関数高校入試対策11

たむかい学習教室
1月6日
読了時間: 9分

関数高校入試対策11

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では関数の出題があり、塾生は対策を進めています。グラフの読み取り方と式の立て方が基本になります。グラフ上の図形を利用する問題では、補助線の引き方がポイントになります。

一次関数

青森県立高校入試（2021年）

問題

ある日の午前10時に、マユさんは自宅から12000m離れた博物館へ向かった。途中、マユさんは自宅から分速75mで20分間歩いてバス停に着き、博物館行きのバスが来るまで待った。その後、博物館行きのバスに14分間乗車し、午前10時43分に博物館に到着した。下のグラフは、マユさんが自宅を出発してから博物館に到着するまでの時間（分）と自宅からの距離（m）との関係を表したものである。あとの問いに答えなさい。ただし、自宅から博物館までの道は、まっすぐであるものとする。

1）次の㋐～㋒にあてはまる数を求めなさい。

・マユさんの自宅からバス停までの距離は（㋐）mである。

・マユさんはバス停で博物館行きのバスが来るまで（㋑）分間待った。

・博物館行きのバスは分速（㋒）mで移動した。

2）マユさんの兄はマユさんが自宅を出発してから７分後に、自転車で自宅からマユさんと同じ道を通って休むことなく分速250mの一定の速さで移動し、博物館に到着した。次の①、②に答えなさい。

①　マユさんの兄が自宅を出発してから博物館に到着するまでの時間（分）と自宅からの距離（m）との関係を表すグラフをかきなさい。

②　マユさんが自宅を出発してから博物館に到着するまでの間で、マユさんとマユさんの兄の距離が最も離れたのは午前何時何分か、求めなさい。また、そのときの２人は何m離れていたか、求めなさい。

3）マユさんの兄は午前何時何分に自宅を出発していれば、マユさんと同時に博物館へ到着することができたのか、求めなさい。ただし、マユさんの兄は自宅からマユさんと同じ道を通り、2）と同じ一定の速さで博物館へ自転車で移動するものとする。

1）㋐

分速75mで20分間歩いたから

75×20＝1500m

㋑

グラフより

10時20分から29分までバス停にいたから

９分間

㋒

バス停から博物館までの距離は

12000－1500＝10500m

14分かけて到着したから

10500÷14＝750

よって、分速750m

㋐ 1500　㋑９　㋒ 750

2）①

出発時は、ｘ＝７のとき、ｙ＝０

12000mを分速250mで進んだから

かかった時間は、

12000÷250＝48分

10時７分に出発したから

到着時は、

ｘ＝55のとき、ｙ＝12000

よって、

（７，０）と（55，12000）を通る直線

2）②

兄の進むようすを表す式を求める

分速250mで進んだから

直線の傾きは、250

切片の値をｂとすると

ｙ＝250ｘ＋ｂ

（７，０）を通るから

０＝250×７＋ｂ

ｂ＝－1750

よって、

ｙ＝250ｘ－1750

マユさんと兄のグラフより

ｘ＝29のとき、ｙの値の差が最大になる。

マユさんは、

ｘ＝29のとき、ｙ＝1500

兄は、

ｘ＝29のとき

ｙ＝250×29－1750＝5500

よって、

5500－1500＝4000m

答え　10時29分で4000m

3）

兄は10時55分、

マユさんは10時43分に到着したから

兄は12分遅れで到着した。

よって、

10時７分より12分前に出発すればよいから

９時55分

二次関数

問題

関数ｙ＝－２ｘ²について、ｘの変域が－１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めなさい。

放物線は下開き（上に凸）だから

ｘの絶対値が大きいほうが、

ｙの値が最小になる。

ｘ＝３のとき、

ｙ＝－２×３²＝－18

ｘ＝０のとき、ｙ＝０で最大だから

－18≦ｙ≦０

問題

次の問いに答えなさい。

1）関数ｙ＝３ｘ²で、ｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

2）関数ｙ＝ａｘ²において、ｘの値が２から６まで増加するときの変化の割合が－４である。このとき、ａの値を求めなさい。

3）関数ｙ＝ｘ²について、ｘがａからａ＋５まで増加するとき、変化の割合は７である。このとき、ａの値を求めなさい。

1）

ｘ＝１のとき、ｙ＝３×１²＝３

ｘ＝３のとき、ｙ＝３×３²＝27

ｘの増加量　３－１＝２

ｙの増加量　27－３＝24

変化の割合　24／２＝12

2）

ｘ＝２のとき、ｙ＝ａ×２²＝４ａ

ｘ＝６のとき、ｙ＝ａ×６²＝36ａ

ｘの増加量　６－２＝４

ｙの増加量　36ａ－４ａ＝32ａ

変化の割合は－４だから

32ａ／４＝－４

８ａ＝－４

ａ＝－1/2

3）

ｘ＝ａのとき、ｙ＝ａ²

ｘ＝ａ＋５のとき、ｙ＝（ａ＋５）²

ｘの増加量

ａ＋５－ａ＝５

ｙの増加量

（ａ＋５）²－ａ²

＝ａ²＋10ａ＋25－ａ²

＝10ａ＋25

変化の割合は７だから

（10ａ＋25）／５＝７

２ａ＋５＝７

ａ＝１

問題

下の図で、放物線アは関数ｙ＝ｘ²のグラフ、放物線イは関数ｙ＝ａｘ²（０＜ａ＜１）のグラフである。２点Ａ、Ｂは放物線ア上にあり、点Ａのｘ座標は２、点Ｂのｘ座標は正である。点Ｃは放物線イ上の点でｘ座標は４、ｙ座標は点Ａのｙ座標と等しい。また、ｙ軸上にｙ座標が６である点Ｄをとる。点ＡとＢ、Ｃ、Ｄ、原点Ｏをそれぞれ結び、また、点ＢとＣを結ぶ。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）ａの値を求めなさい。

