍ＋６

平方完成する

ｙ＝（ｘ－ｍ）²－ｍ²－ｍ＋６

軸は、ｘ＝ｍだから、

ｍ＞０　①

ｙ切片は、－ｍ＋６だから

－ｍ＋６＞０

よって、ｍ＜６　②

ｙ＝０のとき、すなわち

ｘ²－２ｍｘ－ｍ＋６＝０

この判別式をＤとする

Ｄ/４

＝ｍ²－（－ｍ＋６）

＝ｍ²＋ｍ－６

Ｄ＞０だから

ｍ²＋ｍ－６＞０

（ｍ＋３）（ｍ－２）＞０

よって、

ｍ＜－３、ｍ＞２　③

①、②、③の共通範囲は、

２＜ｍ＜６

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