3）２点Ａ、Ｄを通る直線の式を求めなさい。

4）△ＢＡＣの面積と△ＡＤＯの面積が等しくなるときの点Ｂのｙ座標を求めなさい。

1）

点Ａは、

ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝２だから

ｙ＝２²＝４

よって、４

2）

点Ｃは、ｙ＝ａｘ²上にあり、

ｘ＝４、ｙ＝４だから

４＝ａ×４²

ａ＝1/4

０＜ａ＜１を満たすから

ａ＝1/4

3）

Ａ（２，４）とＤ（０，６）を通る

ｘの増加量　２－０＝２

ｙの増加量　４－６＝－２だから

直線の傾きは、－２／２＝－１

切片の値は６だから

ｙ＝－ｘ＋６

4）

△ＡＤＯの底辺をＤＯ、

高さを点Ａからの垂線ＡＨとする。

ＤＯ＝６－０＝６

ＡＨ＝２－０＝２

△ＡＤＯの面積は、

（1/2）×６×２＝６

△ＢＡＣの底辺をＡＣ、

高さを点Ｂからの垂線ＢＨとする。

また、点Ｂのｙ座標をｔとする。

ＡＣ＝４－２＝２

ＢＨ＝ｔ－４

△ＢＡＣ＝６だから

（1/2）×２×（ｔ－４）＝６

ｔ＝10

よって、

求める座標は、10

問題

下図において、ｍはｙ＝（3/4）ｘ²のグラフを表し、ｎはｙ＝ａｘ²のグラフを表す。Ａ、Ｂはｍ上の点であって、Ａのｘ座標は２であり、Ｂのｘ座標は負である。Ｃはｘ軸上の点であり、Ｃのｘ座標はＡのｘ座標と等しい。４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを結んでできる四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。平行四辺形ＡＢＣＤの面積が10cm²であるときのａの値を求めなさい。ただし、座標軸の１目もりの長さは１cmであるとする。

点Ａは、

ｙ＝（3/4）ｘ²上にあり、ｘ＝２だから

ｙ＝（3/4）×２²＝３

点Ｃは、ｘ＝２、ｙ＝０

ＡＣの長さは、ｙの値の差だから

３－０＝３

ＡＣを底辺としたときの高さｈは、

３×ｈ＝10

ｈ＝10/3

点Ｂのｘ座標は、

ｘ＝２から、負の方向に10/3移動させた値で

２－（10/3）＝－4/3

点Ｂは、

ｙ＝（3/4）ｘ²上にあり、ｘ＝－4/3だから

ｙ＝（3/4）×（－4/3）²＝4/3

ＢＤ＝ＡＣ＝３だから

点Ｄのｙ座標は、

ｙ＝4/3から、負の方向に３移動させた値で

4/3－３＝－5/3

また、

点Ｄのｘ座標は、Ｂと同じ－4/3

点Ｄは、

ｙ＝ａｘ²上にあり、

（－4/3，－5/3）を通るから

－5/3＝ａ×（－4/3）²

（16/9）ａ＝－5/3

ａ＝－5/3×（9/16）＝－15/16

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、Ａの座標は（－４，－８）である。線分ＡＢはｘ軸に平行で、この線分とｙ軸との交点をＣとする。また、点Ｐは線分ＯＣ上の点である。あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）∠ＡＰＢ＝60°であるとき、線分ＢＰの長さを求めなさい。

3）Ｐのｙ座標が－４のとき、直線ＡＰとｘ軸との交点をＱとする。このとき、Ｑを通り、△ＡＢＱの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

1）

ｙ＝ａｘ²は、

Ａ（－４，－８）を通るから

－８＝ａ×（－４）²

16ａ＝－８

ａ＝－1/2

2）

点ＡとＢはｙ軸について対称だから

ＰＡ＝ＰＢ

∠ＡＰＢ＝60°だから

∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ＝60°

よって、

△ＰＡＢは正三角形である

点Ｂのｘ座標は、

点Ａの絶対値と同じだから４

よって、

ＡＢ＝４－（－４）＝８

ＢＰ＝ＡＢだから

ＢＰ＝８

3）

ＡＢの中点を通るから、

点ＣとＱを通る直線の式になる。

点Ｃは、

ＡＢの中点だから（０，－８）

点Ｑは、直線ＡＰとｘ軸の交点だから

直線ＡＰの式を求める。

直線ＡＰの傾きをｃとする

Ｐ（０，－４）、切片の値は－４だから

ｙ＝ｃｘ－４

Ａ（－４，－８）を通るから

－８＝ｃ×（－４）－４

ｃ＝１

よって、

直線ＡＰは、ｙ＝ｘ－４

点Ｑは、

ｙ＝ｘ－４上にあり、ｙ＝０だから

０＝ｘ－４

ｘ＝４

直線ＣＱの傾きをｄとする

Ｃ（０，－８）、切片の値は－８だから

ｙ＝ｄｘ－８

Ｑ（４，０）を通るから

０＝ｄ×４－８

ｄ＝２

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ－８

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合格実績

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指導実績

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八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

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今年度塾生35名（2026年1月現在）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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